Средняя общеобразовательная школа № 3
Реферат по математике на тему:
Решение уравнений и построение графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля.
Выполнил:
Шварц В.И.
9Б класс
Руководитель:
Шагалина Д.Г.
Межгорье
2005
Решение уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля.
Любое действительное число можно изобразить точкой числовой прямой. Расстояние этой точки от начала отсчёта на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом числовой прямой.
Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой, от начала этой прямой называется модулем данного числа – это геометрическое определение модуля.
; ;
Расстояние между точками плоскости обозначается с помощью знака модуля и равно:
, где ;
Абсолютная величина вектора (модуль вектора) – длина вектора. Обозначается .
Если известны координаты вектора , то модуль вектора находится по формуле:
.
Если известны координаты начала и конца вектора , A(a;b); B(c;d), то модуль вектора можно найти по формуле:
Модуль единичного вектора равен 1, модуль нулевого вектора равен 0.
Геометрический смысл модуля удобно использовать для решения некоторых уравнений.
6 = А ; х = А9 ; х1 = 15 ; х2 = –3.
–3 0 6 15
С А В
При решении более сложных уравнений, содержащих выражения со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля числа:
{
Свойства модуля:
;
;
;
;
.
Для решения уравнений, содержащих два и более выражений со знаком модуля, сначала записываем уравнение без знаков модуля. Так как каждое выражение, записанное со знаком модуля, может быть как отрицательным, так и неотрицательным, то при его записи без знаков модуля надо рассмотреть оба случая отдельно.
Для уравнений, содержащих два выражения со знаком модуля, получается четыре комбинации, а для уравнений, содержащих три выражения со знаком модуля, получается восемь комбинаций без знаков модуля. Затем обязательно проверить, какие из найденных значений х удовлетворяют данному уравнению.
Но можно упростить решение таких уравнений с помощью метода интервалов.
2х – 12 =0 ; х=6 ; 6х+48 =0 ; х= –8.
Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: х<–8 ; –8х6 ; х6.
В промежутке х<–8 оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны. Получим уравнение:
– (2х–12) – (6х+48) = 160; х = –24,5к промежутку х<–8, значит является корнем уравнения. Аналогично находим корни в других промежутках.
Тест
В приведённом ниже тесте четыре задания на решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Используются задания, которые предлагались на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения Москвы и Волгограда в разные годы.
К каждому заданию приводится подробное решение с его геометрической интерпретацией.
Найдите наименьшее целое решение неравенства
<2>
Решение:
Исходя из определения модуля
={}
данное в условии неравенство равносильно следующему:
–2
Двойное
неравенство можно записать в виде
системы неравенств
Покажем
решение системы на числовой оси
8,5 9
12,5
Теперь
на интервале (8,5; 12,5), где пересеклись
множества, выберем наименьшее число.
Это 9.
Ответ:
9.
2.
Найдите наибольшее целое отрицательное
решение неравенства
>6
Решение:
Данное
неравенство равносильно следующим:
x+3.5>3
или x+3.5<6>
Отсюда,
x>2.5
или x<–9.5.
Покажем
решение данных неравенств на числовой
оси
–10
–9,5 2,5
На
интервалах (–;
–9,5) и (2,5; +)
наибольшее целое отрицательное число
–10.
Ответ:
–10.
3.
Решите уравнение x2+–20=0
Решение:
Найдём
корни уравнения
2+–20=0,
=
–5 или
=
4. Так как
0,
то
=
4, следовательно, х =
4.
Ответ:
4.
4.
Найдите наименьшее целое решение
уравнения
Решение:
Представим
это уравнение в виде системы уравнений:
{
Так
как
= х при х
0.
2х=9>0,
то есть х > –4,5.
Ответ:
–4
Графики
функций, содержащих выражение под знаком
модуля.
Для
построения графиков функций, содержащих
знак модуля, как и при решении уравнений,
сначала находят корни выражений, стоящих
под знаком модуля. Эти корни разбивают
числовую прямую на промежутки. График
строится в каждом промежутке отдельно.
В
простейшем случае, когда только одно
выражение стоит под знаком модуля и нет
других слагаемых без знака модуля, можно
построить график функции, опустив знак
модуля, и затем часть графика, расположенную
в области отрицательных значений y,
отобразить относительно оси Ох.
1.
y
=
y=0.5х
2.
у
==
;
у
= 0,5х–3
3.
у
=
2х
–4 =0, х = 2; 6 +3х =0, х = –2. В результате ось
Ох разбивается на три промежутка. Убираем
знаки модуля, беря каждое выражение в
каждом промежутке с определённым знаком,
которые находим методом интервалов.
В
каждом промежутке получается функция
без знака модуля. Строим график каждой
функции в каждом промежутке. В области
определения график представляет
непрерывную прямую.
4.
у
=
у
= х2
–2
Литература.
Математика.
Справочник школьника. Москва 1995г.
Филологическое общество "Слово".
Справочник
по математике. Москва 1995г. "Просвещение".
Математические
кружки в 8-10 классах. Москва 1987г.
"Просвещение".
Математика.
Еженедельная учебно-методическая
газета.№42, 2003 год. Издательский дом
"Первое сентября".
Математика.
Еженедельная учебно-методическая
газета.№41, 2002 год. Издательский дом
"Первое сентября".={