Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.
Определение: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {xn}.
В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.
Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа можно указать номер N такой, что при nN все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:
|xn-a|<.
При
этом число а называется пределом
последовательности.
Некоторые свойства сходящихся последовательностей:
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+n, xn=b+n, где n и n – элементы бесконечно малых последовательностей {n} и {n}.
Вычитая данные соотношения, найдем n-n=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {n-n} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:
xn=а+n,
где
n-
элемент бесконечно малой последовательности.
Так как бесконечно малая последовательность
{n}
ограничена (по теореме: Бесконечно малая
последовательность ограничена.), то
найдется такое число А, что для всех
номеров n справедливо неравенство
|n|А.
Поэтому | xn
| |a| + A для всех номеров n, что и означает
ограниченность последовательности
{xn}.
Теорема доказана.
Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |xn– xn+1| = 2 для любого номера n.
ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}. Тогда:
xn=а+n, yn=b+n,
где
{n}
и {n)
– бесконечно малые последовательности.
Следовательно, (хn
+ yn)
- (а + b) =n+n.
Таким образом, последовательность {(хn + yn) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn + yn} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство:
Пусть а и b – соответственно пределы
последовательностей {хn}
и {yn}.Тогда:
xn=а+n, yn=b+n,
где
{n}
и {n)
– бесконечно малые последовательности.
Следовательно, (хn
- yn)
- (а - b) =n-n.
Таким образом, последовательность {(хn - yn) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn - yn} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+n, yn=b+n и xnyn=ab+an+bn+nn. Следовательно,
xnyn-аb=an+bn+nn.
(в
силу теоремы: Произведение ограниченной
последовательности на бесконечно малую
есть бесконечно малая последовательность.)
последовательность {an+bn+nn}
бесконечно малая, и поэтому последовательность
{xnyn-аb}
тоже бесконечно малая, а значит
последовательность {xnyn}
сходится и имеет своим пределом число
аb. Теорема доказана.
ЛЕММА: Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.
Доказательство: Пусть . Так как b0, то >0. Пусть N – номер, соответствующий этому , начиная с которого выполняется неравенство:
|yn-b|< или |yn-b|<
из
этого неравенства следует, что при nN
выполняется неравенство |yn|>.
Поэтому при nN имеем
.
Следовательно, начиная с этого номера
N, мы можем рассматривать последовательность
,
и эта последовательность ограничена.
Лемма доказана.
ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn} при условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.
Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от ноля и последовательность ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы последовательностей {xn} и {yn}. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В самом деле, так как xn=а+n, yn=b+n, то
.
Так
как последовательность
ограничена, а последовательность
бесконечно мала, то последовательность
бесконечно малая. Теорема доказана.
Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.
ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству xnb (xnb), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству аb (ab).
Доказательство:
Пусть все элементы xn,
по крайней мере начиная с некоторого
номера, удовлетворяют неравенству
xnb.
Предположим, что а
|xn-a|
Это неравенство эквивалентно
-(b-a)
Используя
правое из этих неравенств мы получим
xnnb
рассматривается аналогично. Теорема
доказана.
Элементы
сходящейся последовательности {xn}
могут удовлетворять строгому неравенству
xn>b,
однако при этом предел а может оказаться
равным b. Например, если xn=1/n,
то xn>0,
однако
.
Следствие
1:
Если элементы xn
и уn
у сходящихся последовательностей {xn}
и {yn},
начиная с некоторого номера, удовлетворяют
неравенству xn
уn,
то их пределы удовлетворяют аналогичному
неравенству
.
Элементы
последовательности {yn-xn}
неотрицательны, а поэтому неотрицателен
и ее предел
.
Отсюда следует, что
.
Следствие
2:
Если все элементы сходящейся
последовательности {xn}
находятся на сегменте [a,b], то и ее предел
с также находится на этом сегменте.
Это
выполняется, так как аxnb,
то acb.
ТЕОРЕМА:
Пусть {xn}
и {zn}-
сходящиеся последовательности, имеющие
общий предел а. Пусть, кроме того, начиная
с некоторого номера, элементы
последовательности {yn}удовлетворяют
неравенствам xnynzn.
Тогда последовательность {yn}
сходится и имеет предел а.
Доказательство:
достаточно доказать, что {yn-a}
является бесконечно малой. Обозначим
через N’ номер, начиная с которого,
выполняются неравенства, указанные в
условии теоремы. Тогда, начиная с этого
же номера, будут выполнятся также
неравенства xn-а
yn-а
zn-а.
Отсюда следует, что при nN’ элементы
последовательности {yn-a}
удовлетворяют неравенству
|yn-a|
max {|xn-a|,
|zn-a|}.
Итак,
мы показали неравенства, которым
удовлетворяют элементы сходящихся
последовательностей, в пределе переходят
в соответствующие неравенства для
пределов этих последовательностей.
ПРИМЕРЫ
Последовательность
сходится и имеет своим пределом ноль.
Ведь каково бы ни было >0, по свойству
Архимеда вещественных чисел существует
такое натуральное число n, что n>.
Поэтому
для всех nn, а это означает, что
.
Последовательность
сходится и
,
что следует из того, что
,
и того, что
.
ЗАДАЧИ
ЗАДАЧА
№ 1
Пусть
числовая последовательность а1,
а2,
а3,
… удовлетворяет условию
(m,
n = 1, 2, 3, … ),
тогда
последовательность
,…
должна
либо расходиться к
,
причем предел этой последовательности
будет равен ее нижней грани.
РЕШЕНИЕ:
Видим
частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно
рассмотреть случай, когда нижняя грань
конечна. Пусть >0 и
+.
Всякое целое число n может быть представлено
в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1.
Полагая единообразие а0=0,
имеем:
an=aqm+ram+am+…+am+ar=qam+ar,
,
ЗАДАЧА
№ 2
Пусть
числовая последовательность а1,
а2,
а3,
… удовлетворяет условию
тогда
существует конечный предел
,
причем
(n
= 1, 2, 3, … ).
РЕШЕНИЕ:
Из
неравенств 2am-12m<2a>m+1
получаем:
(*)
Ряд
сходится,
ибо в силу неравенства (*) он мажорируется
сходящимся рядом:
|a1|+2-1+2-2+2-3+…
запишем
целое число n по двоичной системе:
n=2m+12m-1+22m-2+…+m (1,
2,
…, m
= 0 или 1)
согласно
предположению
.
Применяя
теорему (1) для данных:
s0=0,
s1=, sm-1=, sm=,
…, pn0=0, pn1=,
…, pn,
m-1=,
, pn,
m+1=0,
…,
заключаем,
что
.
Наконец, в силу (*) имеем:
.
ЗАДАЧА
№ 3
Если
общий член ряда, не являющегося ни
сходящимся, ни расходящимся в собственном
смысле, стремится к нулю, то частичные
суммы этого ряда расположены всюду
плотно между их нижним и верхним пределами
lim inf и lim sup.
РЕШЕНИЕ:
Нам
достаточно рассмотреть случай, когда
частичные суммы s1,
s2,
…, sn,
… ограничены. Пусть
,
,
l - целое положительное число, l>2 и
.
Разобьем
числовую прямую на l интервалов точками
-,
m+, m+2, …, M-2, M-, +.
Выберем
такое N, чтобы для n>N выполнялось
неравенство |sn-sn+1|<.
Пусть, далее, sn1
(n1>N)
лежит в первом интервале и sn2
(n2>
n1)
– в последнем. Тогда числа конечной
последовательности
не смогут “перепрыгнуть” ни один из
l-2 промежуточных интервалов длиной .
Аналогично рассуждаем и в том случае,
когда последовательность будет не
“медленно восходящей”, а “медленно
нисхожящей”.
ЗАДАЧА
№ 4
Пусть
для последовательности t1,
t2,
… , tn,
… существует такая последовательность
стремящихся к нулю положительных чисел
…,
что для каждого n
.
РЕШЕНИЕ:
Существуют
в сколь угодно большом удалении конечные
последовательности
,
произвольно медленно нисходящие от
верхнего предела последовательности
к ее нижнему пределу.
ЗАДАЧА
№ 5
Пусть
v1,
v2,
… , vn,
… - положительные числа, v1
v2
v3
… Совокупность предельных точек
последовательности
,
…
заполняет
замкнутый интервал (длина которого
равна нулю, если эта последовательность
стремится к пределу).
РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА
№ 6
Числовая
последовательность, стремящаяся к
,
имеет наименьший член.
РЕШЕНИЕ:
Какое
бы число мы ни задали, слева от него
будет находиться лишь конечное число
членов последовательности, а среди
конечного множества чисел существует
одно или несколько наименьших.
ЗАДАЧА
№ 7
Сходящаяся
последовательность имеет либо наибольший
член, либо наименьший, либо и тот и
другой.
РЕШЕНИЕ:
При
совпадении верхней и нижней граней
рассматриваемой последовательности
теорема тривиальна. Пусть поэтому они
различны. Тогда по крайней мере одна из
них отличается от предела последовательности.
Она и будет равна наибольшему,
соответственно наименьшему, члену
последовательности.
ЗАДАЧА
№ 8
Пусть
l1,
l2,
l3,
… , lm,
… - последовательность положительных
чисел и
,
тогда существует бесконечно много
номеров n, для которых ln
меньше всех предшествующих ему членов
последовательности l1,
l2,
l3,
… , ln-1.
РЕШЕНИЕ:
Пусть
задано целое положительное число m и
– наименьшее из чисел l1,
l2,
l3,
… , lm;
>0. Согласно предположению в
рассматриваемой последовательности
существуют члены, меньше чем . Пусть n
– наименьший номер, для которого ln<.
Тогда:
n>m;
ln
ЗАДАЧА
№ 9
Пусть
l1,
l2,
l3,
… , lm,
… - последовательность положительных
чисел и
,
тогда существует бесконечно много
номеров n, для которых ln
превосходит все следующие за ним члены
ln+1,
ln+2,
ln+3,…
ЗАДАЧА
№ 10
Пусть
числовые последовательности
l1,
l2,
l3,
… , lm,
… (lm>0),
s1,
s
2,
s
3,
… , s
m,
… (s1>0,
sm+1>sm,
m=1, 2, 3, …)
обладают
тем свойством, что
,
.
Тогда
существует бесконечно много номеров
n, для которых одновременно выполняются
неравенства
ln>ln+1,
ln>ln+2,
ln>ln+3,
…
lnsn>ln-1sn-1,
lnsn>ln-2sn-2,
… lnsn>l1s1,
РЕШЕНИЕ:
Будем
называть lm
“выступающим” членом последовательности,
если lm
больше всех последующих членов. Согласно
предположению в первой последовательности
содержится бесконечно много выступающих
членов; пусть это будут:
,…
Каждый
невыступающий член lv
заключается (для v>n1)
между двумя последовательными выступающими
членами, скажем nr-1
,
значит
(*)
отсюда
заключаем, что
Действительно,
в противном случае
,
значит, в силу (*) и вся последовательность
k>m;
.
ЗАДАЧА
№ 11
Если
числовая последовательность
,…
стремится к
и А превышает ее наименьший член, то
существует такой номер n (возможно
несколько таких), n1, что n отношений
,…
РЕШЕНИЕ:
Имеем
.
Пусть минимум последовательности
L0-0,
L1-A,
L2-2A,
L3-3A,
…
Будет
Ln-nA;
тогда
Ln-u-(n-u)A
Ln-nA; Ln+v-(n+v)A
Ln-nA,
u=1,
2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу
предложений относительно А.
ЗАДАЧА
№ 12
Пусть
относительно числовой последовательности
l1,
l2,
l3,
… , lm,
… предполагается лишь, что
.
.
РЕШЕНИЕ:
Пусть
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1,
2, 3, …; L0=0.
Так
как L1-A<0,
то L0-0
не является минимумом в предыдущем
решении. ln+1A;
поэтому ln+1,
а
следовательно и n должны стремиться к
бесконечности одновременно с А.
ЗАДАЧА
№ 13
Пусть
числовая последовательность l1,
l2,
l3,
… , lm,
… удовлетворяет условиям
,
.
РЕШЕНИЕ:
Положим
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1,
2, 3, …; L0=0.
Тогда
.
Последовательность
L0-0,
L1-A,
L2-2A,
L3-3A,
…, Lm-mA,
…
стремится
к -. Пусть ее наибольший член будет
Ln-nA.
Тогда интересующие нас неравенства
будут выполняться для этого номера n.
В
последовательности L0,
L1,
…, Lm,
… содержится бесконечно много членов,
превышающих все предыдущие. Пусть Ls
будет один из них. Тогда числа:
все
положительны: коль скоро А меньше
наименьшего из них, соответствующий А
номер n больше или равен s. Точки (n, Ln)
должны быть обтянуты теперь бесконечным
выпуклым сверху полигоном.
Так
как
и
,
то для любого >0 можно указать номера
N1
и N2
такие, что при nN1
|xn-a|<,
а при nN2
|zn-a|<.
Итак последовательность {yn-a}
бесконечно малая. Теорема доказана.
Тогда
числа t1,
t2,
… , tn,
…лежат всюду плотно между их нижним и
верхним пределами.
l1s1,
l2s2,
… были бы ограничены, что противоречит
предположению. Теперь пусть задано
целое положительное число m и –
наименьшее из чисел
,…
; >0. Согласно предположению в
рассматриваемой последовательности
существуют члены, меньше чем . Пусть k
– наименьший номер, для которого
<.
Тогда:
все
не больше А, а бесконечное множество
отношений
все
не меньше А.
Пусть,
далее, А>l1.
Тогда существует такой номер n, n 1, что
одновременно выполняются все неравенства
Если
А, то также n.
Пусть,
далее, l1>A>0.
Тогда существует такой номер n, n 1, что
одновременно выполняются все неравенства
Если
А0, то также n0.