Магистральный модел

Введение
Модель расширяющейся экономики Неймана
Понятие магистральной теории
Заключение
Литература

Под расстоянием между двумя векторами интенсивностей , будем понимать число
где - норма вектора, т.е. число, равное длине данного вектора. Объясним наглядно смысл такого расстояния. Для удобства обозначим . Тогда
Далее, для любого вектора x длина вектора равна единице. Действительно, так как норма числа есть само число, то
Поэтому равно длине отрезка между точками , (рис. 3), лежащими на единичной окружности. Из этого рисунка видно: 1) если возможно представление , где (т.е. x и z коллинеарные вектора), то ; 2) для , .
Луч Неймана называется сильной магистралью в задаче, если для каждого существуют такие зависящие от (но не зависящие от T ) числа и , что для всякой оптимальной траектории этой задачи и для всех .
Заметим, что ввиду второго свойства расстояния для всех .
Из определения следует, что постоянный луч как бы аппроксимирует оптимальные траектории: всякая оптимальная траектория почти все время идет вдоль луча , т.е. она сохраняет высокий (почти максимальный) темп интенсивностей производственных процессов, если только величина T горизонта планирования много больше, чем и .
Луч Неймана называется слабой магистралью в задаче, если для любого существует такое (зависящее от ) число r , что для любой оптимальной траектории этой задачи неравенство нарушается не более чем для r моментов t, , причем число r не зависит от длины T планового периода.
Очевидно, сильная магистраль является одновременно и слабой магистралью (достаточно положить ).
Рассмотрим более простой и частный случай этой модели - динамический аналог оптимизационной задачи Леонтьева:
где A- -технологическая матрица, - вектор валового выпуска в момент t, - вектор цен в момент T.
В модели Леонтьева равенство означает, что отрасль i не нуждается в товарах отрасли j. Вообще говоря, может существовать целая группа отраслей ( - множество всех отраслей), которые не нуждаются в товарах отраслей из множества , а для своего производства обходятся только товарами из группы S. В этом случае говорят, что множество отраслей S изолировано от остальных в том смысле, что эта группа отраслей может функционировать отдельно от остальных.
Матрица A называется неразложимой, если во множестве всех отраслей N нет изолированных подмножеств. Неразложимость матрицы A означает, что каждая отрасль использует продукцию всех отраслей. Неразложимая матрица A называется примитивной, если множество N нельзя разбить на непересекающиеся подмножества , такие, что если для , то , а при . Читателю предлагается самому истолковать содержательный смысл примитивности технологической матрицы A.
Целевая функция относится к конечному моменту планового периода и называется терминальной. В динамической оптимизационной задаче Леонтьева с нетерминальной целевой функцией возникает так называемая проблема горизонта планирования. Дело в том, что по оптимальной траектории выпуск к моменту T может оказаться недостаточным для обеспечения нормального функционирования экономики за горизонтом планирования. Поэтому требуется наложить специальные ограничения снизу на вектор , что приводит к дополнительным сложностям при исследовании магистральных свойств оптимальных траекторий.
Предположим выполненными следующие условия в задаче Неймана:
а) существует такое число , что соотношения определяют единственный вектор ;
в) ;
г) существует стационарная траектория цен ;
д) матрица A неотрицательна, неразложима и примитивна;
е) для любого достаточно малого числа существуют такие (зависящие от ) числа и , что для оптимальной траектории из неравенства вытекают неравенства .
В последнем условии A1 и B1 - это такие подматрицы матриц A и B (), что .
В отличие от условий а)-д), допускающих соответствующие экономические интерпретации, условие е) носит чисто технический характер.
При выполнении условий а)-е) для любого существует такое число , не зависящее от T , что для любой оптимальной траектории выполняется условие для всех .
Заключение
Важная роль магистральных траекторий состоит также в том, что в случае отсутствия возможности вычисления оптимальных траекторий при планировании производства можно ориентироваться на движение по лучу Неймана, т.е. планировать функционирование отраслей с интенсивностями, близкими к тем, которые задаются стационарной траекторией .
Литература
Акулич И.Л. Математическое программирование. – М.: Высш. школа, 1986. – 314 с.
Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.
Бэллман Р. Динамическое программирование. - М.: ИЛ, 1960.
Бэллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. - М.: Наука, 1965,
Вагнер Г. Основы исследования операций. - М.: Мир, 1972.
Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. - М.: Высшая школа, 1975.
Капустин В.Ф. Практические занятия по курсу математического программирования: ЛГУ, 1976.
Карлин C. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. –М.: Мир, 1964. – 240 с.
Смирнова Г.Н., Сорокин А.А., Тельнов Ю.Ф. Проектирование экономических информационных систем: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 512 с.: ил.
Таха Х.. Введение в исследование операций. В 2 т. – М.: Мир, 1985. – 600 с.
Щербанов В.А. Проектирование информационных систем в экономике: Курс лекций. — Томск: ТУСУР, 1999. — 157 с.
Экономико-математические методы и прикладные модели/ под ред. Федосеева В.В. – Москва: «Юнити», 2001– 200 с.
2