Задача 1. Решите уравнение ?16 + х2 = 5.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза с равна 5, катет а равен 4, а другой катет х - неизвестен. Тогда алгебраическая задача "Решите уравнение ?16 + х2 = 5." получает геометрическую интерпретацию: "Найдите катет х прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 5, а другой катет равен 4". Задача 2. Решите уравнение ?х2 - 9 = 4.
Эта задача получает почти такую же геометрическую интерпретацию, как и первая. Заметим, что при геометрической интерпретации в качестве числовых величин рассматриваются длины отрезков, т.е. модули чисел. Поэтому необходимо на последнем этапе решения задачи провести анализ полученного ответа. В результате.ю в первой задаче получаем |х|=3, а значит, х=±3. Аналогично, во второй задаче х=±5. Задача 3. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120?.
Для начала проведем высоту этого треугольника к основанию. Видно, что треугольник разделился на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузами, равными боковой стороне равнобедренного. Т.к. угол против основания равен 120?, то углы при основании равны по 30?. Следовательно высота равна половине боковой стороны. Отметим высоту за x, а боковую сторону за 2x. Т.к. высота равнобедренного треугольника, проведенная к основани. является также медианой и биссектрисой, то второй катет прямоугольного треугольника равен 9 см.
Составим уравнение:
x2 + 81 = 4x2
3x2 = 81
x2 = 27
x = 3?3 см
2х = 6?3 см.
Значит, боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6?3 см. Задача решена. Задача 4. Одна из диагоналей параллелограмма является высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.
Для того, чтобы решить эту задачу, отметим меньшую сторону параллелограмма за a = x, а большую - за b = x + 1. Так как периметр равен сумме всех сторон, то получаем:
P = 2(2x + 1) = 50
4x + 2 = 50
4x = 48
x = 12, а x + 1 = 13.
Значит, сторона a равна 13 см, а сторона b равна 12 см.Теперь, т.к. диагональ является также и высотой, рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Требуется найти катет по гипотенузе и другому катету: Древнеегипетская задача
132 = 122 + h2
h2 = 132 - 122
h = 5 см.
Итак, задача решена!
У египтян была известна задача о лотосе:
"На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну."
Попробуйте сами решить эту задачу. Естественно, при решении использовалась теорема Пифагора. Задача 6. Найдите наименьшее значение выражения ?(x2 + 1) + ?(y2 + 4) + ?(z2 + 9), если x + y + z = 8.
Это выражение можно интерпретировать как сумму гипотенуз прямоугольных треугольников, один из катетов которых равен 1, 2 и 3, а второй катет равен x, y и z соответственно. Известно, что сумма длин катетов x, y и z равна 8.
Как было сказано выше, при геометрической интерпретации данные в условии задачи числа рассматриваются как длины отрезков, а длина всегда положительна. Однако числа x, у и z, составляющие сумму x + у + z = 8, могут быть как положительными, так и отрицательными. Рассмотрим возможные варианты.
1. Все три числа х, у и z — одного знака: либо положительны, либо отрицательны. При геометрической интерпретации сумма x + у + z = 8 является длиной отрезка, равного сумме трех отрезков длины |x|, |y| и |z|.
2. Два числа, для определенности пусть это будут х и у, - одного знака, а третье число z -другого знака. При геометрической интерпретации сумма x + у + z = 8 является длиной отрезка, равного сумме двух отрезков длины |x| и |y| минус отрезок длины |z|. Решения для двух случаев одинаковы и отличаются только чертежом: в первом случае это рисунок а, а во втором случае это рисунок b. Расположим эти треугольники на чертеже в виде «цепочки» так, чтобы их катеты были соответственно параллельны (рис. а и b). Тогда
АF = ?(x2 + 1); FD = ?(y2 + 4); DB = ?(z2 + 9).
Соединим точки А и В. Так как длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы, значит,
AF + FD + DB ? AB.
Равенство достигается при условии, что точки F и D принадлежат АВ. Проведя дополнительные построения, получим треугольник AВС с прямым углом С, в котором катет АС = 8, катет BC = 6, тогда гипотенуза АВ = 10. Отсюда следует, что наименьшее значение данного выражения равно 10. Задача 7. Решите систему уравнений
при условии, что x, y, z и t - положительны.
Рассмотрим прямоугольные треугольники с гипотенузами 1, 2, 3 и 4 и катетами x, у, z и t соответственно. Расположим эти треугольники на чертеже в виде «цепочки» так, чтобы их катеты были соответственно параллельны. Проведя дополнительные построения, получим треугольник AВС с прямым углом С, у которого катет АС = 8, поскольку сумма длин соответствующих катетов ?(1 - x2), ?(4 - y2), ?(9 - z2), ?(16 - t2) равна 8. Катет ВС = 6, так как x + у + z + t = 6. тогда гипотенуза АВ = 10. Отсюда следует, что гипотенузы рассматриваемых треугольников лежат на одной прямой, потому что в противном случае длина ломаной AFEDB была бы строго больше 10.
Точки F, E и D делят гипотенузу АВ на части, которые относятся следующим образом
BD : DE : EF : FA = 1 : 2 : 3 : 4.
Проведем через эти точки прямые, параллельные катету АС. По теореме о пропорциональных отрезках катет ВС разделился в том же отношении, т.е.
x : y : z : t = 1 : 2 : 3 : 4.
Следовательно, x = 0,6, y = 1,2, z = 1,8, t = 2,4.
Задача решена.
Задача 8. На сторонах прямоугольного треугольника построены полуокружности. Площади образовавшихся лунок равны 9 и 4. Найдите площадь прямоугольного треугольника.
Отметим катеты как а и b. По теореме Пифагора гипотенуза равна ?(a2 + b2). Площадь полуокружности равна Пr2/2. Значит, сумма площадей этих лунок равна:
S = Пa2/8 + Пb2/8 + ab/2 - (Пa2 + Пb2)/8 = 13
4ab/8 = 13
S = ab/2 = 13.
Задача решена. Задача 9. Предлагаю вашему вниманию задачу для самостоятельного решения:
Найдите наименьшее значение выражения:
?(1 - x2) + ?(9 - y2) + ?(25 - z2) + ?(49 - t2),
если x + y + z + t = 6 и все эти перемeнные положительны. Задача 10. С помощью теоремы Пифагора можно решать задачи и в стереометрии. Вот одна из таких задач:
Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите объём пирамиды.
Объем пирамиды вычисляется по формуле: V = Sh/3, где S - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды. Значит, для решения задачи необходимо найти эти величины. Надо учитывать, что АО и ВО - медианы.
Чтобы найти h рассмотрим треугольник DOE:
Треугольник DOE - прямоугольный с прямым углом DOE. По условию гипотенуза DE=4 см (апофема пирамиды), а угол DEO=60° (двугранный угол при основании). Заметим, что угол EDO=30°, а катет, лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы. Следовательно OE=2 см. Катет OD, то есть высоту пирамиды, можем найти по теореме Пифагора:
Итак, высота Пирамиды равна 2?3 см.
(Конечно, можно было вычислять катет OD как произведение гипотенузы DE на синус противолежащего угла DEO).
Как можем вычислить S ? Основанием пирамиды является правильный треугольник. Площадь треугольника равны половине произведения основания на высоту: S = ah/2. А можно пробовать воспользоваться и формулой для вычисления равностороннего треугольника: S = a2?3/4. (Что удобнее - станет ясно в процессе анализа).
Рассмотрим треугольник ABC.
Во-первых, он равносторонний по условию задачи. Во-вторых, из треугольника DOE мы нашли OE=2 см. Как по этим данным вычислить сторону треугольника?
Можно, например, рассмотреть треугольник OEB. Он является прямоугольным (AE - медиана равностороннего треугольника, а следовательно и высота). Угол OBE равен 30°, поскольку BO биссектриса угла равностороннего треугольника. Вновь замечаем, что катет, лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы. Следовательно, гипотенуза BO=2OE=4 см. По теореме Пифагора находим BE=2?3 см.
Поскольку BE - половина стороны треугольника, то сторона a=4?3 см. Подставляя это значение в формулу для вычисления равностороннего треугольника, получаем:
Теперь можем вычислить объем пирамиды:
Задача решена!