Эволюция планетарных систем

_. (2.22)

Зная r_o , r_min и _min , можно рассчитать среднеарифметическую скорость на интервале [r_o , r_min]

(2.23)

и затем определить скорость в точке r_min (точка перехода от прямолинейного движения к орбитальному)

(2.24)

Из соотношения (2.19) следует, что между расстоянием r_o и временем движения _min существует взаимосвязь. При N << 1 _min << 1, поэтому справедливы следующие приближения

и зависимость (2.19) можно представить в виде

(2.25)

или . (2.26)

Отметим, что зависимость (2.26) аналогична третьему закону Кеплера для орбитального движения и отличается от него лишь постоянным множителем.

Зависимости (2.3), (2.4), (2.6), (2.8) при N << 1 практически линейны относительно ln N.

При N  0 эти зависимости будут

ln _m = - 0,25 ln N - 0,693147, (2.27)

ln _min = - 0,25 ln N - 0,752038, (2.28)

ln _m = 0,5 ln N + 0,693247, (2.29)

ln _min = 0,5 ln N + 1,386294. (2.30)

Приведенные основные характеристики гравитационного захвата нейтральных тел безразмерны. Для того, чтобы представит эти зависимости в реальном пространственно - временном измерении, необходимо знать величину r_{o ,} то есть начальное расстояние между телами. Оценку этой величины можно получить, сопоставляя характеристики движения тел на этапах гравитационного захвата и орбитального движения.

3. Орбитальное движение тел.

На границе происходит переход от прямолинейного движения к орбитальному: тело меньшей массы (N < 0,0314) начинает двигаться по эллиптической орбите вокруг тела большей массы; при этом периферийное тело приобретает вращение вокруг собственной оси.

Орбитальное движение совершается по эллипсу, параметр которого остается постоянным. При этом большая полуось эллипса , период обращения Т и средняя скорость движения по орбите V связаны соотношениями

(3.1)

или в безразмерном виде

(3.2)

где .

В соответствии со схемой орбитального перехода, рассматриваемой в [2], большая полуось начального эллипса

, (3.3)

а эксцентриситет начального эллипса

. (3.4)

Так как параметр эллипса остается постоянным, то можно написать

(3.5)

где индексы “н” и “к” означают начальное и конечное (современное) значение параметра, а индекс “о” означает значение параметра при е = 0.

Но и можно написать

откуда, с учетом (3.3),

. (3.6)

При N  0

(3.7)

или , (3.8)

. (3.9)

Сопоставив зависимости (3.1) и (2.26), получим также

(3.10)

(3.11)

Зная параметры начальной и конечной (современной) орбит и , можно рассчитать начальную среднюю скорость V_H и начальный период обращения , используя всегда верные соотношения (3.1) и (3.2):

, (3.12)

, (3.13)

а также рассчитать значения параметров и V при эксцентриситете орбиты е = 0

(3.14)

(3.15)

. (3.16)

При N  0

. (3.17)

Далее определим скорость в перигелии

(3.18)

усредненные параметры

(3.19)

а также разности начальных и конечных параметров за время движения тела по орбите

(3.20)

и отношения

При большом числе оборотов орбитального тела

(3.21)

Но эти же отношения могут быть получены другим способом. Дифференцируя (3.1) по V, получим

и, используя (3.1)

(3.22)

Дифференцируя (3.1) по Т, получим

(3.23)

Но и, следовательно,

(3.24)

Подставив (3.24) в (3.23), получим

(3.25)

Расчеты разностей и их отношений с использованием зависимостей гравитационного захвата и расчеты частных производных по зависимостям (3.22), (3.24), (3.25), проведенные для планет и их спутников показали, что действительно соотношения (3.21) выполняются.

Теперь появляется возможность получить оценку числа оборотов, совершаемых нейтральным космическим телом за время орбитального движения и времени жизни на орбите.

Преобразуя (3.24) к виду

, (3.26)

интегрируем в начальных и конечных пределах

(3.27)

где n - число оборотов, совершенных телом за время движения на орбите, - средний период обращения тела, - отношение среднего периода обращения Земли к единице времени 1 сек. (величина, равная , но безразмерная).

Получим

(3.28)

Аналогично, преобразуя (3.25) к виду

(3.29)

и учитывая, что

интегрируем(3.29) в начальных и конечных пределах

. (3.30)

Получим

. (3.31)

Очевидно, зависимости (3.31) и (3.28) должны приводить к одинаковому результату, что и подтверждается расчетами.

Другой подход к оценке числа оборотов, совершаемых орбитальным телом за время, соответствующее изменению эксцентриситета от до е=0, состоит в следующем. Угловое смещение перигелия орбитального тела постоянно от оборота к обороту. В самом деле, согласно А.Эйнштейну, угловое смещение перигелия орбитального тела

(3.32)

где с - скорость света в вакууме.

Величины G, , с, входящие в это соотношение, есть константы, а произведение - параметр эллиптической орбиты, который за все время орбитального движения также остается постоянным.

Следовательно

(3.33)

где

(3.34)

где ,

, (3.35)

где .

Дифференцируя эти соотношения по e, получим

, (3.36)

, (3.37)

. (3.38)

Число оборотов, совершенных, например, от начала орбитального движения (эксцентриситет орбиты e_н) до момента, когда эксцентриситет орбиты становится e=0

, (3.39)

или (3.40)

где - изменение большой полуоси орбитального эллипса, периода обращения и средней скорости движения по орбите за 1 оборот. При большом числе оборотов

,

и можно написать

(3.41)

или . (3.42)

Из соотношений (3.36), (3.37), (3.38) следует, что

, , . (3.43)

Предположим, что эти соотношения справедливы и для средних значений, то есть

Тогда

или (3.45)

Расчеты числа оборотов орбитальных тел (планет и спутников) по этим зависимостям и по зависимостям, аналогичным (3.28) и (3.31) приводят к одинаковым результатам.

В соответствии с принятыми определениями

(3.46)

Следовательно

(3.47)

Но поэтому

(3.48)

При N 0 и

об.

Полученный результат означает, что любое орбитальное тело (планета, спутник, комета) от начала орбитального движения до момента е = 0 совершает примерно одинаковое число оборотов (разница числа оборотов обусловлена разницей значений e_н).

Орбитальная скорость космического тела изменяется во времени. Изменение скорости происходит из-за превращения потенциальной энергии взаимодействия тел в кинетическую энергию орбитального движения. Очевидно, что скорость орбитального движения не может превысить некоторого предела, при котором произойдет переход от орбитального движения к движению по параболической траектории и освобождение орбитального тела от действия притяжения центрального тела.

Этим предельным условием будет

, (3.49)

то есть скорость в перигелии станет равной максимальной скорости в системе двух тел.

Подставив (3.18) в (3.49), получим

(3.50)

и так как , то

(3.51)

При значении e = e_кр произойдет переход от орбитального движения по эллипсу к движению по параболической траектории и освобождение орбитального тела от действия притяжения центрального тела.

Зная величину e_кр (критический эксцентриситет орбиты), а также величины , можно рассчитать величину , а затем последовательно значения остальных параметров, определяющих условия этого перехода.

Так . (3.52)

Используя (3.3), (3.4), (3.7), и (3.51), получим при N << 1

, (3.53)

. (3.54)

Далее

, (3.55)

. (3.56)

При N << 1

, (3.57)

. (3.58)

Расстояние между телами в критическом перигелии , а в критическом афелии .

Из полученных результатов следует, что , и . В то же время , и , то есть зависимости , , и должны иметь экстремум на интервале времени от начала орбитального движения до критического перехода (ухода с орбиты).Дважды дифференцируя по e (3.33), (3.34) и (3.35), действительно убеждаемся, что функции и при e= 0 имеют минимум, а функция - максимум. Отметим, что несмотря на уменьшение средней орбитальной скорости на интервале , скорость в перигелии увеличивается, достигая критического значения при .

На рис.1 показан примерный вид этих зависимостей для Земли (аналогичный вид они имеют для других планет и спутников). Эти зависимости представляют собой параболы с вершиной при е = 0. Левая ветвь параболы начинается от линии , правая ветвь заканчивается при пересечении ею линии . Параболы частично симметричны относительно линии е = 0 (на интервале слева от (от до ) и на интервале справа от (от до ). Таким образом, в точках пересечения правой ветви параболы с прямой значения параметрических функций будут в точности равны их начальным значениям.

Учитывая это свойство параметрических функций , и и интегрируя (3.27) в пределах от до и от 0 до , получим зависимость

(3.59)

или, интегрируя (3.30) в пределах от до и от 0 до получим зависимость

. (3.60)

Здесь: - число оборотов, совершенных телом за время движения от (правая ветвь параболы) до ;

- средний период обращения за это же время;

- отношение среднего периода обращения Земли за это же время

к единице времени 1 сек (величина, равная , но безразмерная).

Рис.1. Зависимости 1 - , 2 - и 3 - для Земли

Полное критическое число оборотов, совершаемых орбитальным телом будет

. (3.61)

Здесь уместно сделать следующее замечание. Для расчета оценки числа оборотов на интервале значений эксцентриситета орбиты от до (левая ветвь параболы) и от до (правая ветвь параболы) необходимо знать не только значение эксцентриситета , но и знак градиента параметрических функций или . Если знак градиента этих функций отрицательный, то число оборотов рассчитывают по зависимости (3.28). Если знак градиента этих функций положительный, то число оборотов будет , где - число оборотов, рассчитанное по зависимости (3.28), но в пределах изменения параметрических функций от до и от до .

Знак градиента функций и может быть определен только опытным путем.

Время жизни космического тела на орбите

(сек), (3.62)

или, современных земных лет

(лет), (3.63)

где сек - современный период обращения Земли.

Среднее изменение периода обращения за год (на интервале)

или .

Но , следовательно

. (3.64)

При и .

Это значение должно быть близким современным значениям планет и спутников, у которых значения начального эксцентриситета их орбит мало отличается от значения при , а современные значения эксцентриситета орбиты близки нулю.

Строго говоря, значение K в (3.23), определяемое (3.46), зависит от эксцентриситета орбиты Земли, но в пределах изменения эксцентриситета от до e = 0 может быть принято постоянным.

При значительном изменении эксцентриситета

. (3.65)

Учитывая, что

,

получим

, (3.66)

Эта зависимость одинакова для всех орбитальных тел на интервале изменения эксцентриситета от до (правая ветвь параболы, рис.1). Она же позволяет рассчитать изменение среднего периода обращения Земли на интервале от до , входящего в соотношения (3.28), (3.31).

Как видно из рис.1, градиент функции a= f(e), T= f (e), V= f (e) мал в области значений 0 < e < 0.33 справа от e = 0). В области значений e >0.33 справа от е = 0 градиент функций a= f(e) и T= f (e) возрастает, то есть при е > 0.33 быстро увеличивается с каждым оборотом как большая полуось орбитального эллипса, так и период обращения периферийного тела. Из сравнения зависимостей (3.36), (3.37) и (3.38) также следует, что наибольший темп изменения во времени имеют период обращения и большая полуось орбитального эллипса.

Интенсивность полного излучения диполя, вращающегося в одной плоскости XY c постоянной угловой скоростью (средняя за период обращения) при V << c

(3.67)

где - для одного заряда, движущегося по эллипсу с большой полуосью .

При движении нейтрального тела по эллиптической орбите аналогом электрического заряда q является величина , имеющая ту же размерность . Следовательно, интенсивность полного гравитационного излучения диполя, вращающегося с постоянной угловой скоростью при будет

(3.68)

где сек/г - постоянная диполя.

Дипольное гравитационное излучение изменяется во времени, так как изменяются и T в соответствии с соотношениями (3.33) и (3.34). Подставив (3.33) и (3.34) в (3.68), получим

(3.69)

Максимальное значение  соответствует периоду обращения при е = 0, минимальное .

Дипольное излучение поляризовано по эллипсу с отношением длин полуосей , где  - угол между направлением излучения и осью Z. В направлении оси Z дипольное излучение поляризовано по кругу.

Энергия излучения гравитационного диполя

(3.70)

В точке перехода от прямолинейного движения к орбитальному относительная скорость двух тел равна и тело меньшей массы, кроме перехода к движению по эллиптической орбите, приобретает еще и вращение вокруг собственной оси. Поэтому уравнение энергетического баланса в точке перехода будет

где М - масса орбитального тела,

- начальные моменты инерции и угловая скорость

вращения тела вокруг собственной оси.

Уравнение эллипса в полярных координатах с центром в фокусе эллипса

. (3.72)

Следовательно

(3.73)

Но

(3.74)

В нашем случае n + 1 = 2, то есть n = 1, и (3.74) вырождается в интеграл

, (3,75)

С учетом (3.75)

(3.76)

Известно, что

(3.77)

Подставив (3.76) и (3.77) в (3.71), получим

(3.78)

и - (начальный период вращения). (3.79)

Энергия, затрачиваемая на движение периферийного тела М по орбите, в соответствии с (3.76) будет

где .

Энергия, затрачиваемая на вращение периферийного тела вокруг собственной оси

, (3.81)

где - средний радиус тела,

- период вращения.

Отметим, что орбитальный переход при гравитационном захвате нейтральных тел является своеобразным защитным барьером, препятствующим прямому проникновению свободно перемещающихся космических тел к центральному телу. Поверхности центрального тела могут достигнуть лишь периферийные тела, кинетическая энергия которых больше энергии орбитального перехода и направление вектора скорости которых по отношению к центральному телу пересекает его миделево сечение.

4. Уход тела с орбиты.

Выясним, по какой параболической траектории будет двигаться тело после его ухода с орбиты. Уравнение этой траектории найдем из следующих соображений. Пусть тело совершает орбитальное движение по эллипсу. Начало координат разместим в центре эллипса (рис.2). Уравнение траектории тела при орбитальном движении

(4.1)

где и b - большая и малая полуоси эллипса.

Уравнение параболы с вершиной в перигелии эллипса и осью симметрии вдоль оси x будет

, (4.2)

где p - параметр параболы.

Очевидно, что условие ухода тела с орбиты состоит в равенстве радиусов кривизны для эллипса и параболы в точке начала ухода, то есть в перигелии. Но радиус кривизны указанной параболы и эллипса в перигелии одинаков, то есть R = p = p, где - параметр эллипса. Следовательно, уравнение траектории, по которой тело уходит с орбиты, будет

(4.3)

В точке ухода тела с орбиты должен рассматриваться эллипс с критическим эксцентриситетом . Учитывая, что

(4.4)

окончательно получим уравнение траектории ухода тела с орбиты

(4.5)

При x = - y = 0; при x = 0 то есть на интервале траектория критического эллипса и траектория параболы совпадают (эллипс вписан в параболу). Таким образом уход тела с орбиты происходит в точке с координатами x= 0, .

При больших расстояниях от точки ухода с орбиты тело движется по траектории

. (4.6)

Скорость ухода тела с орбиты, как это видно из рис.2, равна V_кр .

Рис.2.Схема ухода тела с орбиты.

В то же время скорость освобождения в точке ухода будет

(4.7)

и направлена в сторону удаления от центрального тела вдоль линии, соединяющей точку ухода с фокусом эллипса P. Из рис.2 видно, что и, следовательно, скорость освобождения в точке ухода тела с орбиты

(4.8)

то есть (4.9)

Полученный результат означает, что скорость ухода тела с орбиты по траектории (4.5) меньше скорости освобождения. Следовательно, энергия освобождения периферийного тела, уходящего с орбиты по траектории (4.5), в два раза меньше энергии освобождения того же тела, уходящего от тела большей массы по линии их центрального взаимодействия.

Докажем, что в точке ухода тела с орбиты энергия вращения E_sкр - малая величина.

Если предположить, что сразу после точки ухода тело движется прямолинейно (а не по параболической траектории), то уносимая им кинетическая энергия

(4.10)

так как в точке ухода (рис.2) локальная скорость тела равна средней орбитальной скорости при движении тела по критическому эллипсу.

С другой стороны, потенциальная энергия в точке ухода

(4.11)

где - расстояние между телами в момент ухода с орбиты тела массой M₂.

Сравнивая (4.10) и (4.11), получим то есть третий закон Кеплера для орбитального движения. Поэтому E_sкр - малая величина, период вращения становится большим, то есть в момент ухода тела с орбиты оно практически не вращается вокруг собственной оси.

Так как после ухода тела с орбиты гравитационный диполь перестает существовать, то интенсивность и энергия излучения диполя равны нулю.

Выясним, как будет изменяться скорость тела после его ухода с орбиты. Дифференцируя (4.5) по x, получим

(4.12)

При x = 0 (4.13)

Следовательно (4.14)

Но в точке ухода V₀ = V_кр и поэтому

(4.15)

где V_x - скорость тела на расстоянии x от точки ухода.

Зная зависимость скорости тела от расстояния (после его ухода с орбиты), можно получить оценку среднего времени движения тела на этом же расстоянии. Обозначим Зависимость (4.15) примет вид

где (4.16)

Разделяя переменные в (4.16) и интегрируя (при начальных условиях: t = 0 при  = 0), получим

(4.17)

При  >> 1 (4.18)

Переходя к размерным величинам и учитывая, что получим

(4.19)

то есть аналог третьего закона Кеплера.

Обратим внимание, что время свободного движения тела (после его ухода с орбиты) не зависит от массы тела, а определяется лишь пройденным расстоянием и массой центрального тела. Следовательно, время движения тел на одном и том же интервале движения неодинаково для разных центральных систем (принцип относительности времени движения периферийных тел в центральных системах).

Среднее время движения на интервале [0, ] при  >> 1 будет

(4.20)

или (4.21)

Итак, мы знаем картину движения периферийного тела в начале орбитального перехода и после ухода с орбиты. Однако, не вполне ясно, по какой траектории будет двигаться тело при орбитальном движении. Как отмечалось, все параметры орбиты (большая полуось орбитального эллипса, период обращения, средняя орбитальная скорость, эксцентриситет) изменяются непрерывно от оборота к обороту, что отражают зависимости (3.33 - 3.38).

Найдем средние значения этих функций на интервале изменения эксцентриситета орбиты от до = 0. Обозначим

(4.22)

Тогда (4.23)

При N  0 (среднеарифметическое значение на том же интервале).

(4.24)

При N  0

(4.25)

При N  0

Далее обозначим

(4.26)

(4.27)

(4.28)

Следовательно (4.29)

(4.30)

(4.31)

При N  0

(4.32)

Как видно, среднеинтегральные значения функций и на интервале от e_н до e = 0 мало отличаются от их среднеарифметических значений, что вполне оправдывает применение правил линейной интерполяции к этим функциям на этом интервале.

Система из трех уравнений эллипса в пространственных полярных координатах r _i, y_i, z_i (с центром в фокусе эллипса)

(4.33)

(где i = 1, 2, 3),

вместе с соотношениями

(4.34)

и начальном условием e_i = e_нi при  = 0 определяет пространственную кривую, по которой движется орбитальное тело в системе координат с галактическим центром (здесь индекс 1 относится к движению Солнца, индекс 2 - к движению планет или комет, индекс 3 - к движению спутников планет).

В этой системе пространственных полярных координат Солнце движется по эллипсу, расположенному в плоскости его эклиптики, планеты и кометы - по пространственной эллиптической спирали (элоиде) с изменяющимся эксцентриситетом каждого ее витка и переменным шагом между витками h = vT_пл вдоль оси элоиды - траектории движения Солнца (орбитальная скорость движения Солнца v _, T_{пл - период обращения планеты или кометы). Спутники планет движутся по аналогичным элоидам с переменным шагом между витками h = Vпл Tсп вдоль оси элоиды - траектории движения планеты (Vпл - орбитальная скорость планеты, Тсп - период обращения спутника). Описание такого вида траекторий движения космических тел достаточно сложно, поэтому ограничимся описанием траекторий орбитального движения планет вокруг Солнца (или, что то же, спутников вокруг планет).}

_{В этом случае траектория орбитального тела может быть приближенно представлена плоской эллиптической спиралью с изменяющимся от оборота к обороту эсцентриситетом и расположенной в плоскости эклиптики планеты (спутника). Уравнение каждого из эллипсов, последовательно составляющих эту спираль, в полярных координатах ,  (центр координат - в одном из фокусов эллипса, полярная ось направлена от фокуса к ближайшей вершине, рис.3) будет}

_(4.35)

_где

_{Большая полуось эллипса}

_(4.36)

_{Малая полуось}

_(4.37)

Рис.3.

_{Таким образом, уравнение (4.35) описывает семейство эллипсов, практически переходящих один в другой и последовательно составляющих спираль (эллипсоиду) при изменении эксцентриситета эллипсов от до (рис.3). Конечно, эксцентриситет орбиты изменяется и в течение одного оборота, но эти изменения столь незначительны, что ими в практических расчетах можно пренебречь.}

_{Рассмотрим основные характеристики эллипсоиды. Эллипсоида незамкнута и конечна, она состоит из двух ветвей (рис.3): ветви, начинающейся в точке и заканчивающейся в точке и ветви, начинающейся в точке и заканчивающейся в точке В этой точке (или ей симметричной) тело уходит с орбиты и далее траектория его движения - парабола (4.5). Тело может двигаться по эллипсоиде как по часовой стрелке, так и против нее в зависимости от того, какое направление оно приобретает в точке начала орбитального движения .}

_{Характерные точки эллипсоиды:}

_{вершины:}

_(4.38)

_,

_{сопряженные точки:}

_(4.39)

_{Расстояние между фокусами каждого эллипса}

_(4.40)

_{Расстояние между фокусом и ближайшей вершиной}

_(4.41)

_{Площадь окружности  = 1 (при е= 0)}

_(4.42)

_{Отношение площади каждого эллипса к площади окружности  = 1}

_(4.43)

_{Длина окружности  = 1}

_(4.44)

_{Отношение периметра каждого эллипса к длине окружности  = 1}

_(4.45)

_{где - полный эллиптический интеграл 2 рода.}

_{Директрисы каждого эллипса}

_(4.46)

_{Угловые коэффициенты сопряженных диаметров каждого эллипса}

_(4.47)

_{Радиус кривизны в любой точке каждого эллипса}

_(4.48)

_{Радиус кривизны в характерных точках:}

_{вершины А и В: R*=1}

_{вершины С и D: (4.49)}

_{сопряженные точки и : . (4.50)}

_{Обратим внимание, что действительная траектория орбитального движения (элоида) никогда не проходит через одну и ту же точку пространства, а в сопряженных точках пересекаются лишь проекции витков элоиды (в эллиптических координатах с галактическим центром) на плоскость эклиптики планеты.}

5. Эволюция планет и комет.

Применим полученные закономерности к анализу движения планет. В табл.1 и 2 приведены характеристики движения планет. Признаем неоспоримо верными результаты астрономических наблюдений и вычислений (М, N, a_k, T_k, V_k, e_k) [3], а также величины, вычисленные из третьего закона Кеплера (a_н, T_н, V_н, a_о, T_о, V_о, a_кр, T_кр, V_кр) с использованием соотношения (3.4). Все остальные численные значения параметров, которые приведены в таблицах и тексте, назовем оценками, что, впрочем, не снижает их достоверность, а лишь указывает на ограниченную точность вычисления.

Прежде всего отметим, что нейтральные тела относительной массы N 0,0314 подвержены гравитационному захвату. Эволюцию движения космических тел при гравитационном захвате можно представить в следующем виде. Первый этап - прямолинейное движение тел навстречу друг другу от r_o до r_min (за время _min). Второй этап - орбитальное движение тела меньшей массы вокруг тела большей массы. При этом эксцентриситет начальной орбиты для всех захватываемых тел определяется зависимостью (3.4) и по мере движения уменьшается до e = 0. Третий этап - эксцентриситет орбиты изменяется в пределах 0  e  e_кр. Четвертый этап - эксцентриситет орбиты становится равным e_кр, тело переходит от орбитального движения по эллипсу к движению по параболической траектории и освобождается от притяжения центрального тела.

В соответствии с этой картиной эволюции движения нейтральных космических тел кометы - это планеты (или их остатки), прошедшие первые два этапа эволюции и находящиеся в настоящее время на ее третьем этапе (e  e_кр).

Табл.2.Характеристики малых планет Солнечной системы

Отметим, что расстояние r_o, при котором начинается захват периферийного тела центральным, не прямопропорционально относительной массе планет, а сложным образом зависит от их относительной массы и будущих параметров орбиты периферийного тела. Порядок этого расстояния для планет составляет 10¹⁵ - 10¹³ см, что намного меньше расстояния от Солнца до галактического центра, но соизмеримо с расстояниями от Солнца до ближайших звезд. Конечно, результаты расчета r_o для планет и других нейтральных космических тел носят характер оценки, поскольку при постановке задачи о взаимодействии тел в центральном поле было принято [1], что в момент начала захвата скорость периферийного тела равна нулю. В действительности любое свободно движущееся космическое тело в этот момент имеет конечную скорость относительно центрального тела.

На рис.4 - 6 показаны зависимости (2.27 - 2.30) для планет. Сплошные линии - указанные предельные зависимости, точки на рисунках - результаты расчета этих же характеристик по данным астрономических наблюдений [3]. Видно, что каждая из планет располагается на рисунке в строгом соответствии с ее относительной массой. Как показано в [1] , зависимости (2.27 - 2.30) являются предельными и для других космических объектов (ближайшие галактики, звезды, спутники планет), подверженных гравитационному захвату. Таким образом, характеристики движения большого многообразия космических объектов удается упорядочить в виде единых зависимостей динамических (_m, _min) и кинематических (_m, _min) характеристик от относительной массы взаимодействующих тел (или их ассоциаций). Еще раз подчеркнем, что зависимости (2,27) - (2.30), также как (3.8), (3.9) и (2.21) следуют из теории гравитационного захвата, а для сравнения с ними использованы опытные данные астрономических наблюдений и расчетов характеристик реальных космических объектов [3].

Эти. же зависимости могут быть использованы для идентификации искусственных или еще не захваченных: космических объектов. В этих случаях характеристики движения объектов не будут соответствовать зависимостям при гравитационном захвате тел.

Заметим, что взаимное расположение планет на рис. 4 - 6 отличается от их расположения относительно Солнца. Это неудивительно, поскольку на рис. 4 - 6 используются координаты ln  = f(ln N) и ln  = f(ln N). При использовании реальных значений r_{m =} _m r_o, r_min=_min r_o, a_н=r_o и полярных координат эти начальные характеристики орбит планет соответствуют их современному расположению относительно Солнца.

Рис.4. Зависимости: I - ln _m = f( ln N) и II - ln _min= f( ln l) для планет солнечной системы: М - Меркурий, Мс - Марс, В - Венера, П - Плутон, З - Земля, У - Уран, Н - Нептун, С - Сатурн, Ю - Юпитер.

Номера присвоены планетам в порядке увеличения среднего расстояния от Солнца.

Рис.5. Зависимости: I - ln _min = f( ln N) и II - ln _m= f( ln N) и III - ln = f( ln N) для планет солнечной системы; обозначения те же, что на рис.4.

Рис.6. Зависимости: I - ln _m = f( ln N) и II - ln _min= f( ln N) для малых планет солнечной системы: Г - Геба, Д - Давида, Э - Эвномия, В - Веста, П - Паллада, Ц - Церера.

Номера присвоены планетам в порядке увеличения среднего расстояния от Солнца.

Начальные, современные и критические параметры, определяющие движение планет, представлены в табл.1 и 2.

Прежде всего отметим, что время жизни планет на орбитах и суммарное время с начала их гравитационного захвата для всех планет не превышает космогонического возраста Земли (4,510⁹лет). Время от начало захвата планет до их перехода на орбиту намного меньше времени их орбитального движения. Полное время жизни планет на орбите составляет от 5,310¹⁰ до 9,110¹¹ современных земных лет. Это время намного больше современной оценки времени существования Вселенной (2410⁹ лет).

Большие времена жизни планет на орбите вовсе не означают, что планеты (или иные космические тела) смогут существовать в течение этого времени. Рассчитанное время жизни планет (космических тел) лишь показывает возможность, ресурс их орбитального движения. Реальное время существования космического тела на орбите определяется многими космологическими обстоятельствами и, в первую очередь, временем жизни центрального тела орбитальной системы.

Результаты расчетов показывают, что планетная система не образовалась в одно и тoже время, а постепенно формировалась по мере захвата Солнцем нейтральных тел. Оценки параметра Т_i (время жизни планет от перехода на орбиту до современности) позволяют установить последовательность захвата планет во времени). Из табл.1 видно, что этот порядок следующий: Нептун, Плутон, Уран, Сатурн, Юпитер, Марс, Земля, Венера, Меркурий. В промежутке времени между захватом Юпитера и захватом Марса были захвачены малые планеты. Таким образом, время от начала захвата планет составляет 1,1110⁹ лет.

При анализе орбитального движения планет нас интересует прогноз:. в течение какого времени на планетах сохраняются примерно одинаковые космологические условия (расстояние от Солнца, период обращения)? Как видно из рис.7 - 9 и табл. 1 и 2, достаточно близкие космологические условия сохраняются на планетах в течение времени эволюции их орбит от e_н до e = 0 и далее, от e = 0 до e =  e_н  . Действительно, на этом временном интервале как большие полуоси планет, так и их периоды обращения несущественно отличаются. Следовательно, этот временный интервал для любого космического тела может быть оценен как 2n_о/. При последующем увеличении эксцентриситета орбиты планет космологические условия будут все более заметно отличаться от начальных.

Рис.7. Зависимости для планет солнечной системы: 1 - Меркурий, 2 - Марс, 3 - Венера, 4 - Плутон, 5 - Земля, 6 - Уран, 7 - Нептун, 8 - Сатурн, 9 - Юпитер.

Рис.8. Зависимости для планет. Обозначения те же, что на рис.7.

Рис.9. Зависимости для планет. Обозначения те же, что на рис.7.

Поскольку современные эксцентриситеты орбит всех планет не превышают e_н 0,33, то можно с уверенностью полагать, что космологические условия на планетах от начала их орбитального движения до наших дней сохранялись близкими к начальным. Отметим, что космологические условия сохранялись постоянными и в дозахватный период существования тела во время его свободного движения в космическом пространстве. Однако эти условия по их физическим характеристикам существенно отличались от космологических условий при орбитальном движении тел.

Зная разность Т_н - Т_o и число оборотов n_o, можно рассчитать среднее уменьшение периода обращения Т_o за 1 оборот космического тела (планеты). Значения Т_o, приведенные в табл.1 и 2, должны быть близкими современным значениям T_o, поскольку на интервале Т_н- Т_o градиент функции Т = f (e) незначителен (рис.8).

В табл.3 представлена интенсивность полного излучения гравитационного диполя планет. Видно, что дипольное излучение планет значительно по величине (10¹⁵10²² ). Для сравнения укажем, что cовременное полное излучение электрического диполя Земли при ее заряде q = - 5,710 к составляет  =1,8 10 .

С дипольным излучением периферийных тел непосредственно связана периодическая (со временем, равным периоду обращения) деформация объема центральных тел. Так дипольное излучение планет влияет на деформацию объема Солнца. Как видно из табл.3, наибольшее влияние на периодическую деформацию объема Солнца оказывает дипольное излучение Венеры, Меркурия, Земли и Юпитера с цикличностью, соответствующей периодам обращения этих планет. Влияние остальных планет на деформацию объема Солнца мало, хотя и им, конечно, соответствуют определенные циклы деформации объема. Поскольку дипольное излучение поляризовано по эллипсу, то наибольшая деформация объема Солнца происходит в момент прохождения планетой ее перигелия.

Та же самая картина соответствует движению спутников вокруг своих планет. Так, дипольное излучение Луны приводит к периодической деформации объема Земли, что проявляется как в деформации земной коры, так и в приливах и отливах океанов.

Обратим внимание на малую величину среднего (за период обращения) дипольного излучения Луны, по сравнению, например, с дипольным излучением спутников Сатурна Мимаса, Энцелада, Тефии, Дионы, Реи и Титана и, тем более, со спутниками Юпитера. По-видимому, периодическая деформация объема Сатурна и Юпитера существенно превышает деформацию объема Земли.

Величина Е = Мс есть энергия, запасенная одним телом.

Энергия покоя Е = Мс характеризует полную энергию каждого из двух тел, взаимодействующих и совершающих движение в центральном поле. Центральное тело в системе двух тел, в свою очередь, может быть периферийным в другой системе тел (например, Сoлнце является центральным телом нашей планетной системы и одновременно периферийным телом в системе с галактическим центром).

Величина

 = = N

характеризует соотношение между энергией покоя периферийных тел в каждой из взаимодействующих центральных систем.

Для планет солнечной системы  10 до 10 (табл. 3).

Поскольку энергия покоя включает в себя все виды энергии, в том числе энергию движения и излучения, то представляет интерес рассмотреть соотношение между этими основными составляющими энергии на примере нашей планетной системы.

Результаты расчета энергетических характеристик планет представлены в табл.3. Как видно, энергетические составляющие движения и излучения периферийного тела намного меньше энергии покоя. Основную долю энергии составляет энергия орбитального движения, на вращение планет и их гравитационное излучение затрачивается значительно меньше энергии (за исключением планет - гигантов, для которых энергия, затрачиваемая на вращение, соизмерима с энергией их орбитального движения).

Так как известны начальные (в момент перехода от прямолинейного к орбитальному движению) и критические (в момент ухода планеты с орбиты) характеристики планет, то можно сопоставить и их энергетические характеристики. Результаты расчета начальных и критических энергетических характеристик планет приведены в табл.3.

Видно, что начальная энергия орбитального движения меньше современной (также как и критическая энергия орбитального движения). Следовательно, энергия орбитального движения имеет максимум (при е = 0), что соответствует изменению во времени средней скорости орбитального движения (рис.9).

Начальная энергия излучения гравитационного диполя планет меньше, чем современная (также как и критическая энергия излучения/. Следовательно, энергия излучения гравитационного диполя имеет максимум. Отношение и за время орбитального движения мало изменяется.

Энергия, затачиваемая на вращение планет, наибольшая в начальный момент (то есть в момент перехода от прямолинейного движения к орбитальному), при этом отношение 2,451,67; в дальнейшем отношение уменьшается. Для планет - гигантов , то есть за период от момента перехода на орбиту до настоящего времени их энергия, затрачиваемая на вращение, мало изменилась.

Перейдем к анализу движения комет. Как отмечалось, кометы - это планеты, находящиеся на третьем этапе эволюции (), то есть наиболее долгоживущие орбитальные тела планетной системы. Поэтому анализ движения комет может привести к оценке времени жизни нашей планетной системы.

Масса комет намного меньше массы Солнца, поэтому N << 1 для оценки характеристик движения комет можно принять, что их начальный эксцентриситет e_н 0,333. Современные большие полуоси орбит комет и эксцентриситеты орбит известны [3]. Следовательно, можно рассчитать и остальные характеристики орбитального движения комет.

Результаты расчета приведены в табл.4.

Для расчета числа оборотов n комет на интервале от e_н до использовалось соотношение (3.59), в котором определяется соотношением (3.66). Эта же зависимость вместе с зависимостью показана на рис.10.

При зависимость плавно переходит в зависимость на интервале движения от до .

Полное число оборотов кометы от начала ее перехода на орбиту по будет ,

где - число оборотов, совершенных кометой за время движения от (справа от , рис.1) до ,

- число оборотов, совершенных кометой за время движения от e_н до e = 0.

Рис. 10. Зависимость n_k = f(e) для комет солнечной
системы (1) и зависимость K_e = f(e), (2).

Как видно, полное число оборотов, совершенных кометой с наибольшим эксцентриситетом орбиты (комета Галлея, = 0,967) составляет . Отсюда следует оценка времени жизни кометы Галлея на орбите: лет. Она же является оценкой возраста нашей планетной системы. По порядку величины эта оценка согласуется с принятой в настоящее время оценкой возраста Вселенной (лет), но представляется более достоверной, так как получена из анализа движения достаточно близких к Земле и потому тщательно исследованных космических тел (комет).

В целом этапы эволюции планет и комет, рассмотренные на примере Солнечной системы, характерны и для других нейтральных тел, захваченных массивной звездой. Таким образом, исходя из теории гравитационного захвата нейтральных тел, существенно увеличивается вероятность существования планетных систем во Вселенной.

6. Эволюция спутников планет.

Поскольку движение спутников относительно планет подчиняется тем же закономерностям гравитационного захвата, что и движение планет относительно Солнца, то все полученные зависимости применимы и к анализу движения спутников планет. Рассмотрим основные особенности движения спутников планет. Как и для планет, для каждого спутника характерны те же этапы его эволюции: прямолинейное движение на интервале , орбитальное движение, уход с орбиты и движение по параболической траектории.

Сравнение данных астрономических наблюдений с предельными зависимостями (2.21), (2.27 - 2.30) и (3.8) представлено на рис.11. Видно, что на участке прямолинейного движения опытные данные согласуются с соответствующими зависимостями. (Исключение составляет Луна: при расчетах отмечены отклонения по ряду параметров от общих закономерностей гравитационного захвата нейтральных тел). Орбитальное движение спутников планет и уход с орбиты подчиняется тем же закономерностям, что и для планет.

Результаты расчета начальных, современных и критических величин, определяющих движение спутников планет, приведены в табл.4. Величина для спутников планет составляет cм, что соизмеримо с параметрами орбит планет. Современное время жизни на орбите спутников планет намного меньше времени жизни самих планет. То же самое относится к сравнению критического времени жизни спутников планет и самих планет. Поскольку критическое время жизни спутников планет намного меньше времени жизни самих планет, то за все время жизни на орбитах возможен переход спутника от одной планеты к другой планете (или спутник может стать планетой).

Рис.11. Зависимости для спутников планет солнечной системы:

I - ln = f(lnN), II - ln _min = f( ln N ),III - ln _m = f( ln N), IV - ln _min = f(ln N), V - ln = f( ln N), VI - ln _m = f( ln N), VII - ln e_н = f( ln N).

1 - Мимас, 2 - Энцелад, 3 - Гиперион, 4 - Нереида, 5 - Тефия , 6 - Диона, 7 - Рея , 8- Япет , 9 - Европа , 10 - Ио , 11 - Каллисто , 12 - Ганимед, 13 - Титан , 14 - Тритон , 15 - Луна; точки - расчетные значения характеристик, сплошные линии - зависимости (2.21), (2,27-2.30), и (3.8) и усредняющая кривая (зависимость VII).

Результаты расчетов показывают, что системы планетарных спутников не образовались в одно и то же время, а формировались по мере захвата планетой нейтральных тел. Это отчетливо видно на примере системы спутников Сатурна, а именно, последовательность захвата спутников во времени такова: Япет, Гиперион, Титан, Рея, Диона, Тефия, Энцелад, Мимас. Аналогичная закономерность отмечается и для спутников Юпитера.

Как и для планет, на спутниках сохраняются достаточно близкие космологические условия (большая полуось орбиты, период обращения) в течение времени эволюции их орбит . При дальнейшем увеличении времени жизни спутника космологические условия для него будут все более заметно отличаться от начальных вследствие все более резкого изменения эксцентриситета орбиты.

В табл.6 представлена интенсивность полного излучения гравитационного диполя спутников планет. Видно, что дипольное излучение спутников планет составляет и для спутников Юпитера Ио и Европа сравнимо по величине с дипольным излучением Земли.

С дипольным излучением спутников планет связана периодическая (со временем, равным периоду обращения) деформация объема планет. Так, на деформацию объема Сатурна наибольшее влияние оказывают его спутники Тефия, Титан, Диона, Рея. и Мимас, а на деформацию объема Юпитера - его спутники Европа и Ганимед. Конечно, и остальным спутникам соответствуют определенные циклы деформации объема этих планет, причем наибольшая деформация объема планеты происходит в момент прохождения спутником его перигелия.

Результаты расчетов энергетических характеристик спутников планет представлены в табл.6. Как видно, для спутников планет . Эта величина превышает соответствующие величины для планет. Полная энергия спутников планет существенно превышает их энергию орбитального движения и энергию излучения. Отношение энергии излучения гравитационного диполя к энергии, затрачиваемой на орбитальное движение, для спутников того же порядка, что и для планет.

Табл.6 Энергетика спутников планет

Как отмечалось, некоторые расчетные характеристики гравитационного захвата Луны не соответствуют закономерностям гравитационного захвата нейтральных тел. Из рис.11 видно, что такие характеристики гравитационного захвата Луны, как и незначительно отклоняются от общих закономерностей. Существенно отклонение от этих закономерностей таких характеристик, как . Расчет характеристики для Луны приводит к абсурдному результату: отношение , чего не может быть, так как отношение средней скорости к максимальной на интервале движения должно быть меньше единицы (что и подтверждается расчетами этой же характеристики для остальных спутников планет солнечной системы).

Отличия характеристик гравитационного захвата Луны от общих закономерностей связаны со следующим обстоятельством. Внимательный читатель обратил внимание на приближенный характер зависимости (2.13), определяющей верхнюю границу орбитального перехода при гравитационном захвате нейтральных тел (). Точное соотношение будет

, (6.1)

так как .

Для Луны N = 0,0122954 (табл.4) и, следовательно, = 0,3911656. Решая неравенство (6.1) при этом значении , получим N = 0,0145. Таким образом, переход Луны на орбиту вокруг Земли совершился в условиях, близких к верхней границе, определяющей орбитальный переход. Этим, по-видимому, и обусловлены некоторые отклонения характеристик гравитационного захвата Луны от общих закономерностей гравитационного захвата нейтральных тел.

7. Эволюция Земли.

При рассмотрении эволюции Земли главная особенность, по сравнению с другими планетами, состоит в том, что нам известен ее космогонический возраст лет [3]. Это позволяет более определенно судить об отдельных временных этапах ее эволюции, в том числе эволюции жизни на Земле.

Согласно расчетам (табл.1), расстояние от Солнца , на котором начался гравитационный захват Земли, составляло 3,232см (2,16 а.е.). Время от начала захвата Земли до перехода на орбиту лет, а время жизни на орбите лет. Поскольку космогонический возраст Земли много больше суммы этих величин, то большую часть своей жизни планета Земля провела, свободно перемещаясь в космическом пространстве вне сфер притяжения массивных космических тел. Предположение о том, что планета Земля могла быть какое-то время в составе другой планетной системы, маловероятно, поскольку ее полное время существования на орбите лет. Это время намного больше современной оценки времени жизни Вселенной. По-видимому, и для остальных планет и других космических тел, захваченных Солнцем, характерен длительный этап их свободного движения в космическом пространстве. Для решения этой проблемы необходимо знать космогонический возраст планет и иных космических тел.

Теория гравитационного захвата нейтральных тел практически от­вергает гипотезу о происхождении планетных систем вследствие выброса части материи из недр звезд. В самом деле, маловероятен выброс части материи из недр звезды на расстояния , намного превышающее ее поперечный размер.

За время движения по орбите Земля совершила оборотов, а время ее жизни составило лет. Современный эксцентриситет орбиты Земли = 0,01675, то есть близок к е = 0. Нас, как и ранее, интересует прогноз: сколько времени сохранялись и будут сохраняться на Земле космологические условия, близкие современным? Исходя из рис.7 и рис.8, можно утверждать, что космологические условия, близкие современным, сохранялись на Земле от начала ее орбитального движения до наших дней и будут сохраняться еще в течение лет. При дальнейшем увеличении эксцентриситета орбиты Земли космологические условия будут все более существенно отличаться от современных.

Отличия эти будут тем значительнее, так как во время прохождения Землей афелия она будет намного дальше от Солила, чем в настоящее время, что существенно уменьшит интенсивность облучения Солнцем поверхности Земли. Кроме того, по мере увеличения эксцентриситета орбиты Земли, ее вращение вокруг собственной оси будет все более замедляться. Все эти изменения космологических условий приведут к существенным изменениям климата Земли.

Заметим, что расчеты изменения космологических параметров во времени позволяют создавать математические модели изменения климата Земли в прошлом и будущем, учитывающее, конечно, изменения, происходящие на планете за это же время (состав атмосферы, радиоактивный нагрев и т.д.).

Что касается общего климатического прогноза на будущее, то он крайне неблагоприятен как для Земли, так и для планет солнечной системы с точки зрения обеспечения необходимой экологической жизненной ниши. Действительно, при увеличении эксцентриситета орбит планет период, в течение которого планета движется вблизи перигелия орбиты, будет все более уменьшаться и наоборот, период, в течение которого планета движется на значительно большем расстоянии от Солнца, чем в перигелии, будет все более увеличиваться. При этом, как показывают расчеты (табл.1), расстояние от планеты до Солнца даже в критическом перигелии будет такого же порядка, как современные большие полуоси их орбит.

В связи с тем, что климатические условия на Земле и планетах будут со временем становиться все более жесткими, центральной проблемой обеспечения необходимой экологической жизненной ниши станет создание искусственного климата с использованием искусственных и геотермальных источников энергии.

Рассмотрим некоторые особенности строения Земли в древнейшие времена и в настоящее время. По космологическим понятиям Земля и ранее и в настоящее время представляла собой шар с весьма малым твердым ядром, окруженным жидким расплавом - мантией, на поверхности которой из-за охлаждения Земли в космосе образуется тонкая твердая оболочка (земная кора). Эта тонкая оболочка деформируется под влиянием притяжения Солнца.

Главной особенностью строения Земли в древнейшие времена следует признать существование единого массива суши, который впоследствии расползался на отдельные материки (дрейф материков). Такое неравномерное распределение суши по поверхности Земного шара необъяснимо в рамках современных космологических гипотез, но оно легко объясняется, если придерживаться теории гравитационного захвата. В самом деле, на участке прямолинейного движения от до (в течение времени ) любое космическое тело, в том числе и Земля, не вращается, но испытывает притяжение центрального тела. Под влиянием этого притяжения та часть тонкой оболочки планеты (коры), которая обращена к центральному телу (Солнцу), прогнется в его сторону, так же как и противоположная ей часть оболочки. Благодаря этому на одной стороне шара образуется выпуклость поверхности (коры), в будущем - суша, а на другой стороне шара - вогнутость пoверхности; в будущем эта вогнутость заполнится сконденсировавшимся паром (на Земле - водой), образуя древнейший океан. Конечно, после перехода космического тела (Земли) к орбитальному движению с вращением вокруг собственной оси, притяжение центрального тела и кориолисово ускорение будут совсем по другому воздействовать на тонкую оболочку периферийного тела, что неизбежно приведет к изменению фигуры планеты и вида ее поверхности.

Рассмотренная картина эволюции движения Земли не противоречит возможности возникновения живой материи. В самом деле, при свободном движении Земли или иного тела. в космосе в течение длительного времени тепло, требующееся для образования из неорганических элементов органических соединений и впоследствии живой материи, может поступать к ее поверхности как из недр Земли и как продукт радиоактивного распада элементов. Конечно, по мере остывания космического тела (уменьшения теплового потока из недр и от радиоактивного распада) все менее вероятным становится возникновение живой материи. В дальнейшей эволюции органических соединений и живой материи решающую роль играет переход космического тела на орбиту вокруг относительно горячей звезды, которая за счет излучения поддерживает температуру космического тела на уровне, достаточном для возникновения и существования живой материи. При этом определенно нельзя сказать, возникли ли какие-либо формы живой материи до перехода Земли на орбиту или уже при орбитальном движении. По своему влиянию на процессы возникновения и развития живой материи доорбитальный и орбитальный этапы движения имеют два существенных отличия: при орбитальном движении на всю массу орбитального тела действует кориолисово ускорение, а на поверхность орбитального тела воздействует излучение горячей звезды. Все остальные действующие факторы остаются такими же, как и при свободном движении тела в космосе. Конечно, на этапе прямолинейного сближения тел (от начала захвата тела до его перехода на орбиту) изменяются некоторые физические характеристики захватываемого тела (например, освещенность поверхности и количество тепла, поглощенного телом), но эти изменения действуют сравнительно недолго, так как время прямолинейного движения тел намного меньше времени их орбитального движения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сабелев Г.И. К движению двух тел в центральном поле. М., ИВЦ “Маркетинг”, 1995.

1. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Механика. М., ГИФМЛ, 1958.

1. Таблицы физических величин. Справочник под ред. Кикоина И.Н.
   М., Атомиздат, 1976.