Финансовая математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУК РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт дистанционного образования

Контрольная работа по дисциплине «Финансовая математика»

Вариант 3

Выполнил: студент специальности

«Финансы и кредит-3-2006»

2-го курса, 4 семестра,

заочно-дистанционной

формы обучения

Шумков Антон Андреевич

Проверил:

г. Когалым

2008 год

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1

Условие:

Два платежа – 7 млн. руб. и 6 млн. руб. со сроками через 4 и 6 лет (на­чала обязательств совпадают во времени) – заменяются двумя другими пла­тежами. Первый, в размере 5 млн. руб., выплачивается через 2 года, второй платеж – через 5 лет. Найти размер второго платежа. При расчетах приме­нить ставку сложных процентов, равную 13 % годовых.

Дано: FV₁ = 7 млн. руб., FV₂ = 6 млн. руб., FV₃ = 5 млн. руб.,

n₁ = 4 года, n₂ = 6 лет, n₃ = 2 года, n₄ = 5 лет, r = 0,13.

Найти: FV₄.

Решение.

В качестве базовой даты выберем начало всех обязательств.

Составим уравнение эквивалентности:

FV₁/ (1 + r)ⁿ¹ + FV₂/ (1 + r)ⁿ² = FV₃/ (1 + r)ⁿ³ + FV₄/ (1 + r)ⁿ⁴.

Из решения уравнения 7 10⁶/1,13⁴ + 6 10⁶/1,13⁶ = 5 10⁶/1,13² + FV₄/1,13⁵ находим размер консолидированного второго платежа:

FV₄ = 6 005 249,5 руб.

Ответ: FV₄ = 6 005 249,5 руб.

Задача 2

Условие:

В контракте предусматривается при погашении обязательства через 8 лет уплатить 5,5 млн. руб. Первоначальная сумма ссуды 4.5 млн. руб. Опре­делить доходность операции для кредитора в виде:

1) простой процентной ставки;

2) простой учетной ставки;

3) сложной процентной ставки;

4) сложной учетной ставки.

Дано: FV = 5,5 млн. руб., PV = 4,5 млн. руб., n = 8 лет.

Найти: 1) r₁ – простая процентная ставка,

2) d₁ – простая учетная ставка,

3) r₂ – сложная процентная ставка,

4) d₂ – сложная учетная ставка.

Решение.

1. FV = PV*(1 + nr₁), r₁ = (FV/PV – 1)/n,

r₁ = (5,5/4,5 - 1)/8 = 0,0278.

2) FV = PV/(1 – nd₁), d₁ = (1 – PV/FV)/n,

d₁ = (1 – 4,5/5,5)/8 = 0,0227.

3) FV = PV*(1 + r₂)ⁿ, r₂ = - 1,

r₂ = - 1 = 0,0254.

1. FV = PV/(1 – d₂)ⁿ, d₂ = 1 - ,

d₂ = 1 - = 0,0248.

Ответ: 1) r₁ = 2,78 %; 2) d₁ = 2,27 %; 3) r₂ = 2,54 %; 4) d₂ = 2,48 %.

Задача 3

Условие:

Есть возможность положить деньги либо на пенсионный вклад под 13 % годовых, либо на вклад с ежемесячным начислением процентов по ставке 6 % годовых. Какой вариант предпочесть? Срок вклада – 10 месяцев.

Дано: I вариант: r₁ = 13%, m = 5/6,

II вариант: j = 6%, m = 10.

Найти: предпочтительный вариант размещения денег.

Решение

Значение эффективной ставки процентов, эквивалентное заданному значению номинальной ставки, находится по формуле:

R= (1 + j/m)^m – 1.

Рассчитаем значение эффективной ставки процентов для второго варианта: r₂ = (1 + 0,06/10)¹⁰ – 1 = 0,0616 или 6,16 % годовых.

r₁*m>r₂

10,83%>6,16%

Ответ: первый вариант размещения денег на пенсионный вклад выгоднее второго при прочих равных условиях.

Задача 4

Условие:

На сумму 6 млн. руб. в течение 5 лет начисляются сложные проценты по ставке 10 % годовых. Прогнозируется, что темп инфляции будет постоя­нен и равен 4 % в месяц. Найти наращенную сумму с учетом обесценения.

Дано: PV = 6 млн. руб., m = 5, r = 10 %,

t = 4 % - темп инфляции, n=60.

Найти: FV.

Решение

Наращенную сумму с учетом инфляции найдем по следующей формуле:

FV = PV (1 + r)^m (1 - t)ⁿ,

FV = 6*10⁶*1,1⁵*0,96⁶⁰ = 834 427,6 руб.

Ответ: FV = 834 427,6 руб.

Задача 5

Условие:

Кредит в 13 млн. руб. выдан на 5 лет. Реальная доходность должна со­ставлять 7 % годовых (сложные проценты). Расчетный уровень инфляции – 5 % в год. Определить ставку процентов при выдаче кредита, обеспечивающую полную компенсацию инфляции, а также наращенную сумму.

Дано: PV = 13 млн. руб., r₁ = 7 %, n = 5, t = 5 %.

Найти: r₂, FV.

Решение

Наращенную сумму без учета инфляции найдем по следующей формуле:

FV = PV (1 + r₁)ⁿ,

FV = 13*10⁶*(1 + 0,07)⁵ = 18 233 172,5 руб.

Ставку процентов с учетом инфляции найдем по следующей формуле:

FV = PV (1 + r₂)ⁿ (1 - t)ⁿ,

r₂ = - 1,

r₂ = = 0,126.

Ответ: r₂ = 12,6 %, FV = 18 233 172,5 руб.

Задача 6

Условие:

Внешнеторговому объединению при покупке товаров был предостав­лен кредит в размере 243 млн. руб. под 7 % годовых. По взаимной догово­ренности решено погасить данный кредит единовременной выплатой через 7 лет. С этой целью образован фонд, в который ежегодно вносятся 43 млн. руб. Годовая эффективная процентная ставка банка, где хранится фонд, равна 6 %. Найти сумму, которую следует добавить к фонду, чтобы погасить кредит через указанный срок.

Дано: PV = 243 млн. руб., r = 7 %, n = 7, R₁ = 43 млн. руб., j = 6 %.

Найти: R₂.

Решение

Наращенная сумма кредита:

FV = PV (1 + r)ⁿ,

В примере денежный поток представляет собой годовую, постоянную, ограниченную, обыкновенную финансовую ренту. Наращенная сумма фонда:

FV₀ = R₁ ((1 + j)ⁿ – 1)/j,

R₂ = FV – FV₀ = PV (1 + r)ⁿ - R₁ ((1 + j)ⁿ – 1)/j,

R₂ = 243*10⁶*(1 + 0,07)⁷ – 43*10⁶*((1 + 0,06)⁷ – 1)/0,06 = 29 269 879,8 руб.

Ответ: R₂ = 29 269 879,8 руб.

Задача 7

Условие:

Долг в размере 10003 ден. ед. решено погасить частями в течение 5 лет. Выплаты производятся в конце каждого полугодия. Проценты начисляются один раз в конце года по ставке 4 %. Найти размер платежа.

Дано: PV = 10 003 ден. ед., n = 5 лет, r = 4 %.

Найти: R

Решение

В примере имеем p-срочную (р=2), постоянную, ограниченную, обыкновенную, немедленную финансовую ренту. Из формулы современной величины такого вида ренты найдем размер полугодового платежа:

R = PV^(p) ((1 + r)^1/p – 1)/(1 – (1+r)^-n),

R = 10 003 ((1,04^0,5 – 1)/(1 – 1,04^-5) = 1112,5.

Ответ: R = 1112,5 ден. ед.

Задача 8

Условие:

Предлагается сдать в аренду участок на 6 лет. Имеются следующие ва­рианты оплаты аренды:

1. 15 млн. руб. в конце каждого года,

2. 43 млн. руб. в конце последнего года,

3. 15 млн. руб. в начале каждого года.

Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 6 % годо­вых по вкладам?

Дано: n = 6, r = 6 %,

1. R₁ = 15 млн. руб. в конце каждого года,

2. R₂ = 43 млн. руб. в конце последнего года,

3. R₃ = 15 в начале каждого года.

Найти: более предпочтительный вариант.

Решение

1) В примере денежный поток представляет собой годовую, постоянную, ограниченную, обыкновенную финансовую ренту. Наращенная сумма:

FV₁ = R₁ ((1 + r)^n-1 - 1)/r + R₁,

FV₁ = 15*10⁶ *(1,06⁵ – 1)/0,06 + 15*10⁶ = 99,6 млн. руб.

2) FV₂ = R₂,

FV₂ = 43 млн. руб.

3) Аналогично, как и в первом примере, наращенная сумма фонда:

FV₃ = R₃ ((1 + r)ⁿ – 1)/r,

FV₃ = 15*10⁶ *(1,06⁶ – 1)/0,06 = 104,63 млн. руб.

FV₂ < FV₁ < FV₃

Ответ: предпочтительнее третий вариант.

Задача 9

Условие:

Сравниваются два варианта строительства некоторого объекта. Первый требует разовых вложений в сумме 6 млрд. руб. и ежегодных вложений по 3,5 млрд. руб.

Для второго затраты на создание равны 8 млрд. руб. и ежегодные взносы по 3,3 млрд. руб. Продолжительность инвестиций – 13 лет, процент­ная ставка – 12 % годовых.

Какой вариант вложений выгоднее?

Дано: n = 13 лет, r = 12%.

1) PV₁ = 6 млрд. руб. - разовый взнос, PV₂ = 3,5 млрд. руб.

1. PV₃ = 8 млрд. руб. – разовый вариант, PV₄ = 3,3 млрд. руб.

Найти: более выгодный вариант вложений.

Решение

Формула наращения годовой финансовой ренты:

1. FV₁ = PV₁ (1 + r)ⁿ + PV₂ ((1 + r)ⁿ – 1)/r,

FV₁ = 6*10⁹*1,12¹³ + 3,5*10⁹*(1,12¹³ – 1)/0,12 = 124,28 млрд. руб.

1. FV₂ = PV₃ (1 + r)ⁿ + PV₄ ((1 + r)ⁿ – 1)/r,

FV₂ = 8*10⁹*1,12¹³ + 3,3*10⁹*(1,12¹³ – 1)/0,12 = 127,4 млрд. руб.

Прибыльность вложений относительно сформированных фондов:

1. t₁ = FV₁/(PV₁ + 13PV₂),

t₁ = 124,28/51,5 = 2,41 или t = 241 %.

1. t₂ = FV₂/(PV₃ + 13PV₄),

t₂ = 127,4/50,9 = 2,5 или t = 250 %.

Ответ: выгоднее второй вариант.

Задача 10

Условие:

В сбербанк внесено 803 ден. ед. Этот вклад оставлен для начисления на него процентов по ставке 5 % годовых в течение 8 лет. Какую сумму можно снимать со счета ежегодно в течение последующих 13 лет (4 % годовых), чтобы последним изъятием закрыть счет?

Дано: PV = 803 ден. ед., r = 5 %, n = 8 лет, j = 4 %, m = 13 лет.

Найти: R.

Решение

Накопленная сумма в сбербанке:

FV = PV (1 + r)ⁿ,

FV = 803 (1 + 0,05)⁸ = 1186,4 ден. ед.

Ежегодно снимаемая сумма:

R = FV*j/(1 - (1 + r)^-m),

R = 1186,4*0,04/((1,04¹³ – 1) = 118,8 ден. ед.

Ответ: R = 118,8 ден. ед.

Задача 11

Условие:

Ссуда в размере 1003 ден. ед. выдана на 133 дня под 6 % годовых. Найти размер погасительного платежа, используя разные варианты начисле­ния простых процентов.

Дано: PV = 1003 ден. ед., n = 133 дня, r = 6 %.

Найти: R

Решение

Размер погасительного платежа по простой постоянной ставке процентов:

R = PV (1 + r*n/k).

1. Точные проценты с точным числом дней, т.е. k = 365.

R₁ = 1003 (1 + 0,06*133/365) = 1021,63 ден. ед.

1. Обыкновенные проценты с точным числом дней, т.е. k = 360.

R₂ = 1003 (1 + 0,06*133/360) = 1021,89 ден. ед.

Ответ: R₁ = 1021,63 ден. ед., R₂ = 1021,89 ден. ед.

Задача 12

Условие:

Для погашения долга в размере 13 тыс. руб. со сроком погашения 09.04 заемщик выписал своему кредитору 3 векселя: один на 5 тыс. руб. со сроком погашения 06.08, второй – на сумму 9 тыс. руб. со сроком погашения 16.10 и третий вексель – со сроком погашения 15.09. Найти номинальную стоимость третьего векселя, если все векселя учитыва­ются по учетной ставке 6 % годовых?

Дано: PV = 13 тыс. руб. – 09.04, FV₁ = 5 тыс. руб. – 06.08,

FV₂ = 9 тыс. руб. – 16.10, FV₃ – 15.09, d = 6%.

Найти: FV₃

Решение

В качестве базовой даты выберем дату срока погашения долга.

Составим уравнение эквивалентности:

PV = FV₁*(1 – n₁d) + FV₂ (1 – n₂d) + FV₃(1 – n₃d),

FV₃ = (PV- FV₁/(1 – n₁d) - FV₂(1 – n₂d))/(1 – n₃d).

Сроки пролонгации составят для первого векселя n₁ = 119/360, для второго n = 190, третьего n₃ = 159/360.

FV₃ = (13*10³ - 5*10³/(1 – 0,06*119/360) – 9*10³/(1 – 0,06*190/360))/ (1– 0,06*159/360) = - 632,6.

Ответ: FV₃ = - 632,6 руб.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болдырева Н.Б. Финансовая математика: Учебное пособие. Тю­мень: Издательство Тюменского государственного университета, 2007 г. 112 с.

2. Бочаров П.П. Финансовая математика: Учебник для вузов. М.: Юристъ. 2002 г.

3. Бухвалов А. Финансовые вычисления для профессионалов. На­стольная книга. Спб.: БХВ. Петер, 2001 г.

4. Вебер М. Коммерческие расчеты от А до Я: Формулы, примеры расчетов и практические советы/Перевод с немецкого. 4-е издание, пере­работанное и дополненное. М.: Дело и Сервис, 1999 г.

5. Едронова В.Н., Мизиковский Е.А. Учет и анализ финансовых акти­вов: акции, облигации, векселя. М.: Финансы и статистика. 1995 г.

6. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения: Учебно-практическое пособие для вузов. М.: ПРИОР, 1998 г.

7. Ковалев В.В. Финансовый анализ. Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. 2-е изд., перераб. И доп. М.: Финансы и статистика, 1997 г.

8. Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. М.: Фи­нансы и статистика, 2001 г.

9. Кочович Е. Финансовая математика: Теория и практика финан­сово-банковских расчетов/Перевод с сербского. М.: Финансы и стати­стика, 1994 г.

10. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Ме­тоды расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. М.: ДЕЛО, 1998 г.

11. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учебное пособие. М.: Юнити-Дана, 2002 г.

12. Мелкумов Я.С., Румянцев В.Н. Финансовые вычисления в коммер­ческих сделках. М.: 1994 г.

13. Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансо­вым вычислениям. М.: Инфра – М, 1996 г.

14. Мелкумов Я.С. Финансовые вычисления. Теория и практика. Учебно-справочное пособие. М.: Инфра –М, 2002 г.

15. Салин В.Н., Ситникова О.Ю. Техника финансово-экономических расчетов: Учебник для вузов. М.: Финансы и статистика, 1998 г.

16. Симчера В.М. Финансовые и актуарные вычисления: Учебно-прак­тическое пособие. М.: Маркетинг, 2002 г.

17. Теплова Т.В. Финансовые решения: стратегия и тактика. Учебное пособие. М.: Магистр, 1998 г.

18. Томас Р. Количественные методы анализа хозяйственной деятель­ности/Перевод с английского. М.: Дело и сервис. 1999 г.

19. Уланов В.А. Сборник задач по курсу финансовых вычисле­ний/Под ред. профессора В.В.Ковалева. М.: Финансы и статистика, 2000 г.

20. Черкасов В.Е. Финансовый анализ в коммерческом банке. М.: ИНФРА-М, 1995 г.

21. Черкасов В.Е. Учебное пособие по финансово-экономическим рас­четам. М.: АУЗБАНК, 1993 г.

22. Черкасов В.Е. Практическое руководство по финансово-экономиче­ским расчетам. М., 1995 г.

23. Четыркин Е.М. Финансовые вычисления во внешнеэкономиче­ской деятельности. М.: Финансы и статистика, 1984 г.

24. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. 2-е изд., испр. и доп. М.: ДЕЛО ЛТД, 1995 г.

25. Четыркин Е.М., Васильева Н.Е. Финансово-экономические рас­четы: Справочное пособие. М.: Финансы и статистика, 1990 г.

26. Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учебник для студентов вузов. 3-е изд. М.: Дело, 2003 г.