Финансовая математика_51 задание

Развернутые ответы на вопросы. Решение задач.Пример:1.ЧТО ТАКОЕ ПРОЦЕНТЫ И КАКУЮ РОЛЬ ИГРАЮТ ОНИ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ И ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ?;3. КАКОВА РОЛЬ ФАКТОРА ВРЕМЕНИ В ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ, ЧЕМ ЭТО ОБУСЛОВЛЕНО? МОЖНО ЛИ УТВЕРЖДАТЬ, ЧТО «ВРЕМЯ - ДЕНЬГИ»?;31. РАССЧИТАТЬ СРОК КОНСОЛИДИРОВАННОГО ПЛАТЕЖА, ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО СУММА ПРИВЕДЕННЫХ НА БАЗОВУЮ ДАТУ ПЛАТЕЖЕЙ РАВНА 120 ТЫС. РУБ., А ВЕЛИЧИНА КОНСОЛИДИРОВАННОГО ПЛАТЕЖА БОЛЬШЕ ЕЕ НА 30% ПРИ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ 60% ГОДОВЫХ. КАК ИЗМЕНИТСЯ СИТУАЦИЯ, ЕСЛИ ВЕЛИЧИНА КОНСОЛИДИРОВАННОГО ПЛАТЕЖА БУДЕТ МЕНЬШЕ НА 30%? ...

Развернутые ответы на вопросы. Решение задач.Пример:1.ЧТО ТАКОЕ ПРОЦЕНТЫ И КАКУЮ РОЛЬ ИГРАЮТ ОНИ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ И ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ?;3. КАКОВА РОЛЬ ФАКТОРА ВРЕМЕНИ В ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ, ЧЕМ ЭТО ОБУСЛОВЛЕНО? МОЖНО ЛИ УТВЕРЖДАТЬ, ЧТО «ВРЕМЯ - ДЕНЬГИ»?;31. РАССЧИТАТЬ СРОК КОНСОЛИДИРОВАННОГО ПЛАТЕЖА, ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО СУММА ПРИВЕДЕННЫХ НА БАЗОВУЮ ДАТУ ПЛАТЕЖЕЙ РАВНА 120 ТЫС. РУБ., А ВЕЛИЧИНА КОНСОЛИДИРОВАННОГО ПЛАТЕЖА БОЛЬШЕ ЕЕ НА 30% ПРИ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ 60% ГОДОВЫХ. КАК ИЗМЕНИТСЯ СИТУАЦИЯ, ЕСЛИ ВЕЛИЧИНА КОНСОЛИДИРОВАННОГО ПЛАТЕЖА БУДЕТ МЕНЬШЕ НА 30%?

Развернутые ответы на вопросы. Решение задач.Пример:1.ЧТО ТАКОЕ ПРОЦЕНТЫ И КАКУЮ РОЛЬ ИГРАЮТ ОНИ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ И ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ?;3. КАКОВА РОЛЬ ФАКТОРА ВРЕМЕНИ В ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ, ЧЕМ ЭТО ОБУСЛОВЛЕНО? МОЖНО ЛИ УТВЕРЖДАТЬ, ЧТО «ВРЕМЯ - ДЕНЬГИ»?;31. РАССЧИТАТЬ СРОК КОНСОЛИДИРОВАННОГО ПЛАТЕЖА, ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО СУММА ПРИВЕДЕННЫХ НА БАЗОВУЮ ДАТУ ПЛАТЕЖЕЙ РАВНА 120 ТЫС. РУБ., А ВЕЛИЧИНА КОНСОЛИДИРОВАННОГО ПЛАТЕЖА БОЛЬШЕ ЕЕ НА 30% ПРИ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ 60% ГОДОВЫХ. КАК ИЗМЕНИТСЯ СИТУАЦИЯ, ЕСЛИ ВЕЛИЧИНА КОНСОЛИДИРОВАННОГО ПЛАТЕЖА БУДЕТ МЕНЬШЕ НА 30%?

Таким образом, современная величина ренты эквивалентна в финансовом смысле самой ренте и представляет собой ее оценку в виде некоторой величины, приведенной к началу срока. Наращенная сумма является некоторым «обобщением» ренты, но приведенной к концу ее срока.
21. Каково экономические содержание коэффициента наращения ренты и в чем его отличие от коэффициента приведения ренты?
Экономический смысл коэффициента наращения ренты состоит в том, что он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную величину (например, один рубль) к концу срока его действия. При этом предполагается, что производится только начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Коэффициент наращения ренты часто используется в финансовых расчетах. Его значение зависит от процентной ставки и срока действия аннуитета. Причем при увеличении каждого из этих параметров величина множителя также прирастает.
Так как процесс дисконтирования является обратным процессу наращения, формула дисконтирования является результатом преобразования формулы наращения.
Коэффициент дисконтирования ренты (аннуитета) или коэффициент наращения ренты показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося равных периодов с заданной процентной ставкой.
Дисконтирующий множитель вызывает практический интерес при помещении капитала под сложную процентную ставку в банк. Тем самым можно обеспечить регулярные выплаты в размере одной денежной единицы в течение периодов.
22. Верно ли и почему утверждение, что «наращенная сумма вечной ренты при любых ее параметрах равна бесконечно большой величине»? От чего зависит современная величина (стоимость) вечной ренты?
Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено, то есть она выплачивается бесконечное число лет (например, выплаты по бессрочным облигационным займам). В этом случае наращенная сумма с течением времени возрастает бесконечно:
Отсюда следует, что предел наращенной суммы вечной ренты равен бесконечности.
Следовательно, утверждение, что «наращенная сумма вечной ренты при любых ее параметрах равна бесконечно большой величине» - верно.
Современная величина вечной ренты находится в прямой зависимости от размера платежа R и в обратной зависимости от процентной ставки i:
При начислении процентов m-раз в год и поступлении платежей р-раз современная величина вечной ренты зависит также и от m и р:
23. В чем различие рент постнумерандо и пренумерандо с точки зрения величины наращенной суммы? Кому выгодно вносить в договорные условия платежа ренту пренумерандо арендатору или арендодателю и почему? Можно ли в этом случае согласовать (устроить) арендатора и арендодателя использование ренты миннумерандо?
Каждый платеж ренты пренумерандо «работает» на один период больше, чем в обычной ренте. Например, первый взнос ренты постнумерандо, равный 1 ден. ед., обратится к концу ренты в величину (1+і)n-1, а первый взнос ренты пренумерандо с процентами к концу срока равен (1+і)n . В свою очередь последний взнос ренты постнумерандо, равный 1, не приносит процент, а у ренты пренумерандо к концу срока он вырастает до (1 + і).
Наращенная стоимость ренты постнумерандо равна:
где R – размер платежа;
kн – коэффициент наращения.
Наращенная стоимость ренты пренумерандо равна:
где i – ставка процента.
Для арендодателя выгоднее, чтобы платежи осуществлялись по схеме пренумерандо, так как они начинаются на период раньше, чем постнумерандо, т.е. подтверждается временная ценность денег: деньги «сейчас» предпочтительнее, чем «потом».
Если поступления от произведенных инвестиций распределяются более или менее равномерно на протяжении периода, используют ренты с выплатами в середине периодов. В подобных ситуациях для уменьшения погрешности используют ренты с выплатами в середине периодов. В подобных ситуациях для уменьшения погрешности вычислений рекомендуется суммы поступлений за период относить к середине этого периода.
Наращенная сумма S1/2 и современная величина A1/2 p-срочной ренты с m-разовым начислением процентов в году равны:
где S и A - наращенная сумма и современная величина p-срочной ренты постнумерандо с m-разовым начислением процентов в году.
Т.е. согласовать арендатора и арендодателя может помочь использование ренты миннумерандо.
24. Клиент банка получил ссуду в размере 1 млн. руб. на срок 6 мес. По ставке 50 % годовых (простые проценты). Какую сумму должен вернуть клиент банку по окончании срока ссуды, если начисление процентов проводится банком каждые три месяца? Выиграл бы клиент, если бы начисление процентов проводилось банком в конце срока ссуды?
Решение: Используем формулу для вычисления наращенной суммы при наращении по простым процентам: S = P·(1 + ni)
P = 1 млн. руб., n = 6 мес., i = 50% = 0,5
Рассчитаем S – наращенная сумма при начислении каждые три месяца.
S = 1·(1 + 3/12·0,5) + 1·(1 + 3/12·0,5) = 1,25 (млн.руб.)
Поскольку простые проценты – это метод начисления, при котором сумма процентов определяется в течение всего периода, исходя из первоначальной величины долга, независимо от количества периодов начисления и их длительности, клиент не выиграл бы при начислении процентов в конце срока.
25. Банк выдал сумму клиенту 09.02.2003 г. на срок 4 месяца с погашением всей суммы долга 09.06.2003 г. в размере 300 тыс. руб. по простой годовой ставке, равной 62 % годовых. Однако, за месяц до срока погашения долга банк по договоренности с клиентом продлил срок кредита по 09.07.2003 г. включительно, но уже по ставке, увеличенной на 10 пунктов. Какую сумму должен вернуть клиент банку?
Решение: S = P·(1 + n1i1 + n2i2), P = 300 тыс.руб., n1 = 4 мес., i1 = 0,62,
n2 = 1 мес., i2 = 0,72
S = 300·(1 + 4/12·0,62 + 1/12·0,72) = 380,1 (тыс.руб.)
26. Какую сумму должен возвратить банку клиент в конце общего срока ссуды (с пролонгацией), если расчеты делаются с использованием: а) точных процентов с фактическим числом дней ссуды, б) обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды, в) обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды?
Решение: Исходные данные берём из задания 25.
а) «английская» система – точные проценты с фактическим числом дней ссуды. В этом случае К = 365 дням, а в месяцах 28, 31, 30, 31 и 30 день соответственно.
S = 300·(1 + 120/365·0,62 + 30/365·0,72) = 378,9 (тыс. руб.)
б) «французская» система – обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. К = 360 дней, период начисления процентов равен фактическому сроку.
S = 300·(1 + 120/360·0,62 + 30/360·0,72) = 380,01 (тыс. руб.)
в) «германская» система – обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. К = 360 дней, один полный месяц равен 30 дням.
S = 300·(1 + 120/360·0,62 + 30/360·0,72) = 380,01 (тыс. руб.)
27. В целях обеспечения доходности кредитной операции, а также учета инфляционных процессов в экономике и в связи с возможным изменением ставки рефинансирования Банком России коммерческий банк выдал кредит своему клиенту в сумме 500 тыс. руб. на срок 4 мес. По простой ставке процентов на следующих условиях: первый месяц – 62%, второй месяц – 72%, а последующие месяцы – с ростом в соответствии с темпом инфляции в месяц от предыдущей ставки. Какой валовый доход обеспечит себе данной кредитной операцией банк, если денежные средства взяты им по ставке рефинансирования, равной 12% годовых, а годовой темп инфляции в стране – 18%.
Решение: 1. Найдем ежемесячный темп инфляции:
Тогда ставка процента по кредиту в третьем и четвертом месяцах составит:
i3 = 72∙(1+0,0139) = 73,0%
i4 = 73∙(1+0,0139) = 74,0%
Коммерческий банк обязан заплатить Банку России:
Р = 400∙0,12∙4:12 = 16,0 (тыс. руб.)
2. Найдем доход коммерческого банка:
I = 400∙(1 + 0,62:12)∙(1 + 0,72:12)∙(1 + 0,73:12)∙(1 + 0,74:12) – 400 – 16 = 86,203 (тыс. руб.)
Следовательно, валовый доход коммерческого банка составит 86,2 тыс. руб.
28. Чему будет равна наращенная сумма вклада частного лица (вклады делаются в конце года) через 3 года при вложении: а) равных сумм по 10 тыс. руб.?; б) в первый год суммы в 10 тыс. руб., а затем ежегодно увеличивающейся на 20% по сравнению с предыдущей? На сколько изменятся результаты операций, если вклады будут производиться в начале года?
Решение: а) Определим наращенную сумму вклада:
где А – размер рентного платежа;
r – ставка процента;
n – число лет.
Пусть ставка процента равна 10%.
Если вклады будут производиться в начале года, наращенная сумма вклада составит:
ΔFV=36,41-33,1=+3,31 (тыс. руб.)
Т.е. при вложении средств на депозит в начале года результат операции увеличится на 3,31 тыс. руб.
б) Найдем наращенную сумму вклада:
где x – относительная величина ежегодного прироста размера ренты.
Если вклады будут производиться в начале года, наращенная сумма вклада составит:
ΔFV=43,67-39,7=+3,97 тыс. руб.
Т.е. при вложении средств на депозит в начале года результат операции увеличится на 3,97 тыс. руб.
29. Физическое лицо имеет 15 тыс. руб. и хотело бы положить их в банк с тем, чтобы ежегодно получать 5 тыс. руб. в течение 5 лет. Сможет ли осуществить свое желание потенциальный клиент банка, если последний начисляет 28% годовых по простой процентной ставке? Как изменится ситуация, если у клиента будет 20 тыс. руб., а ставка банка снизится до 22% при том же периоде выплат? Какую сумму должен иметь клиент, чтобы при начислении на 18% годовых получать в течение 3-х лет ежегодно 3,6 тыс. руб.?
Решение: 1) Приведенная стоимость аннуитета постнумерандо равна:
где А – размер рентного платежа;
r – ставка процента;
n – число лет.
, А = 5,924 тыс. руб.
Т.е. ежегодно физического лицо сможет получать 5,924 тыс. руб. Значит, при начислении 28% годовых потенциальный клиент банка сможет осуществить свое желание.
, А = 5,238 тыс. руб.
Т.е. ежегодно физического лицо сможет получать 5,924 тыс. руб. Значит, при начислении 22% годовых потенциальный клиент банка также сможет осуществить свое желание.
2) Определим необходимый размер суммы:
Значит, для ежегодного получения 3,6 тыс. руб. в течение трех лет клиент должен иметь 7,827 тыс. руб.
30. Какова будет сумма консолидированного платежа, если он объединяет три платежа на суммы 100, 150 и 300 тыс. руб. и сроками платежа соответственно 10, 40 и 75 дней при процентной ставке 52% годовых и временной базе 360 дней?
Решение: Определим размер консолидированного платежа по формуле:
где Sj – размеры объединяемых платежей со сроками nj < n0,
Sk – размеры объединяемых платежей со сроками nk > n0,
n0 – срок консолидированного платежа;
i – ставка процента.
, .
Пусть срок консолидированного платежи составляет 60 дн.
Таким образом, сумма консолидированного платежа составит 560,2 тыс. руб.
31. Рассчитать срок консолидированного платежа, при условии, что сумма приведенных на базовую дату платежей равна 120 тыс. руб., а величина консолидированного платежа больше ее на 30% при простой процентной ставке 60% годовых. Как изменится ситуация, если величина консолидированного платежа будет меньше на 30%?
Решение: Срок консолидированного платежа равен:
где S0 – сумма нового платежа.
is – ставка процента;
Ps - сумма современных стоимостей объединяемых платежей.
Таким образом, срок консолидированного платежа равен 0,5 г.
Приведенная формула определения срока консолидированного платежа имеет смысл только тогда, когда S0 ≥ 120 тыс. руб. Т.е. если величина консолидированного платежа будет меньше на 30% суммы приведенных на базовую дату платежей, срок консолидированного платежа определить нельзя.
32. Должник обязан уплатить кредитору 100 и 150 тыс. руб. соответственно 01.09 и 01.12 текущего года. Однако по дополнительной договоренности это обязательство заменяется новым, согласно которому должник уплачивает 80 тыс. руб. 1.10, а остальной долг гасит 15.12 текущего года. Определить сумму нового платежа при условии, что средняя ставка процентов (простых) равна 42% годовых на 15.12 текущего года. Изменится ли результат, если датой приведения (базовой точкой отсчета) будет выбрана дата 01.12 текущего года?
Решение: 1) Запишем уравнение эквивалентности платежей:
где Sk – размеры платежей,
n – число лет;
i – ставка процента.
Определим временной интервал между сроками при базовой точке отсчета 15.12 текущего года:
- для первого платежа и консолидированного платежа:
t1 = 29 + 31 + 30 + 15 = 105 (дней)
- для второго платежа и консолидированного платежа:
t2 = 14 (дней)
- для первого нового платежа и консолидированного платежа:
t3 = 30 + 30 + 15 = 75 (дней)
При базовой точке отсчета 01.12 текущего года:
Временной интервал между сроками:
- для первого платежа и консолидированного платежа:
t1 = 29 + 31 + 30 + 1 = 91 (день)
- для второго платежа и консолидированного платежа:
t2 = 0 (дней)
- для второго нового платежа и консолидированного платежа:
t3 = 30 + 30 + 1 = 61 (день)
- для второго нового платежа и консолидированного платежа:
t4 = 14 (дней)
Т.е. остаток долга изменяется в зависимости от базовой даты.
33. Определить первоначальную сумму потребительского кредита, выданного банком физическому лицу для покупки квартиры, и сумму ежегодных погасительных платежей, если через четыре года сумма долга банку составит 321,6 тыс. руб., а кредит был выдан по простой процентной ставке 42% годовых. Изменится ли сумма долга, если в течение первого года гашение кредита не будет производиться, а начнется только со второго года. Как это повлияет на величину ежегодных погасительных платежей?
Решение: 1. Вычислим первоначальную сумму долга по формуле:
где S – наращенная сумма долга;
n – срок кредита;
i – ставка процента.
Значит, первоначальная сумма потребительского кредита, выданного банком физическому лицу для покупки квартиры, составляет 120 тыс. руб.
2. Определим величину ежегодных погасительных платежей:
3. Если в течение первого года гашение кредита не будет производиться, то сумма долга не изменится, т.к. начисление процентов при простых процентах осуществляется на первоначальную сумму долга, а размер ежегодных погасительных платежей увеличится и составит:
Т.е. прирост размера ежегодных погасительных платежей составит 26,8 тыс. руб. (107,2-80,4)
34. Чем наращение с использованием простых процентов отличается от наращения по непрерывным процентам? Может ли наращенная сумма по простым процентам равна сумме, наращенной по непрерывным процентам?
Ответ:
Различие начисления простых и непрерывных процентов в базе и периоде их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то непрерывные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. непрерывные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением. При непрерывных процентах проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени.
Т.к. наращение по непрерывным процентам происходит более быстрыми темпами, то наращенная сумма по простым процентам не может быть равна сумме, наращенной по непрерывным процентам. Сумма, наращенная по непрерывным процентам, будет всегда больше наращенной суммы по простым процентам.
35. Определить ставку сложных процентов по выданному коммерческим банков кредиту при условии, что долг заемщика к концу его срока составил 15,376 млн. руб., а кредит был выдан на 2 года в сумме 10 млн. руб.
Решение: Ставку сложных процентов по выданному коммерческим банков кредиту найдем из формулы:
где S – наращенная сумма долга;
P – первоначальная сумма долга;
i – ставка процента;
n – число лет.
15,376 = 10∙(1 + i)2, (1 + i)2 = 1,5376, 1 + i = 1,24, i = 0,24 или 24%
Значит, ставка сложных процентов по кредиту составляет 24% годовых.
36. Рассчитать срок, на который банком выдана ссуда в размере 5 млн. руб., если ставка сложных процентов составила 25%, начисление процентов – ежеквартальное, а долг заемщика к концу срока кредита – 10,3494 млн. руб. Какой в этом случае будет эффективная ставка процентов?
Решение: 1. Срок кредита найдем из формулы:
где S – наращенная сумма долга;
P – первоначальная сумма долга;
i – ставка процента;
m – число начисления процентов в году;
n – число лет.
, , n = 3 г.
Значит, кредит взят сроком на 3 года.
2. Определим эффективную ставку процентов:
Эффективная ставка процентов равна 35,66% годовых.
37. Вкладчик открыл в банке депозитный счет. Через сколько времени сумма его вклада удвоится, если банк начисляет 15% годовых по сложной ставке процентов?
Решение: Срок депозита вычислим по формуле:
где i – ставка процента.
Следовательно, через 4,96 г. сумма вклада увеличится вдвое.
38. Какой в действительности будет сумма вклада клиента банка через год, если он положил 5 тыс. руб. по ставке 17% годовых, а темп инфляции за этот период составил 12% годовых?
Решение: Реальную наращенную сумму вклада вычислим по формуле:
где P – первоначальная сумма вклада;
i – ставка процента;
h – темп инфляции.
Через год реальная наращенная сумма вклада составит 5,223 тыс. руб.
39. Владелец векселя с номинальной ценой в 100 тыс. руб. учел его в банке за 45 дней до наступления срока платежа. Определить учетную ставку банка по векселю, если дисконт составил 5,5 тыс. руб., а временная база, используемая банком для учета равна 360 дням.
Решение: Учетную ставку процента найдем с помощью формулы:
где D – сумма дисконта;
S - номинальная цена векселя;
t - срок (в днях) до наступления платежа по векселю.
Учетная ставка равна 44%.
40. Банк выдал клиенту кредит в сумме 500 тыс. руб. сроком на 4 мес. По простой учетной ставке в 35% годовых. Рассчитать сумму долга клиента по окончании срока кредита, если временная база равна 360 дням. Как изменится сумма долга клиента, если банк выдаст кредит по сложной учетной ставке в том же размере?
Решение: 1. Исчислим сумму долга клиента по окончании срока кредита по формуле:
где P – первоначальная сумма кредита;
d – учетная ставка;