кратные несобственные интегралы

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Математический анализ – общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая область математики, связанная с понятиями функций, производной и интеграла.

Дисциплина «Математический анализ» отражает важное направление развития современной математики. В ней рассматриваются вопросы, связанные с методами вычислений, что важно для нашей специальности.

Интегральное исчисление, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями интегрального исчисления являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного. Так же не малую роль играет понятие кратные интегралы.

Кратный интеграл - интеграл от функции нескольких переменных. Определяется при помощи интегральных сумм, аналогично определённому интегралу от функции одного переменного. В зависимости от числа переменных различают двойные, тройные, n-кратные интегралы. Так же существуют кратные несобственные интегралы.

И целью моей курсовой работы является раскрыть один из разделов кратных интегралов – кратные несобственные интегралы.

1. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть G – область в Rⁿ, функция f: G R, интеграл не существует из-за того, что либо область G не ограничена, либо функция f не ограничена в области G, либо и то, и другое, но на каждом замкнутом кубируемом подмножестве функция f интегрируема по Риману.

При выполнении всех перечисленных выше условий

(1)

будем называть несобственным кратным интегралом.

2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВДОЛЬ ЛИНИИ

Пусть функция F (x, y) непрерывна на открытом круге

однако неограниченна на нём. При этом мы предполагаем, что при приближении к любым точкам окружности x² + y² = a² функция F стремиться к бесконечности.

Тогда для любого положительного b < a интеграл

существует, но интеграл от F на G_a в обычном смысле не существует. Из существования интеграла по G_a в римановском смысле должна следовать ограниченность F на G_a.

Однако может случится, что существует предел

Предел I называется интегралом от F по G_a в несобственном смысле и обозначают как обычный риманов интеграл

Площадь сферы ?S_a?, соответствующей G_a., нам пришлось определить при помощи не простого риманова интеграла, а несобственного интеграла

Мы рассмотрели пример несобственного интеграла, когда подынтегральная функция неограниченна вдоль линии.

3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

Рассмотрим несобственный интеграл

(1)

зависящий от параметра x = (x₁,…,x_m). Будем считать, что интеграл имеет единственную особенность в точке

Точнее, мы рассматриваем область ? точек y = (y₁,…,y_n) n-мерного пространства, в которой происходит интегрирование и область G точек x = (x₁,…,x_m) – область параметров. Так как мы интегрируем по ?, а в дальнейшем будем интегрировать и по G, то будем считать, что обе области ? и G и имеют кусочно-гладкую границу. Что же касается функции f (x,y), то предполагается, что она непрерывна на за исключением точек (x, y⁰), где она имеет особенность.

На ? в окрестности каждой точки (x, y⁰) функция f (x, y), вообще говоря, неограниченна.

Мы предполагаем, что несобственный интеграл (1) существует для всех Это значит, что для каждого существует конечный предел

(2)

где

(3)

и ?_? = ? \ U (y⁰, ?) есть множество точек y ?, из которого выкинут шар радиуса ? с центром в точке y⁰.

Важно отметить, что интеграл (3) – это обыкновенный интеграл Римана (собственный), и так как функция f (x, y) непрерывна на при любом ? > 0, то для него выполняются известные свойства:

1. F_? (x) непрерывная функция от

2. Законно менять местами порядок интегрирования

(4)

1. Законно дифференцировать под знаком интеграла

(5)

при дополнительно условии, что частная производная непрерывна на .

Возникает вопрос, сохраняются ли свойства 1) – 3) при ? =0, т.е. сохраняются ли они для несобственного интеграла (1). Это, вообще говоря, не так. Однако если на сходимость к F (x) и к наложить дополнительное условие равномерной сходимости, то свойства 1) – 3) сохраняются. В связи с этим полезно понятие равномерной сходимости несобственного интеграла.

По определению интеграл (1) сходящийся равномерно на (или по), если

т.е.

равномерно на .

Другими словами, интеграл (1) сходится равномерно на , если выполняется: для любого ? > 0 существует ?₀ > 0 такое, что

К равномерно сходящимся интегралам можно применить теорию равномерно сходящихся последовательностей функции, связанную с теорией равномерно сходящихся рядов.

Мы знаем, что если последовательность функций F_n (x) (n=1, 2,…), непрерывных на множестве , сходится равномерно на , то предельная функция F (x) непрерывна на , и тогда

(6)

Мы знаем также, что дополнительно считать, что частные производные существуют и непрерывны на и, кроме того,

,

равномерно на , то функция F (x) имеет производную , равную :

При доказательстве этих свойств не имеет значения тот факт, что n, возрастая, пробегает натуральные числа. Можно считать также, что n = ? стремиться непрерывно к нулю (? ? 0). Поэтому указанные свойства автоматически переносятся на равномерно сходящиеся несобственные интегралы. Понятие равномерной сходимости для несобственных интегралов, зависящих от параметра, столь же важно, как и для функциональных рядов.

Теорема 1. Если интеграл (1) равномерно сходиться на и функция f (x, y) непрерывна на за исключением точек (x, y⁰), то интеграл (1) есть непрерывная функция от x. При этом

В самом деле, из непрерывности и равномерной сходимости на следует, что F(x) непрерывна на . Далее,

В этой цепи мы воспользовались (во втором равенстве) формулой

верной, потому что F_? и F непрерывны на G и F_? ? F равномерно на , и (в четвёртом равенстве) формулой (4).

Теорема 2. Если, кроме того, что выполняются условия теоремы 1, известно, что частная производная непрерывна на за исключением точек (x, y⁰), и интеграл

равномерно сходится на , то имеет место равенство

т.е. законно дифференцировать под знаком интеграла.

В самом деле,

Во втором равенстве этой цепи применено свойство: если функция и непрерывны на и обе при ? ? 0 равномерно сходятся на соответственно F(x) и ?(x), то на . В четвёртом равенстве применено свойство (5), верное для любого ? > 0.

4. ВЫЧЕСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Интеграл Эйлера-Пуассона

Рассмотрим Это – несобственный двойной интеграл. Возьмём в качестве исчерпывающей последовательности последовательность кругов Тогда

А теперь возьмём в качестве исчерпывающей последовательности последовательность квадратов Тогда

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные определения несобственных интегралов даны О. Коши в 1823. Различие условно и абсолютно сходящихся несобственных интегралов установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле (1854). Ряд работ математиков 19 в. посвящен вычислению несобственных интегралов в случаях, когда соответствующая первообразная не выражается через элементарные функции. Значения многих несобственных интегралов приводятся в различных таблицах.

Несобственные интегралы имеют важное значение во многих областях математического анализа и его приложений. В теории специальных функций (цилиндрических функций, ортогональных многочленов и др.) одним из основных способов изучения является изображение функций в виде несобственных интегралов, зависящих от параметра, например. К несобственным интегралам относится и Фурье интеграл, а также интегралы, встречающиеся при других интегральных преобразованиях. Решения краевых задач математической физики записываются кратными несобственными интегралами с неограниченной подынтегральной функцией. В теории вероятностей важное значение имеет несобственный интеграл

ЛИТЕРАТУРА

1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. - М.: Наука, 2000.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. - М.: Наука, 1999.

3. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. - М.: Наука, 2003.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: учебник для вузов. 3-е изд., испр. – М: Наука. Гл. ред. физ-мат. мет., 1989.- 464с.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 1999.

6. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редакцией А.В.Ефимова и Б.П. Демидовича). – Т.2. - М.: Наука, 2004.