Конус

Определение и свойства конуса.

Форму конуса (приближено) имеют терриконы и вулканы, воронки и колбы, кульки и кучи песка и т.д. В геометрии же конус, как и цилиндр, определяют как фигуру, образованную отрезками.

Пусть дана плоская фигура F и некоторая точка P, не лежащая с фигурой F в одной плоскости. Отрезки, проведенные из точки P во все точки фигуры F, образуют фигуру, которую называют конусом (рис.1).

Рис.1

Точка P называется вершиной конуса, а фигура F – основанием конуса. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками его основания, называются, образующими конуса. Высотой конуса называется перпендикуляр из вершины конуса на плоскость его основания, а также длина этого перпендикуляра.

Конусом называют также фигуры, образованные лучами, идущими из точки Р через точки фигуры F и точку Р.

Около конуса шар можно описать всегда. Центром шара является центр окружности, описанной около осевого сечения конуса. Радиус шара R=.

В конус шар можно вписать всегда. Центром шара является центр вписанной в осевое сечение конуса окружности. Радиус вписанного шара R_впис вычисляется по формуле: R_впис = .

Сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания.

Теорема: Если плоскость пересекает конус и параллельна плоскости его основания, то сечение конуса такой плоскостью подобно основанию конуса. Коэффициент их подобия равен отношению расстояния от вершины конуса до плоскости сечения к высоте конуса.

Напомним, что фигура F' подобна фигуре F с коэффициентом k > 0, если можно так сопоставить их точки, что X'Y' = kXY для любых точек X, Y фигуры F и соответствующих им точек X', Y' фигуры F' и F подобны. Для этого каждой точке

XF сопоставим точку X'F', в которой отрезок PX пересекает плоскость ?'.

Проведем высоту PA конуса K и пусть A' – точка, в которой высота PA пересекает плоскость ?'. Отрезок PA' является высотой конуса K', отсеченного плоскостью ?'.

Возьмем любые две точки X, Y основания F и пусть X', Y' – соответствующие им точки F'. Рассмотрим треугольники PXY и PX'Y'. Они подобны, так как отрезки X'Y' и XY параллельны (поскольку плоскость PXY пересекает параллельные плоскости ? и ?' по параллельным прямым). Поэтому

X'Y':XY = PX':PX (1)

Теперь рассмотрим треугольники PAX и PA'X'. Они также подобны и потому

PX':PX = PA':PA (2)

Из неравенства (1) и (2) следует, что X'Y':XY= PA':PA, а это и означает подобие фигур F' и F с коэффициентом k = PA':PA.

Конус вращения.

Рассмотрим конус, у которого основания круг, а вершина P проектируется в центре O его основания.

Как следует из теоремы о сечении конуса, в пересечении такого конуса с плоскостями, параллельными плоскости его основания (и, тем самым, перпендикулярными его высоте PO), получаются круги с центрами на высоте PO. Следовательно, рассматриваемый конус является фигурой вращения: его высота и есть его ось вращения. Поэтому такой конус называют конусом вращения.

Итак, конусом вращения называется конус, основание которого – круг и вершина которого проектируется в центре основания.

Осевые сечения конуса вращения – это его сечения плоскостями, проходящими через его ось. Все такие сечения представляют собой равнобедренные треугольники, поскольку вершина конуса вращения равноудалена от всех точек окружности его основания.

«Половина» осевого сечения конуса вращения – прямоугольный треугольник с катетом на оси конуса. Прямой круговой конус и получается вращением вокруг катета этого треугольника или вращением равнобедренного треугольника вокруг оси симметрии.

Любая плоскость, проходящая через ось конуса вращения, является его плоскостью симметрии.

Фигура, состоящая из тех образующих конуса вращения, которые соединяют его вершину с окружностью основания, называется боковой поверхностью конуса вращения. Она сама является конусом вращения с той же вершиной, основанием которого служит окружностью основания исходного конуса вращения. Все образующие, лежащие на боковой поверхности конуса вращения, равнонаклонены к плоскости его основания.

Поверхность конуса вращения состоит из его основания и его боковой поверхности. (Поверхность конуса вращения называют также его полной поверхностью).

Усеченный конус.

Усеченный конус получается, если от конуса отсечь меньший конус плоскостью, параллельной основанию. В усеченном конусе два основания: «нижнее» - основание исходного конуса – и «верхнее» - основание отсекаемого конуса. По теореме о сечении конуса – основание усеченного конуса подобны.

Высотой усеченного конуса называется перпендикуляр, опущенный из точки одного основания на плоскость другого. Все такие перпендикуляры равны. Высотой называют также их длину, т.е. расстояние между плоскостями оснований.

Усеченный конус вращения получается из конуса вращения. Поэтому его основания и все параллельные им его сечения – круги с центрами на одной прямой – на оси. Усеченный конус вращения получается вращением прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям, или вращением равнобедренной трапеции вокруг оси симметрии.

Боковая поверхность усеченного конуса вращения – это принадлежащая ему часть боковой поверхности конуса вращения, из которого он получен. Поверхность усеченного конуса вращения (или его полная поверхность) состоит из его оснований и его боковой поверхности.

Площадь поверхности конуса.

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих (рис. 3, а, в). Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор (рис.3, б), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора – длине окружности основания конуса.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развертки. Выразив площадь S_бок боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r. Площадь кругового сектора – развертки боковой поверхности конуса (рис. 3, б) – равна , где - градусная мера дуги АВА', поэтому

рис. 3, а рис. 3, б

S_бок = . (1)

Выразим через l и r. Так как длина дуги АВА' равна 2?r (длине окружности основания конуса), то 2?r = , откуда . Подставив это выражение в формулу (1), получим

S_бок = ?rl

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади

S_кон = ?r (l + r)

где r – радиус основания конуса, h – высота конуса, l – образующая конуса.

Изображения конуса вращения и усеченных конусов вращения.

Прямой круговой конус рисуют так. Сначала рисуют эллипс, изображающий окружность основания (рис. 3.1). Затем находят центр основания – точку О и вертикально проводят отрезок РО, который изображает высоту конуса. Из точки Р проводят к эллипсу касательные (опорные) прямые (практически это делают на глаз, прикладывая линейку) и выделяют отрезки РА и РВ этих прямых от точки Р до точек касания А и В. Обратите внимание, что отрезок АВ – это не диаметр основания конуса, а треугольник АРВ – не осевое сечение конуса. Осевое сечение конуса – это треугольник АРС: отрезок АС проходит через точку О. Невидимые линии, рисуют штрихами; отрезок ОР часто не рисуют, а лишь мысленно намечают, чтобы изобразить вершину конуса Р прямо над центром основания – точкой О.

Изображая усеченный конус вращения, удобно нарисовать сначала тот конус, из которого получается усеченный конус

Задача №1

Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.

Дано:

АВС – осевое сечение прямоугольный
r = 5см

S_АВС - ?

Решение:

S_АВС = ;

По свойствам равнобедренного

прямоугольного треугольника.

- равнобедренный; АО = ОС = ОВ = 5см.

АС = 10см; S_АВС = (см²)

Ответ: S_АВС = 25(см²)

Задача №2

Образующая конуса равна l, а радиус основания равен r. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°.

Дано:

Конус

АК=60°

r – радиус

l – образующая

S_{сечения} - ?

Решение:

Сечение конуса проходящего через вершину конуса и
хорду основания – является равнобедренным АВК.

АВ=ВК= l; АОК = ;

В , АО = ОК = r; АОК = 60°, тогда АОК –

равнобедренный. АК = r.

По формуле Герона:

S = ; р = ;

Р = .

S = = = == = .

S==60°.
р – полупериметр.

Ответ: S = .

Задача №3

Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9см, а дуга равна 120^°.

Дано:

конус

R = l = 9см.

120°

S_осн -?
h - ?

V- ?

Решение:

2?r = = ; r = = = = 3 (см)

Из АОВ по теореме Пифагора:

h = = = 6(см)

S_осн = ?r²; S_осн = 9? (см²)

V = S_осн · h; V = = 3=(см³).

Ответ: V = (см³); h = 6(см); S = 9? (см²).

Задача №4

Площадь осевого сечения конуса равна 0,6см². Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.

Дано:

Конус

S_сеч = 0,6см²

h = 1,2 см

S_пол -?

Решение:

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС = l.

АС = 2r; S_сеч = ; S_сеч = == 1см.

r = 0,5; S_пол = ?r (r+l).

По теореме Пифагора:

l² = h² + r²; l = ; l = = = 1,3(см)

S_полн = ?r (r+l); S_полн = ? 0,5(0,5 + 1,3) = 0,9? (см²).

Ответ: S_полн = 0,9? (см²).

Список литературы:

1. Учебное пособие для студентов. Геометрия 2 часть. Просвещение 1987г. Атанасян Л.С., Базылев В.Т.

2. Стереометрия. Геометрия в пространстве. Александров А.Д., Вернев А.Л.

3. Большая школьная энциклопедия. Том 1, Москва 2004. Штейн Е.А.