РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт дистанционного образования
Контрольная работа по дисциплине
«Высшая математика»
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного 3
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение 6
3. Интегральное исчисление функции одного переменного 10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 11
1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
1.
Вычислить предел
Решение
.
Ответ: 0.
2.
Найти асимптоты функции
Решение
Т.к. нет точек разрыва, вертикальной асимптоты у функции нет.
.
Значит, горизонтальной асимптоты у функции нет.
,
.
Следовательно,
график функции имеет наклонную асимптоту
.
Ответ: вертикальной и горизонтальной асимптот нет;
-
наклонная асимптота.
3.
Определить глобальные экстремумы
,
при
Решение
Вычислим
производную функции:
.
Решая уравнение
,
получаем две точки возможного экстремума:
и
.
Но в интервал
точка
не входит.
,
,
.
Ответ:
(т. глобального максимума),
(т.
глобального минимума).
4.
Исследовать на монотонность, найти
локальные экстремумы и построить эскиз
графика функции
Решение
Вычислим
производную функции:
.
Решая уравнение
,
получаем две точки возможного экстремума
,
.
+
+
-1
- 3 x
-
т. максимума,
-
т. минимума.
-
функция возрастает,
-
функция убывает.
5.
Найти промежутки выпуклости и точки
перегиба функции
Решение
Вычислим
первую производную функции:
.
Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:
Решая
уравнение
,
получаем
.
+
+
1
Значит,
точек перегиба нет,
- направление выпуклости графика вниз.
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение
1.
Провести полное исследование свойств
и построить эскиз графика функции
Решение
1.
.
2.
График функции
не имеет точек пересечения с осью 0x,
но пересекает ось 0y
в точке (0;-1).
3.
Исследуем поведение функции вблизи
точки разрыва
.
Т.к.
при
,
при
,
то прямая
является вертикальной асимптотой
графика функции.
.
Значит, горизонтальной асимптоты у графика нет.
,
.
Следовательно,
график функции имеет наклонную асимптоту
.
4.
,
,
,
.
+
+
-
1 -
– т.
максимума,
-
т. минимума.
-
функция возрастает,
-
функция убывает.
5.
Т.к.
в нуль не обращается, то точек перегиба
нет.
+
-
1
-
направление выпуклости графика вверх,
а на
- вниз.
6.
Эскиз графика
2.
Найти локальные экстремумы функции
Решение
Первые
частные производные функции
имеют вид
=
,
=
.
Для нахождения подозрительных на локальный экстремум точек необходимо решить систему уравнений:
Следовательно, O (2;2) – точка возможного экстремума.
Определяем вторые частные производные:
,
,
.
.
Поскольку
,
то в точке O
(2;2) экстремума нет.
Ответ: точек экстремума нет.
3.
Определить экстремумы функции
,
если
,
,
.
Решение
Составляем
функцию Лагранжа
,
где
- неопределенный числовой множитель.
Ее
первые производные равны
,
.
Составляем и решаем систему уравнений:
При
,
O
(1;1) – точка возможного экстремума.
Определяем вторые производные функции Лагранжа
,
,
.
Составляем выражение:
.
Находя производные:
,
и подставляя их в равенство
,
получаем связь
или
.
Значит,
.
При
,
,
.
В точке O
(1;1) функция
имеет строгий условный максимум.
Ответ:
- строгий условный максимум.
3. Интегральное исчисление функции одного переменного
1-3. Найти неопределенный интеграл
1.
.
2.
.
3.
.
4.
Вычислить
Решение
.
Ответ:
.
5.
Определить длину кривой, описываемой
графиком функции
,
.
Решение
.
Ответ:
.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры – М.: Наука, 1980, 1984.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980, 1984.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1981, 1985.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. – М.: Наука, 1982.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980, 1984.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1980, ч. I, II.
Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. – М. Физматгиз, 1962-1963; М.: Наука, 1964-1975.
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под. Ред. БП. Демидовича. – М.: Физматгиз, 1959-1963; М.: Наука, 1964-1978.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.- М.: Гостехиздат, 1954-1956; М.: Физматгиз, 1958-1963; М.: Наука, 1965-1980.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. – М.: Наука, 1970-1985, т.1, 2.