Особые точки функций комплексного переменного и их изучение с помощью WinMaple

По определению, которое было предложено В.П. Дьяконовым – системы компьютерной математики (СКМ) – это программные средства, с помощью которых можно автоматизировать выполнение как численных, так и аналитических (символьных) вычислений и расчетов [2].

Первые СКМ появились на рынке программных средств в 60-х годах ХХ века. Самое бурное период их развития приходится на 90-е годы ХХ века. Современные СКМ оснащены удобным интерфейсом и мощным графическим инструментарием, в них реализовано значительное количество стандартных и специальных математических операций, функций и методов. Определяющими характеристиками современных СКМ является наличие собственных языков программирования, средств подготовки математических текстов к печати, обеспечение возможностей осуществлять импорт данных для использования других программных продуктов, в частности, электронных таблиц, и экспорт данных в них [1].

Каждая из СКМ имеет определенные нюансы в архитектуре, однако все они имеют типовую структуру, составляющими которой является вычислительное ядро системы, библиотеки процедур и функций, пакеты расширений, справочная система и интерфейс пользователя [2].

Одним из ярких представителей СКМ является программная среда WinMaple, которая характеризуется наилучшим, среди всех СКМ ядром символьных вычислений, высокой точностью вычислений, возможностью осуществления ввода математических соотношений в привычной нотации, структурированностью документов и удобностью интерфейса.

Результаты исследования показывают целесообразность использования СКМ и в частности WinMaple в качестве эффективного инструментального средства при изучении высшей математики в высших учебных заведениях, которое применяется практически во всех ведущих университетах мира.

Теория функций комплексной переменной (ТФКП) занимает одно из главных мест в курсе математики высшей школы. ТФКП имеет много практических применений [1, 2]. Методами ТФКП решают некоторые задачи картографии, теории упругости, гидро-, аэро - и электродинамики.

Функции комплексной переменной применяются для решения задач квантовой теории, в изучении движения небесных тел и во многих других отраслях науки и техники. Вместе с практическими применениями теория аналитических функций используется в решении теоретических проблем математики, в частности, в теории чисел. С помощью таких функций вычисляют сложные интегралы, решают дифференциальные уравнения и т.п.

Темой выпускной квалификационной работы является исследование возможности применения средств WinMaple для решения практических задач определения и изучения особых точек функций комплексного переменного в курсе высшей математики высшего учебного заведения.

Целью выпускной квалификационной работы является разработка методических рекомендаций для решения практических задач определения и изучения особых точек функций комплексного переменного в курсе высшей математики высшего учебного заведения.

Структурно работа состоит из 2-х глав, заключения и введения.

В введении расмотрены аспекты применения систем компьютерной математике в учебном процессе.

В первой главе работы рассмотрены вопросы, связанные с использованием WinMaple в качестве инструментального средства для получения компетенций студентами при изучении высшей математики, теоретические и практические аспекты определения и изучения особых точек функций комплексного переменного.

Во второй главе работы рассмотрены вопросы, связанные с разработкой методических рекомендаций для решения практических задач определения и изучения особых точек функций комплексного переменного в курсе высшей математики высшего учебного заведения.

В заключении работы сделаны общие выводы по работе по изучению темы, данны методические рекомендации по проведению занятий.

1.1 Анализ возможностей WinMaple для применения решений практических задач в курсе «Высшей математики»

Как правило, СКМ, и в том числе WinMaple, используют для решения научных, инженерных, учебных задач, наглядной визуализации данных и результатов вычислений и как удобные и полные справочники по математическим вычислениям. Вместе с тем, что благодаря мощной графике, средствам визуального программирования и использования мультимедиа технологий, роль СКМ выходит за рамки только математических расчетов. Они широко используются в образовании как мощные инструментальные средства для подготовки электронных занятий, курсов лекций и электронных книг с динамическими примерами

...

1.2.2 Нахождение особых точек и определение их типа у рациональных рядов

Пусть функция f(z) аналитическая в кольце 0 <|z — а| <ρ, но не аналитическая в точке а (a≠∞). Тогда точка а называется изолированной особой точкой однозначного характера для функции f(z).

В зависимости от поведения функции f(z) вблизи точки а различают три типа особых точек.

...

1.3.1 Определение нулей аналитических функций

Рассмотрим решение практического задания в среде WinMaple.

Найти все нули и их кратности функции f(z) = z sinh(z).

Решение

Опишем исходную функцию (рис.1.1):

...

1.3.3 Ряды Лорана

Рассмотрим выполнение следующего практического задания.

Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана функции

f(z)=(z+2)/(z^2-2z-3),

Выбрав z_0=0.

Решение

Выбор 0 в качестве z0, означает, что нужно получить разложение этой функции по степеням z. Функция f(z) имеет две особые точки: z = — 1 и z = 3,

...

2.1 Дидактический материал

Значение темы в курсе.

Изучение темы «Изучение особых точек комплексного переменного» в курсе "Высшей математики" для студентов Высших учебных заведений имеет большое значение, во-первых, это связано с тем, что изучаемые вопросы определены учебным планом дисциплины, а во-вторых являются достаточно важными с точки зрения предоставления обучаемым знаний о понятии комплексных переменных и работе с ними, свойствах, способах использования для решения других практических задач.

ТФКП занимает одно из главных мест в курсе математики высшей школы. ТФКП имеет много практических применений [1, 2]. Методами ТФКП решают некоторые задачи картографии, теории упругости, гидро-, аэро - и электродинамики.

...

Таблица 2.1 - Цели изучения темы «Изучение особых точек комплексного переменного» в рамках курса «Высшая математика»

...

2.2 Формы активизации познавательной деятельности и пути преодоления трудных мест

При чтении лекции, так как для студентов трудно в течение всего занятия внимательно слушать и писать, необходимо делать короткие паузы, заполняя их различными игровыми моментами, связанными с темой. Предлагать обращаться к электронному учебнику или Help системы Maple, и изучить часть по материалу при помощи электронного учебника.

Затем каждый получает индивидуальные задания, например, такие:

Найти все точки комплексной плоскости, в которых функция f (z) является дифференцированной. Найти производную в этих точках. Найти точки аналитичности данной функции.

...

2.3 Формирование предложений в перспективно-тематический план по высшей математике

Содержание курса высшей математики в высшем учебном заведении определяется типовой программой и созданными на кафедрах рабочими программами. Рабочие программы и планы учитывают не только общие обязательные положения курса высшей математики, но и ее прикладные аспектов ты, необходимые для глубокого изучения специальных дисциплин при подготовке бакалавров и магистров. Однако количество часов в курс высшей математики в учебных планах в настоящее время определяется без участия специалистов и поэтому не всегда обоснованно. Взаимный обмен рабочими программами и рабочими планами для родственных специальностей не всегда практикуется.

...

Таблица 2.2 - Предложения в Перспективно-тематический план по «Высшей математике»

...

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Содержание курса высшей математики в высшем учебном заведении определяется типовой программой и созданными на кафедрах рабочими программами. Рабочие программы и планы учитывают не только общие обязательные положения курса высшей математики, но и ее прикладные аспектов ты, необходимые для глубокого изучения специальных дисциплин при подготовке бакалавров и магистров. Однако количество часов в курс высшей математики в учебных планах в настоящее время определяется без участия специалистов и поэтому не всегда обоснованно.

Использование СКМ иллюстрирует возможности компьютера, позволяет акцентировать внимание на прикладных задачах, особенностях численного и символьного решения задач, выяснять границы применения компьютеров и математических методов, а также существенно повышают заинтересованность студентов в глубоком изучении математики, помогают усвоить структурные связи различных разделов курса. Деятельность преподавателя направляется на то, чтобы студент осознал, что при подготовке к инженерной деятельности без знаний по курсу высшей математики не может сформироваться специалист. Знания по математике относятся к фундаментальной системы знаний, на базе которой строится обучение студентов.

...