Счастливые билеты

Введение
1Общие сведения о задаче
2Решение методами производящих функций
3Вероятность получения счастливого билета
Заключение
Список использованных источников

Это может быть, например, "приятная встреча", "лихой недуг", "дальняя дорога" и тому подобное.
Вероятность того, что сбудутся все пять событий, ничтожно мала - всего 3,1 процента. Но легковерному человеку вполне достаточно, если случится хотя бы не менее двух-трех из них. А такое количество сбывшихся пророчеств - то есть вытянутых четных билетов - происходит с высокой вероятностью - до 81,2 процента.
И вот часть сделанных гадалкой предсказаний сбывается, а темные люди и не подозревают, что приобщились к "таинствам" теории вероятностей.
Сколько нужно взять наугад билетов из пачки, чтобы среди них оказался и "счастливый?" Самым "счастливым" билетом, как известно, считается такой, в котором суммы трех первых и трех последних цифр равны.
Требуется предсказать, сколько нужно взять билетов, чтобы добраться до "счастливого". Для того чтобы каждый смог подсчитывать необходимое количество билетов, в которых попадается "счастье", воспользуемся еще одной таблицей, которую дает арифметика случайностей.
Для того чтобы "войти" в эту таблицу, нужно прежде всего знать вероятность счастливого билета.
Рассчитать самим эту вероятность довольно сложно. Поэтому воспользуемся готовым результатом: для наших условий вероятность вытянуть "счастливый" билет равна примерно 5,5 процента. Эта цифра означает, что в среднем на 100 билетов 5-6 номеров окажутся "счастливыми". Вы можете это легко проверить, перебрав свою пачку билетов, а также пачки товарищей. Второе, что нам нужно знать, чтобы воспользоваться таблицей, - это желаемую вероятность вытянуть "счастливый" билет.
Какую хочешь получить вероятность - та и будет желаемая. Если вы очень хотите быть счастливыми - получить "счастливый" билет почти наверняка,- берите 80 и 90 процентов, если у вас желания более скромные - ограничьтесь меньшей вероятностью.
Но следует иметь в виду, что чем выше желаемая вероятность, тем больше билетов придется перебрать, прежде чем найдется "счастье".
Сколько нужно вытянуть билетов, чтобы хотя бы один из них был
"счастливым"?
Вероятность "счастливого" билета Желаемая вероятность взять "счастливый" билет 5% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% около 100% 5% 1 2 4 7 10 14 18 24 31 45 76 10% - 1 2 3 4 7 8 11 15 22 37 20% - - 1 2 2 3 4 6 7 10 17 30% - - - 1 1 2 3 3 5 6 11 40% - - - - 1 1 2 2 3 4 8 50% - - - - - 1 1 2 2 3 6 60% - - - - - - 1 1 2 2 4 70% - - - - - - - 1 1 2 3 80% - - - - - - - - 1 1 2 90% - - - - - - - - - 1 2 около 100% - - - - - - - - - - 1
Рассмотрим пример.
Вероятность "счастливого" билета, как мы уже знаем, равна примерно пяти процентам. Если вас устраивает желаемая вероятность 50 процентов, то, как видно из таблицы, можно ограничиться четырнадцатью билетами. Если нее вы желаете получить "счастливый" билет с вероятностью 80 процентов - надо будет просмотреть 31 билет.
Цифры 14 и 31 стоят в таблице на пересечении желаемой вероятности и вэроятности "счастливого" билета.
Проверить это предсказание нетрудно. Просто возьмите из пачки наугад 31 билет и проверьте. Один из них почти наверняка будет счастливым. Если же у вас нет своей пачки билетов, не беда. Можете просто замечать номера тех билетов, которые вы берете в трамвае, троллейбусе, автобусе. На 31 билет с высокой вероятностью 80 процентов хотя бы один билет должен быть "счастливым".
Представим, что на школьном вечере устроили лотерею. Сделано всего 250 билетов. Известно, что из них 50 содержат выигрыш, а остальные 200 - пустые.
Вы решили выиграть во что бы то ни стало хоть один раз. Вот как это нужно сделать.
Сначала определим вероятность выигрыша - вероятность "счастливого" билета. Она равна 50/250 = 0,2, или двадцати процентам. Затем установим желаемую вероятность вытянуть "счастье". Чтобы случай не подкачал, возьмем ее побольше - 90 процентов.
"Входим" с этими вероятностями в таблицу и получаем на пересечении количество билетов - 10. Теперь покупайте 10 билетов и можете быть уверены, что один из них почти обязательно выиграет.
Таким же путем можно высчитать, и сколько нужно иметь лотерейных билетов, чтобы наверняка выиграть автомобиль.
А вот еще один пример, который, возможно, пригодится в трудную минуту.
Вы написали сочинение по литературе или решили несколько сложных задач по математике на экзамене и сомневаетесь, нет ли ошибок.
Сколько раз нужно проверить работу, чтобы быть уверенным в успехе? Снова обратимся к таблице. Каждый сумеет примерно оценить свои возможности находить ошибки при однократном просмотре работы. Положим, вы за один раз обычно вылавливаете только половину ошибок - 50 процентов. Тогда для того, чтобы желаемая вероятность успеха была 80 процентов, нужно проверить работу два раза (что, кстати говоря, хорошие ученики и делают). А тот, кто при вероятности ошибки 50 процентов проверяет свою работу только один раз, может рассчитывать на успех лишь с вероятностью 60 процентов. Это тоже показывает наша таблица.
Итак, мы убедились, что предсказания теории вероятностей сбываются.Заключение
На основании рассмотренных примеров можно сделать некоторые выводы о комбинаторных задачах и методах их решения.
Задачи перечислительной комбинаторики состоят в подсчёте числа объектов, принадлежащих некоторому семейству конечных множеств. У каждого множества семейства имеется свой номер (в задаче о числе счастливых билетов таким номером была сумма цифр трёхзначного числа).
Как правило, задача перечислительной комбинаторики «в принципе» разрешима: для каждого множества из семейства можно выписать все его элементы и таким образом узнать их число. Проблема, однако, состоит в том, чтобы найти «хорошее» решение, не требующее выписывания всех элементов изучаемых множеств.
Определить, что такое хорошее решение, довольно трудно. Зачастую можно лишь сравнить два решения и сказать, какое из них лучше.
При решении задач перечислительной комбинаторики очень полезно рассматривать производящие многочлены (или, более общо, производящие ряды). Операции с комбинаторными объектами очень естественно выражаются в терминах производящих функций.
Привлечение методов из смежных областей математики (например, из анализа) позволяет по-иному взглянуть на перечислительную задачу и найти новые, зачастую неожиданные, подходы к её решению.
Список использованных источников
Андронов А. М., Копытов Е. А., Гринглаз Л. Я. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - СПб.: Питер, 2004.
Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятностей. - М.: Радио и связь, 1983.
Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятностей. - М.: Радио и связь, 1983.
Андронов А. М., Копытов Е. А., Гринглаз Л. Я. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - СПб.: Питер, 2004.
2