Задача линейного програмирования

~ ..

'.~

Содержание.

Задание 1.

Задача линейного программирования………………………………………………….3

Задание 2.

Транспортная задача……………………………………………………………………15

Задание 3.

Моделирование систем массового обслуживания……………………………………23

Список использованной литературы ………………………………………………….30

Вариант 3.

Задание №1.

Задача линейного программирования.

Предприятие выпускает два вида продукции А и В, для производства которых ис­пользуется сырье 3 трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида а₁, а₂, а₃ кг соответственно, а для единицы изделия В – b₁, b₂, b₃ кг. Производство обеспеченно сырьем каждого вида в количестве Р₁, Р₂, Р₃ кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет руб., а единицы изделия В - руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость готовой продукции:

а) решите задачу симплекс-методом;

б) сформулируйте двойственную задачу и найдите ее решение;

в) определите интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к измене­нию сырья каждого вида в отдельности;

г) оцените стоимость готовой продукции, если запасы сырья каждого вида на производстве изменились на величину , , кг соответственно;

д) решите исходную задачу геометрически.

а1	а2	а3	b1	b2	b3	Р1	Р2	Р3
8	10	2	3	9	9	960	1620	1260	-140	-145	-65	50	70

Решение:

Составим экономико-математическую модель задачи. Для этого обозначим - количество изделий вида А, - количество изделий вида В. эта задача является задачей оптимального использования сырья, поэтому система ограничений имеет вид:

(1)

где справа стоит количество каждого вида сырья, которое не может быть превышено в процессе производства изделий. Эти ограничения являются нетривиальными.

Далее, количество изделий физически является неотрицательными (нельзя произвести отрицательное количество изделий), что дает нам тривиальные ограничения задачи:

(2)

Наконец, функция цели (целевая функция) представляет собой общую стоимость произведенной продукции, и эта функция в данной задаче оптимизируется на максимум:

(3)

Для решения задачи симплекс- методом приведем задачу (1) - (3) к каноническому ви­ду; введя дополнительные балансовые переменные, которые означают остатки сырья соответственно l-го, 2-го и 3-го типов. При этом неравенства (1) преобразуются в уравнения (другими словами, левые части сбалансированы с правыми частями):

(4)

По смыслу балансовые переменные также неотрицательны, поэтому тривиальная сис­тема ограничений принимает вид:

. (5)

Введем балансовые переменные и в целевую функцию с нулевыми коэффициентами:

(6)

Задача в форме (4)-(6) имеет канонический вид. При этом систему (4) можно записать векторной форме:

где , ,,,,.

Здесь векторы ,и имеют предпочтительный вид, т.е. являются единичными в одном из компонентов и нулевыми во всех остальных компонентах. Вектор называется столбцом свободных членов системы ограничений.

Для решения задачи (4)-(6) симплекс-методом необходимо иметь опорный план, т.е. допустимое базисное решение системы (4). Для этого все векторы надо разделить на две груп­пы - базисные и свободные. Сначала выбираем базисные. Поскольку нетривиальных ограни­чений всего три, то и базисных векторов будет тоже три. В качестве базисных выбирают век­торы, имеющие предпочтительный вид, т.е. в данном случае ,и . Им соответствуют базисные переменные системы (4). Остальные переменные будут свобод­ными. При получении базисного решения все свободные переменные приравниваются к нулю. Подставив в (4) , легко получаем остальные компоненты опорного плана:

.

В векторном виде этот опорный план выглядит так:

.

Подставив компоненты в (6), получим значение целевой функции для этого плана:

.

Теперь составим первоначальную симплексную таблицу:

СБ	Б	0	50	70	0	0	0
0		960	8	3	1	0	0
0		1620	10	9	0	1	0
0		1260	2		0	0	1
	0			0	0	0

В верхней строке, над обозначениями векторов, стоят коэффициенты целевой функции при соответствующих переменных. Нулевое значение над говорит о том, что свободный член в целевой функции отсутствует. Нижняя строка таблицы, которая называется индексной строкой, содержит взятые с обратным знаком значения коэффициентов из верхней строки.

Второй столбец таблицы состоит из обозначений базисных векторов. Порядок, в котором они записаны, не случаен. Каждый вектор поставлен в той строке, где в столбце коэффициентов этого вектора находится единица. Слева от базисных векторов, в первом столбце таблицы, поставлены соответствующие коэффициенты целевой функции (из верхней строки).

Переход к новому, лучшему опорному плану называется итерацией симплекс-метода. Она представляет собой преобразование однократного замещения, поскольку при этом происходит переход к новому базису: один из базисных векторов становится свободным, а в базис, наоборот, входит один из бывших свободных векторов.

Найдем эту пару векторов. Сначала определим вектор, который войдет в базис. Это, должен быть один из свободных векторов, т.е. или . Выбираем тот вектор, которому в индексной строке соответствует самое отрицательное число (-70, обозначено стрелкой). Значит, вектор становится базисным.

Теперь определим вектор, «покидающий» базис. Это делается с помощью симплексных отношений, обозначенных в последнем столбце симплекс-таблицы. Как видно из заголовка столбца, числителем симплексного отношения является свободный член ограничения, а знаменателем - положительные коэффициенты ведущего столбца, т.е. столбца (вектора, который теперь войдет в базис). Строка, в которой находится минимальное симплексное от­ношение, называется ведущей строкой. В той же строке находится вектор , покидающий наш первоначальный базис. Только при этом условии гарантируется неотрицательность сво­бодных членов при пересчете таблицы. Отметим также, что при симплексные отно­шения являются не допустимыми или не существуют; их не следует рассматривать при оп­ределении минимального отношения.

Элемент таблицы, находящийся на пересечении ведущего столбца и ведущей строки,

называется ведущим элементам таблицы (он обозначен сплошным квадратом).

Теперь приступим к пересчету таблицы. Это делается в три этапа. Сначала ведущая строка делится на ведущий элемент. Далее впишем в таблицу столбцы новых базисных векторов. При этом, поскольку и остались в базисе, их столбцы остаются без изменений, а столбец становится точно таким же, каким до этого был .

Наконец, на третьем этапе определим значения в оставшихся девяти клетках таблицы. Их нужно пересчитать по правилу прямоугольника.

Для любого элемента первоначальной таблицы можно определить прямоугольник (см. рис.).

Здесь - ведущий элемент, - старое значение элемента в искомой ячейке, и - эле­менты, находящиеся с ними на пересечении строк и столбцов.

Новое значение элемента а_н получается из формулы:

.

Получаем таблицу первой итерации симплекс-метода:

СБ	Б	0	50	70	0	0	0
0		540	22/3	0	1	0	-1/3
0		360		0	0	1	-1
70		140	2/9	1	0	0	1/9
	9800		0	0	0	70/9

Произошел переход новому базису: , , . При этом переменные являют­ся свободными, и в опорном плане их значения равны нулю. Значения остальных перемен­ных получаем из нового столбца свободных членов:

.

Запишем опорный план в векторной форме:

.

Этому плану соответствует значение целевой функции, равное 9800. В новой таблице это значение зафиксировано в индексной строке в столбце свободных членов.

В индексной строке остался один отрицательный элемент, поэтому полученный план не является оптимальным. Значение находится в столбце , поэтому войдет в новый базис. Минимальное симплексное отношение достигается в строке базисного вектора , который выходит из базиса.

Пересчитываем таблицу первой итерации и получаем таблицу второй итерации:

СБ	Б	0	50	70	0	0	0
0		210	0	0	1	-11/12	7/12
50		45	1	0	0	1/8	-1/8
70		130	0	1	0	-1/36	5/36
	11350	0	0	0	155/36	125/36

Аналогично определяем новый опорный план:

Ему соответствует значение целевой функции, равное 11350. Поскольку в индексной строке больше нет отрицательных элементов, план является оптимальным:

.

Итак, задача линейного программирования решена.

б) Двойственная задача и её решение.

Рассмотрим исходную задачу (1)- (3). При переходе к двойственной задаче нужно вы­полнить ряд правил. Во-первых, каждому ограничению (1) исходной задачи соответствует переменная двойственной задачи. Таким образом, здесь будут три двойственные переменные . Во-вторых, ограничения двойственной задачи соответствуют столбцам системы (1); неравенства типа превращаются в неравенства типа, а свободными членами становятся коэффициенты при соответствующих переменных целевой функции (3). В-третьих, целевая функция двойственной задачи оптимизируются не на максимум, а на минимум; коэф­фициентами становятся свободные члены системы (1). Наконец, двойственные переменные , как и переменные задачи (1)-(3), подчиняются тривиальным условиям неотрицательно­сти. С учетом этих замечаний задача, двойственная задаче (1)-(3), имеет вид:

, (7)

(8)

(9)

Эта задача тоже является задачей линейного программирования и также может быть решена симплекс-методом. Однако обе задачи, прямая и двойственная, тесно связаны между собой, и поэтому мы можем гораздо проще получить решение одну из них, если известно решение другой.

Оптимальное решение задачи (7)-(9) находится в индексной строке последней симплекс-таблицы и столбцах, соответствующих первоначальному базису. Отсюда находим:

, .

Таким образом,

Это означает, что при производстве данного вида изделий ресурс второго и третьего типа дефицитны, т.е. используются полностью, а первый ресурс используется не полностью (поскольку ).

в) Определение интервалов устойчивости двойственных оценок к изменению запа­сов сырья.

Согласно теории линейного программирования, двойственные оценки различных видов сырья (т.е. значения ) будут устойчивы к изменению запасов ресурсов (не поменяют своих значений), если выполняется условие (для всех компонент):

.

Здесь - матрица состоящая из столбцов первоначального базиса (т.е. ) последней симплекс-таблицы:

.

Вектор - вектор первоначальных запасов сырья, - вектор изменения запасов сырья. В данном случае:

; .

Сначала определим интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению сырья каждого вида.

Запишем неравенство (10):

.

Матричное неравенство преобразуем в систему скалярных неравенств:

или:

Рассмотрим устойчивость двойственных оценок к изменению запасов только первого вида сырья, т.е. . Подставляя в систему, найдем:

Объединяя эти неравенства, получаем:

.

Изменение запасов сырья только второго вида дает нам сле­дующее:

Отсюда получаем:

.

Аналогично исследуем устойчивость по третьему виду сырья (:

.

Как и следовало ожидать, произвольное увеличение недефицитного первого вида сырья не изменит его нулевой двойственной оценки.

г) Определение нового оптимального плана при измененных запасах сырья .

Проверим выполнение неравенства (10) для условий нашей задачи:

Так как все компоненты полученного вектора неотрицательны, то, при заданных изме­нениях запаса сырья двойственные оценки не изменятся. Это означает, что второй и третий виды сырья также будут использованы полностью, поэтому второе и третье неравенства системы (1) с измененными правыми частями можно записать как уравнения:

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решая её, получаем новый оптимальный план:

.

Новая стоимость продукции получается подстановкой новых оптимальных значений в целевую функцию (3):

.

д) Геометрическое решение исходной задачи.

Рассмотрим исходную задачу (1 ) - (3). Поскольку в ней только две переменные , то её можно решить графически на координатной плоскости . Тривиальные неравенства (2) означают, что решение следует искать в первом квадранте системы координат. Нетривиальные неравенства (1) представляют собой полуплоскости, пересечение которых в пределах первого квадранта образует так называемую область допустимых решений (ОДP) задачи линейного программирования. Оптимальный план представляет собой одну из угловых точек ОДР.

Построим, например, полуплоскость, отвечающую первому неравенству системы (1):

.

Эта полуплоскость лежит с одной стороны от прямой, заданной уравнением:

Линию, если она не проходит через начало координат, проще всего построить по двум точкам на осях координат. Строем прямую, получаем две полуплоскости, выше и ниже этой прямой. Исходному неравенству отвечает только одна из этих полуплоскостей. Она опреде­ляется подстановкой в неравенство пробной точки, не лежащей на граничной прямой. Например, такой точкой может быть начало координат.

Аналогично построив две другие полуплоскости, получим ОДР (рис.1).

Теперь надо найти угловую точку ОДР, в которой целевая функция достигает макси­мума. Для этого построим вектор роста целевой функции = (50; 70) , который состоит из коэффициентов целевой функции при соответствующих переменных и опорную прямую , перпендикулярную вектору . Передвигая опорную прямую вдоль вектора роста и перпендикулярно ему, получаем, что максимум целевой функции достигается в точке Х – это последняя точка пересечения опорной прямой и ОДР.

Точка Х образована пересечением границ 2-го и 3-ro нера­венств, поэтому эти неравенства запишутся как уравнения:

Из (1): , подставим в (2):

Решение этой системы дает оптимальный план первоначальной задачи:

Как и следовало ожидать, полученные числа совпадают с решением симплекс-методом.

Рис.1. Графическое решение задачи линейного программирования.

Задание 2.

Транспортная задача.

­

На трех базах находится однородный груз в количестве т соот­ветственно. Этот груз необходимо развезти пяти потребителям потребно­сти которых в данном грузе равны т. Стоимость перевозок пропорцио­нальна расстоянию и количеству перевозимого груза. Задана матрица тарифов - стои­мости перевозки единиц груза от каждой базы каждому потребителю. Необходимо спла­нировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Матрица тарифов:

Решение.

Составим транспортную таблицу по условиям задачи:

ПН ПО						Запасы,
	16	9	10	12	13	100
	5	11	8	6	9	150
	7	4	5	16	25	250
Потребности,	100	40	140	60	160

Строки таблицы соответствуют базам (пунктам отправления, ПО), а столбцы - заказчи­кам (пунктам назначения, ПН). Каждая клетка на пересечении некоторого столбца и какой­ либо строки соответствует одному маршруту перевозок. Тарифы перевозок указаны в правом верх­нем углу каждой клетки.

Так как сумма запасов равна сумме потребностей:

,

то говорят, что такая транспортная задача имеет закрытую модель. Решение транспортной задачи с закрытой моделью поводится по следующему алго­ритму:

Шаг 1. Находится первоначальный опорный план задачи.

Шаг 2. Полученный план проверяется на оптимальность (с помощью метода потенциалов). Если план оптимален, то он и будет решением. Иначе переходим к шагу ­ 3.

Шаг 3. Улучшаем план с помощью метода пересчета по циклу и возвращаемся к шагу 2.

На Шаге 1 подготавливается первоначальный опорный план тремя разными методами: методом северо-западного угла, методом минимальной стоимости и методом двойного предпочтения. Затем из этих трех планов выбирается самый выгодный. Его и под­вергают процедуре дальнейшей оптимизации методом потенциалов.

Рассмотрим метод северо-западного угла, или диагональный метод. В этом методе за­полнение транспортной таблицы всегда начинается с клетки , т.е. "северо-западного угла" таблицы. Далее, заполнение идет вокруг диагонали таблицы и всегда заканчивается в правом нижнем углу (клетка (3; 5 ). В каждой клетке объем перевозки определяется как наименьшее значение из двух чисел: остатка запаса на базе и остатка заявки потребителя.

Отсюда:

В результате получаем опорный план :

ПН ПО
100	40	140	60	160
	100	16 100	9	10	12	13
	150	5	11 40	8 110	6	9
	250	7	4	5 30	16 60	25 160

В этом опорном плане 6 занятых клеток. В невырожденном плане их должно быть , где т - число баз, п - число заказчиков. Полученный план является выро­жденным.

Подсчитаем общую стоимость перевозок. Она складывается из произведений объемов перевозок и тарифов по всем занятым клеткам:

Как видим, при распределении грузов совсем не учитывается стоимость перевозок. Поэто­му, как правило, метод северо-западного угла дает опорный план, далекий от оптимального.

Построим опорный план методом минимальной стоимости (или минимального элемента). Сначала из всей таблицы выбираем клетку с самым ма­леньким тарифом. В эту клетку помещаем максимально возможную перевозку, а затем вычеркиваем клетки, ставшие ненужными. Затем в оставшейся части таблицы процесс повторя­ем, пока вся таблица не будет заполнена.

Запишем последовательность заполнения клеток:

В результате получаем новый опорный план :

ПН ПО
100	40	140	60	160
	100	16	9	10	12 10	13 90
	150	5 100	11	8	6 50	9
	250	7	4 40	5 140	16	25 70

.

Теперь построим опорный план методом двойного предпочтения. При этом сначала в каждом столбце отметим галочкой клетку с наименьшей стоимостью, затем то же самое де­лаем с каждой строкой. Далее максимально возможные объемы перевозок помещаем в клет­ки, отмеченные двойной галочкой. Затем распределяем перевозки по клеткам, отмеченным одной галочкой начиная с наименьшей. В оставшейся части таблицы перевозки распределя­ем по методу минимальной стоимости.

Клетки с двумя галочками:

Клетки с одной галочкой:

Остальные клетки:

Получаем новый опорный план:

ПН ПО
100	40	140	60	160
	100	16	9	10	12 10	13 90
	150	5 100	11	8	6 50	9
	250	7	4 40	5 140	16	25 70

.

В этом опорном плане 7 занятых клеток. Полученный план является невыро­жденным.

Шаг 2: проверка плана по методу потенциалов.

Определяем потенциалы поставщиков и потребителей.

На этом этапе составляем систему уравнений для потенциалов, используя только заня­тые клетки. Используем последний опорный план:

Заметим, что в этой системе всего неизвестных, а уравнений всего , поскольку в невырожденном опорном плане всего 7 заполненных клеток. Для однозначного решения не хватает одного уравнения. В этом случае один из потенциалов, например, приравнивают нулю.

Получаем:

.

Для свободных клеток вычисляем оценки:

(11)

Среди полученных оценок имеются отрицательные, значит, найденный план неоптимальный. Произведем загрузку клетки (3, 1) с наименьшей оценкой .

Строим замкнутый цикл:

ПН ПО
100	40	140	60	160
	100	16	9	10	«-» 12 10	«+» 13 90
	150	«-» 5 100	11	8	«+» 6 50	9
	250	«+» 7	4 40	5 140	16	«-» 25 70

Получим новый опорный план:

ПН ПО
100	40	140	60	160
	100	16	9	10	12	13 100
	150	5 90	11	8	6 60	9
	250	7 10	4 40	5 140	16	25 60

.

Вычисляем оценки свободных клеток:

Произведем загрузку клетки (2, 5) .

Строим замкнутый цикл:

ПН ПО
100	40	140	60	160
	100	16	9	10	12	13 100
	150	«-» 5 90	11	8	6 60	«+» 9
	250	«+» 7 10	4 40	5 140	16	«-» 25 60

Получим новый опорный план:

ПН ПО
100	40	140	60	160
	100	16	9	10	12	13 100
	150	5 30	11	8	6 60	9 60
	250	7 70	4 40	5 140	16	25

.

Вычисляем оценки свободных клеток:

Так как все оценки неотрицательны, то получен оптимальный план.

Запишем решение транспортной задачи:

.

Задание № 3.

Моделирование систем массового обслуживания.

Станция автосервиса работает 12 часов в сутки. На станции два здания для рабочих разной специализации. В первом - боксов для обслуживания отечественных автомоби­лей, во втором - боксов для ремонта «иномарок». Бригада «отечественного» бокса об­служивает отечественный автомобиль в среднем за минут, а «иностранная» бригада тратит на иномарку в среднем минут. В течение рабочего дня автомобили прибывают на станцию, в случайные моменты времени с интенсивностью: отечественные - авто­мобилей в день, иномарки - автомобилей в день. Если хотя бы один из необходимых боксов свободен, то автомобиль сразу же начинает обслуживаться. Если все заняты, то ав­томобиль занимает свободное место на стоянке около соответствующего здания. Если за­няты все места, то он уезжает не обслуженным. Около «отечественного» здания мест, около «иностранного» - . Средняя прибыль, получаемая с отечественных и иностран­ных автомобилей, одинакова и равна С руб. за машину.

Компания рассматривает проект объединенной работы двух зданий, при которой каждый поступающий автомобиль без учета специфики поступает в любой свободный бокс или на объединенную стоянку. Известно, «отечественная» бригада будет тратить на иномарки в среднем минут, а бригада, квалифицирующаяся на иномарках, минут на отечественный автомобиль.

Определить целесообразность такого объединения с точки зрения:

1. Максимизации средней прибыли компании.

2. Минимизации среднего времени нахождения автомобиля на станции.

Данные к задаче приведены в следующей таблице:

								С
2	3	45	60	56	36	4	3	340	70	55

Решение.

1. Сначала определим основные параметры системы до объединения.

Находим интенсивность обслуживания автомобилей одним боксом по формуле:

. (12)

(авт./мин),

(авт./мин).

Переведем интенсивность из авт./мин в авт./день. С учетом того, что рабочий день на станции 12 часов, а в часу 60 минут, получим:

(авт./день),

(авт./день).

Вычислим интенсивность нагрузки по формуле:

. (13)

Определим вероятность того, что все боксы будут свободны по формуле:

(14)

где:

при , при (15)

(16)

В нашей задаче:

.

То есть около 1% времени простаивают все «отечественные» боксы и около 4% «иностранные».

Вероятность отказа в обслуживании из-за занятости всех боксов и всех мест в очере­ди определяется по формуле:

(17)

То есть не обслуживаются из-за полной загруженности 44,2% отечественных автомобилей и 17% иномарок.

Относительная пропускная способность каждого здания равна:

(18)

Абсолютная пропускная способность - среднее число автомобилей, получив­ших обслуживание за день, определяется по формуле:

(19)

Тогда средняя прибыль компании за день равна:

(руб.)

Среднее время пребывания одного автомобиля на станции (среднее время пребывания в системе) вычисляется по формуле:

(20)

где - среднее число обслуживаемых автомобилей,

- среднее число автомобилей в очереди.

(21)

(22)

при при (23)

В нашей задаче:

(раб.день) (мин.).

То есть, в «отечественном» здании занято в среднем 1,95 бокса, 2,9 места на стоянке, а отечественный автомобиль проводит на станции в среднем 111,7 минуты (в очереди и во время обслуживания).

(раб.день) (мин.).

То есть, в «иностранном» здании занято в среднем 2,49 бокса, 0,51 места на стоянке, а иномарка проводит на станции в среднем 72,3 минут.

Для определения среднего времени автомобиля на станции воспользуемся формулой:

,

где - доли «отечественных» и «импортных» машин в общем потоке.

Доля отечествен­ных автомобилей равна , а доля импортных - .

(мин.).

То есть «средний» автомобиль проводит на станции 96,3 мин.

2. Теперь определим параметры системы после объединения.

Эти параметры будем обозначать волной.

Общее число бригад (каналов обслуживания) стало равно:

Общая длина очереди:

Вычислим общую интенсивность входящего потока:

(авт./день).

Определим среднюю интенсивность обслуживания одного «среднего» автомобиля «средней» бригадой. Она может быть вычислена по формуле:

,

где и - доли «отечественных» и «импортных» бригад в объединенной станции автосервиса;

и - средние интенсивности;

и - средние времена обслуживания соответ­ствующими бригадами одной машины объединенного потока.

Эти параметры определим по формулам:

(авт./мин) = (авт./день)

(авт./мин)= (авт./день)

Доля «отечественных» бригад в общем количестве равна , а доля «импортных» бригад - . Тогда обобщенная интенсивность обслуживания равна:

(авт./день).

Используя формулы (13) – (22), найдем параметры данной системы.

.

То есть не обслуживаются из-за полной загруженности «объединенной» станции 30,5% автомобилей.

Относительная пропускная способность объединенного автосервиса равна:

Среднее число автомобилей, получивших обслуживание за день, равно:

Средняя прибыль компании за день при объединенном автосервисе равна:

(руб.)

То есть средняя прибыль компании увеличилась. Увеличение прибыли составило около 5 %:

Вычислим теперь среднее время пребывания автомобиля на «объединенной» станции.

(раб. день)(мин).

Таким образом, среднее время пребывания автомобиля на станции заметно увеличилось почти на 16 %:

%.

В итоге, из анализа данной системы массового обслуживания, можно сделать следующий вывод: объединение двух зданий может привести к незначительному увеличению прибыли при заметном увеличении времени, проводимом автомобилем на станции. Послед­ний факт может пагубно сказаться на имидже компании, и привести к большим потерям. Для данной станции автосервиса объединение нецелесообразно.

Список использованной литературы.

1. Исследование операций в экономике: Уч. пособие для вузов / Под ред. Н.Ш.Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2004. – 407 с.

2. Волошин Г.Я. Методы оптимизации в экономике: Уч. пособие. – М.: ДИС, 2004. – 320 с.

3. Фомин Г.П. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 144 с.