Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона.
1 C00
1 1 C10 C11
1 2 1 C20 C21 C22
1 3 3 1 C30 C31 C32 C33
1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44
1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55
1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1. Свойства треугольника Паскаля:
1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно
сумме двух соседних в предыдущей строке.
2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис-
лам.
3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре-
дыдущей сроке.
4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой.
Сmn=Cmm-n
2. Бином Ньютона.
(a+b) - двучлен (бином)
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2
и т.д. ;)
Свойства бинома Ньютона:
1) Бином ньютона содержит n+1 слагаемых.
2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны
между собой.
3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически:
n
(a + b)n = S Cnk.an-k.bk
k=0
4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk.an-k.bk
5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n.
Метод математической индукции.
Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если:
1) Оно верно при n=1;
2) Предположим, что оно верно при n=k и докажем, что оно верно
при n=k+1.
Комбинаторика: Размещения и перестановки.
Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю-
щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое-
динениями.
3 рода соединений:
1) Размещения
2) Перестеновки
3) Сочетания
Дано: (a,b,c) - 3 элемента.
по одному: a, b, c.
по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca.
по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba.
1). Соединения, которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд-
ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n,m
------------¬
¦ m! ¦
¦Amn= ------+
¦ (m-n)!¦
L------------
2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются
перестановками.
------¬
¦Pm=m!¦
L------
2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на-
зываются сочетениями.
--------------¬ Свойства числа сочетний:
¦ m! ¦ 1) Сmn=Cmm-n
¦Сmn= --------+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1
¦ (m-n)!n!¦ 3) Cm0=1
L-------------- 4) C00=0!=1
Дифференцирование функций.
Производная функции
h=x-a - приращение аргумента
f(a+h) - f(a) - приращение функции
--------------------------------------¬
¦ f(a+h) - f(a) -
¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)-
¦ h->0 h -
+--------------------------------------
¦f(a+h)-f(a)=(k+a).h-
L--------------------
df = f'(x).dx - дифференциал функции.
Примеры:
1 1/(h+x)-1/x -h/(x(x+h))
1) f(x)=- ; f'(x) = lim ----------- = lim ----------- =
x h->0 h h->0 h
1 1
= lim ------- = ---
x(x+h) h2
|\\ 1
2) (x2)' = 2x; (ax+b)' = a; (? a )' = ---
2?x
(ax2 + bx + c)' = 2ax + b; (x3)' = 3x2
----------------¬
¦(axn)' = n.xn-1¦
L----------------
Техника дифференцирования.
(fg)' = f'g + fg' Угловой коэффициент касательной в данной то-
(f + g) = f' + g' чке равен значению производной в данной точ-
( f )' f'g + fg' ке.
¦ - ¦ = ---------
9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ-
водная отрицательна.
(fn)' = nfn-1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про-
n|\\ 1 изводная положительна.
? f = -------- 3) Если производная равна нулю или не сущес-
n. n? f твует то в этих точках функция имеет локальные
экстремумы.
4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти:
а) Значение функции на краях промежутка;
б) Экстремумы функции на данном промежутке;
в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные.
Дифференцирование тригонометрических функций.
---------------¬ ----------¬
¦ Sin x ¦ ¦ tg x ¦
¦ Lim ----- = 1¦ ¦Lim ---- ¦
¦x->0 x ¦ ¦x->0 x ¦
L--------------- L----------
(Sin x)' = Cos x
(Cos x)' = -Sin x
1 1
(tg x)' = ----- ; (Ctg x)' = -----
Cos2x Sin2x
Спецкурс - " Уравнения и неравенства с параметрами ".
" Исследование квадратного трехчлена "
Теорема 1. ---
--------- ¦ а > 0,
¦ D . 0,
¦ x0 > M, ( a7f(M) > 0,
M < x1 , x2 <=> ¦ f(M) > 0, <=> Б D . 0,
=========== ¦ a < 0, 9 x0 > M.
¦ D . 0,
¦ x0 > M,
¦ f(M) < 0
L--
Теорема 2. ---
---------- ¦ а > 0,
¦ D . 0,
¦ x0 < b, ( a7f(b) > 0,
x1 , x2 < b <=> ¦ f(b) > 0, <=> Б D . 0,
=========== ¦ a < 0, 9 x0 < b.
¦ D . 0,
¦ x0 < b,
¦ f(b) < 0
L--
Теорема 3. ---
--------- ¦ ( а > 0,
¦ 2 D . 0, a7f(b) > 0
¦ Б M < x0 < b, a7f(M) > 0,
M < x1 , x2 < b <=> ¦ 2 f(M) > 0, <=> D . 0,
=============== ¦ 9 f(b) > 0, M < x0 < b
¦ ( a < 0,
¦ 2 D . 0,
¦ Б M < x0 < b,
¦ 2 f(b) < 0,
¦ 9 f(M) < 0
L--
Теорема 4. ---
--------- ¦ ( а > 0,
¦ Б f(M) > 0,
¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0
M < x1 < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) > 0,
=============== ¦ Б f(b) > 0,
¦ 9 f(M) < 0
L--
Теорема 5. ---
--------- ¦ ( а > 0,
¦ Б f(M) < 0,
¦ 9 f(b) > 0, a7f(b) > 0
x1 < M < x2 < b <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0,
=============== ¦ Б f(b) < 0,
¦ 9 f(M) > 0
L--
Теорема 6. ---
---------- ¦ ( а > 0,
¦ Б f(M) < 0,
¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0
x1 < M < b < x2 <=> ¦ ( a < 0, <=> a7f(M) < 0,
=============== ¦ Б f(b) > 0,
¦ 9 f(M) > 0
L--
Теорема 7. ---
--------- ¦ а > 0,
¦ f(M) < 0,
x1 < M < x2 <=> ¦ a < 0, <=> a7f(M) < 0,
=========== ¦ f(M) > 0
L--
Числовая последовательность.
1). Числовая последовательность - такой ряд чисел, который занумеро-
ван с помощью натуральных чисел и обозначается {an} или (an) -
a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7...an
f(n) - закон, по которому каждому номеру соответствует свой член
последовательности. |\\ |\ |\
Последовательность называют возрастающей, если каждый член после-
довательности больше предыдущего, т.е.: если an+1>an, то (an)%.
Последовательность называется убывающей, если каждый член после-
довательности
меньше предыдущего, т.е.: если an+1
an
, M => (an) - ограниченная сверху.
an
. M => (an) - ограниченная снизу.
2).
Арифметическая прогессия [_]
Арифметической
прогрессией называют такой ряд чисел,
в котором
каждый
член, начиная со второго, равен
предыдущему плюс одно и тоже
число,
которое называется разностью прогрессий.
_
a1,a2,a3,a4...an
a2=a1+d;
d - разность прогрессий
-------------¬
¦an=a1+(n-1)d¦-
- формула любого члена арифметической
прогрессии...
L--------------
Свойства
членов арифметической прогресии:
1.
Каждый член арифметической прогрессии
есть среднее арифмети-
ческое
членов, с ним соседних: an=(an-1+an+1)/2
2.
Суммы членов, равноудаленных от концов
между собой равны между
собой:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2
3.
Каждый член арифметической прогрессии
есть среднее арифмети-
ческое
равноудаленных от него членов.
------------¬
----------------¬
¦
(a1+an)n¦- ¦ 2a1+(n-1)d ¦
¦S_=--------+-
¦S_=----------.n¦
¦
2 ¦- ¦ 2 ¦
L-------------
L----------------
3).
Геометрической прогрессией называется
такой ряд чисел, в котором
каждый
член, начиная со второго равен предыдущему,
умноженному на одно
и
тоже число, которое называется знаменателем
прогрессии.(q)
b2=b1.q;
b2=b1.q2 и т.д.
-------------¬
¦bn=b1.q(n-1)¦-
- формула лыбого члена арифметической
прогрессии.
L--------------
Свойства
членов геометрической прогрессии:
|\\\\\\\\\\
1.
bn=? bn-k.bn+k
2.
b1.bn=bk.bn-k+1
2.
Произведение n-членов геометрической
прогрессии равно:
--------------------------¬
¦
|\\\\\\\ |\\\\\\\\\¦
¦P=?(b1.bn)n
= ?(b12qn-1)n¦
L--------------------------
4.
Сумма n-членов геометрической прогрессии
равна:
bnq-b1
b1(qn-1)
S=------
= --------
q-1
q-1
1
lq9m.pdr
2 1
Основные
формулы сокращенного умножения.
a2
+ b2 = (a + b)2 - 2ab
a2
+ b2 = (a - b)2 + 2ab
a2
- b2 = (a - b)(a + b)
(a
+ b)2 = a2 + 2ab + b2
(a
- b)2 = a2 - 2ab + b2
a3
+ b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3
- b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
an
- bn = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b4 + ... +bn-1)
(a
+ b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a
- b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 + b3
(a
- b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
a4
+ b2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
(a
+ b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a
+ b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
|\\\\\\\\\
|\\\\\\\\\
/
A + ?A-B / A + ?A-B
A
+ B = /---------- + /----------
?
2 ? 2
|\\
|\\ |\\ |\\
a
- b = (? a - ? b )(? a + ? b )
|\\
|\\ 3|\\ |\\\ 3|\\
a
- b = ((? a - ? b )(? a2 + ? ab + ? b2)
|\\
--> a, если a . 0!
?
a2 = ¦a¦-+
L->-a,
если a < 0!
Сумма
углов выпуклого многоугольника: 180(n -
2)
Формула
Герона S = ?p(p - a)(p - b)(p - c)
Правильный
многоугольник:
an
= 2r.tg(180/n) = 2R.Sin(180/n)
Sn
= p.r = 0,5.PR.Cos(180/n)
--------------------------
Sквадрата
= a.b abc
Sтреугольника
= 0,5.ah = 0,5.ab.Sin a = ---
4R
d1.d2
Sпараллелограма
= ab.Sin a = ----- = a.ha
2
Sтрапеции
= 0,5.(a + b) = ch (c - средняя линия)
Преобразования
на плоскости.
Осевая
симметрия - движение при котором
сохраняется расстояние.
Sl(ABC)
= A1B1C1 (относительно прямой l)
Центральная
симметрия - движение относительно точки,
при
котором сохраняется расстояние
ZO(ABCD)
= A1B1C1D1 (относительно точки О)
Параллельный
перенос (П[вектор]
Поворот
- R[угол][точка]
Гомотетия
- увеличение или уменьшение
H[коэфициент][точка]
Правила
действия над тригонометрическими
функциями.
г==============================T==============================¬
¦y=Sin
a- функция ограниченная ¦y=Cos a- функция
ограниченная ¦
¦
+ ¦ + ¦ - ¦ + ¦
¦-1
, Sin a , 1 ----+---- ¦-1 , Cos a , 1 ----+---- ¦
¦
- ¦ - ¦ - ¦ + ¦
¦==============================¦==============================¦
¦y=tg
a ; y=Ctg a- неограниченные функции
¦
¦
- ¦ + ¦
¦
----+---- ¦
¦
+ ¦ - ¦
L=============================================================-
360
= 2p ; 180 = p ; 90 = 0,5p ;Длинна дуги равна
произведению
p
p p её радианного измерения
на ра-
60
= - ; 45 = - ; 30 = - диус
3
4 6
Cокружности
= 2pR
Основные
тригонометрические тождества:
q
1.Sin2a + Cos2a = 1
Sin
a Cos a
2.tg
a = ----- ; Ctg a = -----
Cos
a Sin a
3.tg
a * Ctg a = 1
1
1
4.1
+ tg2a = ----- ; 1 + Ctg a = -----
Cos2a
Sin2a
Правило
формул превидения
Какой
знак: Ставим тот знак, который имеет
функция в данной четверти.
Какая
функция: Если угол откладывается от
горизонтального диаметра то
функция
не меняется. Если угол откладывается
то вертикального диаметра
то
функция меняется на созвучную.( Sin a на
Cos a ; tg a на Ctg a)
----------------------------------T---------------------------------¬
¦Cos(a-b)
= Cosa*Cosb + Sina*Sinb ¦ Cos(a+b) = Cosa*Cosb - Sina*Sinb¦
+---------------------------------+---------------------------------+
¦Sin(a-b)
= Sina*Cosb - Cosa*Sinb ¦ Sin(a+b) = Sina*Cosb + Cosa*Sinb¦
+-----------------------T---------+--------------T-------------------
¦
tg a - tg b ¦ tg a + tg b ¦
¦tg(a-b)
= ----------- ¦ tg(a+b) = ----------- ¦
¦
1 + tga*tgb ¦ 1 - tga*tgb ¦
+-----------------------+-T----------------------+----¬
¦
Ctga*ctgb + 1 ¦ Ctga*ctgb - 1 ¦
¦Ctg(a-b)
=-------------- ¦ Ctg(a+b) = ------------- ¦
¦
Ctg a - ctg b ¦ Ctg a + ctg b ¦
+-----------------------T-+---------------------T------
¦Sin
2a = 2*Sin a*Cos a ¦ Cos2a = Cos2a - Sin2a ¦
+-----------------T-----+--------------T---------
¦
2*tg a ¦ Ctg2a - 1 ¦
¦tg
2a = -------- ¦ Ctg 2a = --------- ¦
¦
1 - tg2a ¦ 2*Ctg a ¦
L-----------------+---------------------
Sin
a * Cos b = 0,5*[Sin(a-b) + Sin(a+b)]
Sin
x + Sin y = 2Sin 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y)
Sin
x - Sin y = 2Cos 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y)
Cos
x + Cos y = 2Cos 0,5(x+y) * Cos 0,5(x-y)
Cos
x - Cos y = -2 Sin 0,5(x+y) * Sin 0,5(x-y)
Cos
a * Cos b = 0,5[Cos(a-b) + Cos(a+b)]
Sin
a * Sin b = 0,5[Cos(a-b) - Cos(a+b)]
---------------------------T---------------------------------¬
¦
Sin(x-y) ¦ Sin(x+y) ¦
¦tg
x - tg y = ----------- ¦ tg x + tg y = ----------- ¦
¦
Cos x Cos y ¦ Cos x Cos y ¦
+--------------------------+--T------------------------------+
¦
Sin(x-y) ¦ Sin(x+y) ¦
¦Ctg
x - Ctg y = ------------ ¦ Ctg x + Ctg y = ----------- ¦
¦
Sin x Sin y ¦ Sin x Sin y ¦
L-----------------------------+-------------------------------
Sin
3x = 3Sin x - 4Sin3x 2tg x
Cos
3x = 4Cos3x - 3Cos x Sin 2x = ---------
/1
+ Cos 2x 2tg2x + 1
¦Cos
x¦ = / ----------
?
2 . 1 + tg2x
/1
- Cos 2x Cos 2x = --------
¦Sin
x¦ = / ---------- 1 - tg2x
?
2 .
/
1 - Cos 2x 2tg x
¦tg
x¦ = / ----------- tg 2x = --------
?
1 + Cos 2x 1 - tg2x
1.
Решение тригонометрических уравнений.
Sin
x = m ==> x = (-1)n7arcsin m + pn, n Z.
Cos
x = m ==> x = + arccos m + 2pn, n Z.
tg
x = m ==> x = arctg m + pn, n Z.
ctg
x = m ==> x = arcctg m + pn, n Z.
2.
Равенство одноименных функций.
Sin
t = Sin a ==> t = (-1)ka + kp, k Z.
Cos
t = Cos a ==> t = + a + 2kp, k Z.
tg
t = tg a ==> t = a + kp, k Z.
3.
Универсальная подcтaновка.
t
t
2tg
--- 1 - tg2 ---
2
2 t
Sin
t = ------------ ; Cos t = ------------- ; tg --- = Z.
t
t 2
1
+ tg2 --- 1 + tg2 ---
2
2
4.
Функции кратных аргументов.
--
¦
Cos2x = Cos2x - Sin2x.
(a+b)2=a2+2ab+b2
===> ¦
¦
Sin2x = 2Cosx7Sinx.
L-
--
¦
Cos3x = Cos3x - 3Cosx7Sin2x.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
===> ¦
¦
Sin3x = 3Cos2x7Sinx - Sin3x.
L-
--
¦
Cos4x=Cos4x-6Cos2x7Sin2x+Sin4x.
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
===> ¦
¦
Sin4x=4Cos3x7Sinx-4Cosx7Sin3x.
L-
5.
Дополнительно.
Cos
(n+1)7x = 2Cosx7Cos(nx) - Cos(n-1)x.
Sin
5a = 16Sin5a - 20Sin3a + 5Sina.
Sin
7a = -64Sina7 + 112Sin5a - 56Sin3a + 7Sina =
=
Sina7(64Cos6a - 80Cos4a + 24Cos2a - 1).