Математический анализ. Вариант 7

ТЕМА 1. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
Вычислить пределы:
а) lim┬(x→1)⁡〖(√x-√2-x)/(x-1)〗
b) lim┬(x→0)⁡□(sin^2⁡5x/sin^(-1)⁡10x )
c)lim┬(n→∞)⁡〖((x-5)/(x-2))^x 〗

ТЕМА 3.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Используя дифференциальное исчисление, провести полное исследование функции и построить ее график:
y = 2/(x^2-4)

ТЕМА 4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вычислить неопределенные интегралы, используя методы интегрирования:
a) – непосредственное интегрирование
b) – замены переменной
c) – интегрирования по частям
a)∫▒(3^x+5^x )^2 dx
b)∫▒〖7^x/√(〖49〗^x+1) dx〗
c)∫▒〖x^2 ln⁡xdx 〗

ТЕМА 5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
5.1 Вычислить определенный интеграл
∫_1^2▒〖(3x+2)*ln⁡xdx 〗

5.2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.
y=x^2+3, x=0, y=x-1, x=2
S=S_1-S_2+S_3
S_(1 )=∫_0^2▒〖(x^2 〗+3)dx
S_2=∫_1^2▒〖( ...

ТЕМА 1. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
Вычислить пределы:
а) lim┬(x→1)⁡〖(√x-√2-x)/(x-1)〗
b) lim┬(x→0)⁡□(sin^2⁡5x/sin^(-1)⁡10x )
c)lim┬(n→∞)⁡〖((x-5)/(x-2))^x 〗

ТЕМА 3.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Используя дифференциальное исчисление, провести полное исследование функции и построить ее график:
y = 2/(x^2-4)

ТЕМА 4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вычислить неопределенные интегралы, используя методы интегрирования:
a) – непосредственное интегрирование
b) – замены переменной
c) – интегрирования по частям
a)∫▒(3^x+5^x )^2 dx
b)∫▒〖7^x/√(〖49〗^x+1) dx〗
c)∫▒〖x^2 ln⁡xdx 〗

ТЕМА 5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
5.1 Вычислить определенный интеграл
∫_1^2▒〖(3x+2)*ln⁡xdx 〗

5.2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.
y=x^2+3, x=0, y=x-1, x=2
S=S_1-S_2+S_3
S_(1 )=∫_0^2▒〖(x^2 〗+3)dx
S_2=∫_1^2▒〖(x〗-1)dx
S_3=-∫_0^1▒〖(x〗-1)dx


ТЕМА 7. РЯДЫ
7.1 Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость
∑_(n=1)^∞▒(2n-1)/2^n

7.2 Степенные ряды. Определить область сходимости степенного разряда
∑_(n=1)^∞▒〖3^n 〖(x-2)〗^n 〗

ТЕМА 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Исследовать функцию двух переменных на экстремум:
z=y^4/4-〖2x〗^2
〖z'〗_x=(y^4/4-〖2x〗^2 )^'=-4x
〖z'〗_y=(y^4/4-〖2x〗^2 )^'=1/4*〖4y〗^3=y^3

ТЕМА 9. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
9.1 Найти общее и частное решения дифференциального уравнения:
y^2 y^'=3-2x, y(0)=1
y^'=dy/dx
y^2*dy/dx=3-2x

9.1 Найти частное решения дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям x_0=0; y_0=1
y^''-y^'+9y=

ТЕМА 1. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
Вычислить пределы:
а) lim┬(x→1)⁡〖(√x-√2-x)/(x-1)〗
b) lim┬(x→0)⁡□(sin^2⁡5x/sin^(-1)⁡10x )
c)lim┬(n→∞)⁡〖((x-5)/(x-2))^x 〗

ТЕМА 3.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Используя дифференциальное исчисление, провести полное исследование функции и построить ее график:
y = 2/(x^2-4)

ТЕМА 4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вычислить неопределенные интегралы, используя методы интегрирования:
a) – непосредственное интегрирование
b) – замены переменной
c) – интегрирования по частям
a)∫▒(3^x+5^x )^2 dx
b)∫▒〖7^x/√(〖49〗^x+1) dx〗
c)∫▒〖x^2 ln⁡xdx 〗

ТЕМА 5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
5.1 Вычислить определенный интеграл
∫_1^2▒〖(3x+2)*ln⁡xdx 〗

5.2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.
y=x^2+3, x=0, y=x-1, x=2
S=S_1-S_2+S_3
S_(1 )=∫_0^2▒〖(x^2 〗+3)dx
S_2=∫_1^2▒〖( x〗-1)dx
S_3=-∫_0^1▒〖(x〗-1)dx


ТЕМА 7. РЯДЫ
7.1 Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость
∑_(n=1)^∞▒(2n-1)/2^n

7.2 Степенные ряды. Определить область сходимости степенного разряда
∑_(n=1)^∞▒〖3^n 〖(x-2)〗^n 〗

ТЕМА 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Исследовать функцию двух переменных на экстремум:
z=y^4/4-〖2x〗^2
〖z'〗_x=(y^4/4-〖2x〗^2 )^'=-4x
〖z'〗_y=(y^4/4-〖2x〗^2 )^'=1/4*〖4y〗^3=y^3

ТЕМА 9. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
9.1 Найти общее и частное решения дифференциального уравнения:
y^2 y^'=3-2x, y(0)=1
y^'=dy/dx
y^2*dy/dx=3-2x

9.1 Найти частное решения дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям x_0=0; y_0=1
y^''-y^'+9y=

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛВычислить неопределенные интегралы, используя методы интегрирования:a) – непосредственное интегрированиеb) – замены переменнойc) – интегрирования по частямa)3x+5x2dx = (32x+2*3x*5x+52x)dx = 32xdx+215xdx+22xdx = 9xdx+2*15xln15+25xdx = 9xln9+2*15xln15+25xln25+cb)7x49x+1dx = 7x=t7x*ln7dx=dt7xdx=1ln7dt=1ln7*dtt2+1 = 1ln71t2+1dt=1ln7*lnt+t2+1+c = 1ln7*ln7x+49x+1+cc)x2lnxdx = u=lnxdv=x2dxdu=1xdxv=x2dx=x33 =lnx*x33-x33*1xdx = x33lnx-13x2dx = x33lnx-13*x33+c = x33lnx-x39+cТЕМА 5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ5.1 Вычислить определенный интеграл123x+2*lnxdx = u=lnx3x+2dx=dvdu=1xdxv=3x+2dx=32x2+2x =3x22+2x*lnx12-1232x2+2x*1xdx = 3x22+2x*lnx12-1232x+2*1xdx = 3x22+2x*lnx12-32x22+2x12 = 3*222+2*2*ln2-3*122+2*1*ln1-3*224+2*2-3*124+2*1 = 6+4*ln2-3+4+34-2 = 10*ln2-5+34 = 10*ln2-53430118052419355.2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.y=x2+3, x=0, y=x-1, x=2S=S1-S2+S3S1 =02(x2+3)dx S2=12(x-1)dx S3=-01(x-1)dx S1 =02(x2+3)dx = x33+3x02 = 233+6-033-0 = 83+6 = 8+183 = 263S2=12(x-1)dx =x22-x 12 = 42-2-12-1 = 12S3=-01(x-1)dx =-x22-x 01 = -12-1 = 12S2= S3 S= S1= 263=823 кв. ед.ТЕМА 6. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛВычислить интеграл или установить его расходимостьа)1+∞dxx2+x = limb→∞1bdxx2+x = limb→∞(x2+x)-1dx = limb→∞1b(x-1+x+1-1)dx = limb→∞(1bx-1dx+1b-(x+1)-1dx) =limb→∞(lnx1b-1bu-1dx) = limb→∞(lnx1b-ln(x+1)1b) =limb→∞(lnb-ln1-(lnb+1-ln2)) = limb→∞(lnb-lnb+1-ln2) = -ln2интеграл сходитсяб)-10dxx3 = limδ→0-1-δ = limδ→0(x-2-2)-1-δ = -12limδ→01x2--δ =-12limδ→0(1(-δ)2-1(-1)2) = -12limδ→01δ2-1 = интеграл расходитсяТЕМА 7. РЯДЫ7.1 Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимостьn=1∞2n-12nПрименим признак Даламбераun=2n-12n un+1=2n+1-12n+1=2n+12n+1limn→∞un+1un=limn→∞2n+1*2n2n+1*2n-1=12limn→∞2n+12n-1=12limn→∞2+1n2-1n= 12*1 = 12<1 - значит по признаку Даламбера ряд сходится7.2 Степенные ряды.