ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности.
Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство 1а1+2а2+…+лал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа 1, 2,…, л=0 и R
Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном i0 (i=1,…,k)
Свойства
Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.
Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.
Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.
Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.
Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.
Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число , что b=a.
Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.
Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=a. Будем считать, что а,b0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-a=0. Т.к. коэфф. При b0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. а+b=0, 0. а= -b/*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.
Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то а+b+c=0, 0. с= - /*а - /*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.
БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.
В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.
В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.
В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.
(а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц.
Свойства:
(а,b)= (b,а)
(а,b)= (а,b)
(а+b,с)= (а,с)+ (b,с)
(а,а)=|a|2 – скал.квадрат.
Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.
Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.
Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.
Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.
Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:
[a,b]= - [b,a]
[а,b]= [а,b]
[a+b,c]=[a,c]+[b,c]
[a,a]=0
Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.
Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.
Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.
Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. ea=a/|a|
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр.
Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.
Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1).
Доказательство: подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и получим Ах0+By0+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A,B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.
Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и т.д.
Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)
2. С=0, А=0, By=0, значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0
4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ
5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY
x/a+y/b=1.
Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b
x-x1/e=y-y1/m
Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)
x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1)
y=kb+b.
u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u
Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1) при y1-kx1=b, y=kx+b
xcos+ysin-P=0
- угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcos+ysin-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2=(A*t)2
Sin2=(B*t)2
-p=C*t
cos2+sin2=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1
НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.
1. xcos+ysin-P=0
- угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.
Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и
Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.
Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcos+ysin-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2=(A*t)2
Sin2=(B*t)2
-p=C*t
cos2+sin2=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.
2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.
Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos+ysin-P=0 и М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1 = x1cos+y1sin-P=0
Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x0cos+y0sin-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)
ГИПЕРБОЛА.
Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная
Каноническое уравнение:
Будем
считать, что фокусы гиперболы находятся
на ОХ на одинаковом расстоянии от начала
координат. |F1F2|=2c,
М – произвольная точка гиперболы. r1,
r2 – расстояния
от М до фокусов;
,
x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)
x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)
c2-a2=b2
x2b2-a2y2=a2b2
-
каноническое
ур-е гиперболы
ПАРАБОЛА.
Определение:
ГМТ на плоскости расстояние от которых
до фиксированной точки на плоскости,
называемой фокусом, равно расстоянию
до фиксированной прямой этой плоскости
называемой директрисой.
Каноническое
уравнение:
Пусть
фокус параболы находится на оси ОХ, а
директриса расположение перпендикулярно
оси ОХ, причем они находятся на одинаковом
расстоянии от начала координат.
|DF|=p,
М – произвольная точка параболы;
К
– точка на директрисе;
МF=r;
MK=d;
r=sqrt((x-p/2)2+y2);
d=p/2+x
Приравниваем
и получаем:
y2=2px -
каноническое
уравнение параболы
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ
И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.
1.
Определение:
эксцентриситет – величина равная
отношению с к а.
е=с/а
е
эллипсв <1
(т.к. а>c)
е
гиперболы >1
(т.к.
с>a)
Определение:
окружность – эллипс у которого а=b,
с=0, е=0.
Выразим
эксцентриситеты через а и b:
е
эллипса является мерой его “вытянутости”
е
гиперболы характеризует угол раствора
между асимптотами
2.
Директрисой D
эллипса
(гиперболы),
соответствующей фокусу F,
называется прямая расположенная в
полуплоскости перпендикулярно большой
оси эллипса и отстоящий от его центра
на расстоянии а/е>a
(а/е
D1:
x= - a/e
D2:
x= a/e
р=а(1-е2)/е
– для эллипса
р=а(е2-1)/е
– для гиперболы
ТЕОРЕМА
ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Теорема:
Отношение расстояния любой точки эллипса
(гиперболы) до фокуса к расстоянию от
нее до соответствующей директрисы есть
величина постоянная равная е эллипса
(гиперболы).
Доказательство:
для эллипса.
r1/d1=e
x|a|,
xe+a>0
r1=xe+a
d1
– расстояние
от М(x,y)
до прямой D1
xcos180+ysin180-p=0
x=-p
x=-a/e
бм=-x-a/e
d1=-бм
(минус,
т.к. прямая и точка по одну стороно о
начала коорд.)
Определение:
ГМТ на плоскости, отношение расстояния
от которых до фокуса, к расстоянию до
соответствующей директрисы есть величина
постоянная и представляет собой эллипс,
если <1,
гиперболу, если >1,
параболу, если =1.
ПОЛЯРНОЕ
УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Пусть
задан эллипс, парабола или правая ветвь
гиперболы.
Пусть
задан фокус этих кривых. Поместим полюс
полярной системы в фокус кривой, а
полярную ось совместим с осью симметрии,
на которой находится фокус.
r=
d=p+cos
e=/p+cos
-
полярное
уравнение эллипса, параболы и правой
ветви гиперболы.
КАСАТЕЛЬНАЯ
К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть
задан эллипс в каноническом виде. Найдем
уравнение касательной к нему, проходящей
через М0(x0;y0)
– точка
касания, она принадлежит эллипсу значит
справедливо:
у-у0=y’(x0)(x-x0)
Рассмотрим
касательную к кривой
следовательно
ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0
-
уравнение
касательной к эллипсу.
-
уравнение
касательной к гиперболе.
-
уравнение
касательной к параболе.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА
ПЛОСКОСТИ.
Преобразование
на плоскости есть применение преобразований
параллельного переноса и поворота.
Пусть
две прямоугольные системы координат
имеют общее начало. Рассмотрим все
возможные скалярные произведения
базисных векторов двумя способами:
(е1;е1’)=cos
u
(е1;е2’)=cos
(90+u)= -sin u
(е2;е1’)=cos
(90-u)=sin u
(е2;е2’)=cos
u
Базис
рассматривается ортонормированный:
(е1;е1’)=(е1,
11е1+12е2)=
11
(е1;е2’)=
(е1,
21е1+22е2)=
21
(е2;е1’)=
12
(е2;е2’)=
22
Приравниваем:
11=cos
u
21=
- sin u
12=sin
u
22=cos
u
Получаем:
x=a+x’cos
u – y’sin u
y=b+x’sin
u – y’cos u - формулы
поворота системы координат на угол u.
------------
x=a+x’
y=b+y’ -
формулы
параллельного переноса
ИНВАРИАНТЫ
УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение:
Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка
относительно преобразования системы
координат, называется функция зависящая
от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая
своего значения при преобразовании
системы координат.
Теорема:
инвариантами уравнения (1) линии второго
порядка относительно преобразования
системы координат являются следующие
величины: I1;
I2;
I3
Вывод:
при преобразовании системы координат
3 величины остаются неизменными, поэтому
они характеризуют линию.
Определение:
I2>0
– элиптический
тип
I2<0
– гиперболический
тип
I2=0
– параболический
тип
ЦЕНТР
ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть
задана на плоскости линия уравнением
(1).
Параллельный
перенос:
Параллельно
перенесем систему XOY
на вектор OO’
т.о. что бы в системе X’O’Y’
коэфф.
при x’
и
y’
преобразованного уравнения кривой
оказались равными нулю. После этого:
a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2)
точка
О’
находится из условия: a13’=0
и
a23’=0.
Получается
система a11x0+a12y0+a13=0
и
a12x0+a22y0+a23=0
Покажем,
что новое начало координат (если система
разрешима) является центром симметрии
кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)
Но
точка О’
существует если знаменатели у x0
и
y0
отличны
от нуля.
Точка
O’
– единственная точка.
Центр
симметрии кривой существует если I20
т.е.
центр симметрии имеют линии элиптического
и гиперболического типа
Поворот:
Пусть
система XOY
повернута на угол
u.
В новой системе координат уравнение не
содержит члена с x’y’
т.е. мы делаем коэфф. а12=0.
a12’=
-0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0
(разделим
на sin2u),
получим:
,
после такого преобразования уравнение
принимает вид
a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0
(3)
ТЕОРЕМА
О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема:
Пусть задана линия элиптического типа
т.е. I2>0
и пусть I1>0
следовательно
уравнение (1) определяет: 1. I3<0
– эллипс;
2. I3=0
– точка;
3. I3>0
– ур-е
(1) не определяет. Если I3=0
говорят, что эллипс вырождается в точку.
Если I3>0
говорят, что задается мнимый эллипс.
Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает
вид (*).
Доказательство:
1.
пусть I2>0,
I1>0,
I3<0,
тогда
а11’’x’’2+a22’’
y’’2=
-I3/I2
I2=a11’’a22’’
> 0
I1=
a11’’+a22’’
> 0
a11’’
> 0; a22’’
> 0
Итак,
под корнями стоят положительные числа,
следовательно, уравнение эллипса.
2.
I3>0
в данном случае под корнем стоят
отрицательные числа, следовательно
уравнение не определяет действительного
геометрического образа.
3.
I3=0
в данном случае т(0,0) – случай вырождения
эллипса.
ТЕОРЕМА
О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема:
Пусть уравнение (1) определяет линию
гиперболического типа. Т.е. I2<0,
I30
- ур-е
(1) определяет гиперболу; I3=0
– пару
пересекающихся прямых.
Доказательство:
I2<0;
I2=
a11’’a22’’
< 0.
Пусть a11’’>0;
a22’’<0>
Пусть
I3>0
В
данном случае мы имеем гиперболу с
действительной осью ОХ.
Пусть
I3<0>
-(-а11’’)x’’2+a22’’
y’’2=
-I3/I2
В
этом случае мы имеем гиперболу с
действительной осью ОY
Пусть
I3=0
а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть
крива второго порядка задана уравнением
(1). Рассмотрим квадратную часть этого
уравнения: u(x,y)=
a11x2+2a12xy+a22y2
Определение:
ненулевой вектор (, ) координаты
которого обращают в ноль квадратичную
часть называется вектором асимптотического
направления заданной кривой.
(,
) – вектор асимптотического направления.
a112+2a12+a222=0 (*)
Рассмотрим
(’,
’)
параллельный (, ):
следовательно
.
Дробь / характеризует вектор
асимптотического направления.
Задача:
выяснить какие асимптотические
направления имеют кривые 2-го порядка.
Решение:
положим, что 0 и поделим на 2,
получим: a11(/)2+2a12/+a22=0
из этого квадратного уравнения найдем
/.
т.к.
у линий гиперболического и параболического
типов I20,
то они имеют асимптотические направления.
Т.к. у эллипса I2>0
следовательно
таких у него нет (говорят он имеет мнимые
асимптотические направления).
Найдем
асимптотические направления у гиперболы:
(,
)1=(a,b)
(,
)2=(-a,b)
Векторы
асимптотического направления являются
направляющими векторами для асимптот.
Итак:
гипербола имеет два асимптотических
направления, которые определяются
асимптотами гиперболы.
Найдем
асимптотические направления у параболы:
y2=2px
y2-2px=0
u(x,y)=
y2+0,
y=0
(,
)=(0,0)
Итак:
вектор асимптотического направления
параболы лежит на оси симметрии параболы,
т.е. прямая асимптотического направления
пересекает параболу в одной точке, след.
асимптотой не является. Парабола имеет
одно асимптотическое направление, но
асимптот не имеет.
РАЗЛИЧНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
Пусть
задано трехмерное пространство.
Теорема:
Плоскость в афинной системе координат
задается уравнением первой степени от
трех переменных: Ax+By+Cz+D=0,
где A,B,C0
одновреенно.
Справедлива и обратная теорема.
Теорема:
Вектор n(A,
B, C) ортоганален
плоскости, задаваемой общим уравнением.
Вектор
n
– нормальный вектор плоскости.
2.
Уравнение плоскости в отрезках:
3.
Уравнение плоскости, определенной
нормальным вектором и точкой.
Пусть
n(A,B,C)
и
М(x0;y0;z0).
Запишем ур-е пл-ти:
Ax+By+Cz+D=0
Ax0+By0+Cz0=-D
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Уравнение
плоскости ч/з 3 точки.
Пусть
известны три точки не принадл. одной
прямой.
М1(x1;y1;z1);
М2(x2;y2;z2);
М3(x3;y3;z3)
Пусть
М(x;y;z)
– произвольная точка плоскости. Т.к.
точки принадл. одной плоскости то векторы
компланарны.
М1М
x-x1 y-y1 z-z1
М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0
М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1
Параметрическое
ур-е плоскости.
Пусть
плоскость определена точкой и парой
некомпланарных векторов. V(V1;V2;V3);
U(U1;U2;U3);
M0(x0;y0;z0),
тогда
плостость имеет вид: система: x=x0+V1t+U1s
и
y=y0+V2t+U2s
и
z=z0+V3t+U3s
РАССТОЯНИЕ
ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.
Ax+By+Cz+D=0;
M0(x0;y0;z0)
ВЗАИМНОЕ
РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Угол
между плоскостями:
пусть заданы две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0,
поэтому n1(A1;B1;C1);
n2(A2;B2;C2).
Отыскание угла между плоскостями
сводится к отысканию его между нормальными
векторами.
|r2-r1|=2a;
a