Математические софизмы

33 Муниципальное образовательное учреждение «Лицей №15» Секция математики «Математические софизмы» (реферат) Выполнила: Бойченко Виктория ученица 8 класса б Руководитель: С.В. Теленгатор г . Саров 2009 год Содержание 1. Введение 3 2. История софизмов 3 3. Классификация софизмов 7 3. 1 Алгебраические софизмы 7 3.2 . Геометрические софизмы 17 3.3 . Логические софизмы 21 4. Классификация ошибок 28 4.1 Терминологические ошибки 28 4.2 Психологические ошибки 29 4.2 .1 Интеллектуальные причины 29 4.2 .2 Аффективные причины 29 4.2 .3 Волевые причины 29 5. Заключение 31 6. Терминологический словарь 32 7. Литература 33 1. Введение История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых в свою очередь произрастали новые софизмы и парадоксы. В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. Большинство софизмов известно очень давно, и можно найти в различных сборниках, журналах. Некоторые из них передаются устно из поколения в поколение. Целью моей работы было классифицировать различные виды софизмов и дать характеристику наиболее часто встречающимся ошибкам. 2. История софизмов Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм, основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или н е с ко лько замаскированных ошибок. Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию м атематики в целом, помогает разв ивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформулировать эту аксиому можно так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (что одну прямую, параллельную данной, можно провести – это доказывается). Это утверждение на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, вывеси из остальных аксиом геометрии, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И всё же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Можно сказать, что они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит нашему великому соотечественнику Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи. Н.И. Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому параллельных, но скоро понял, что этого сделать нельзя. И путь, идя которым Лобачевский убедился в этом, привёл его к созданию новой геометрии. Этот замечательный вклад в математику был одним из тех, которые прославили русскую науку. Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической: за счёт метафоричности речи, омонимии или полисемии слов, амфиболий и пр., нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах Вот один из древних софизмов («рогатый»), приписываемый Эвбулиду: «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога» . Здесь маскируется двусмысленность большей посылки. Если она мыслится универсальной: «Всё, что ты не терял…», то вывод логически безупречен, но неинтересен, поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она мыслится частной, то заключение не следует логически. Последнее, однако, стало известно лишь после того, как Аристотель сформулировал логику. А вот современный софизм, обосновывающий, что с возрастом «годы жизни» не только кажутся, но и на самом деле короче: «Каждый год вашей жизни — это её 1 / n часть, где n — число прожитых вами лет. Но n + 1 > n . Следовательно, 1 / ( n + 1) < 1 / n ». Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста — представить наихудший аргумент как наилучший , путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. По-видимому, первыми, кто понял важность семиотического анализа софизмов, были сами софисты. Учение о речи, о правильном употреблении имён Продик считал важнейшим. Анализ и примеры софизмов часто встречаются в диалогах Платона. Аристотель написал специальную книгу «О софистических опровержениях», а математик Евклид — «Псевдарий» — своеобразный каталог софизмов в геометрических доказательствах. " В Древней Греции развитие искусства ведения дискуссий нередко приводило к изобретению хитроумных "доказательств" неверных утверждений. Такие "доказательства" называются софизмами, поскольку их часто использовали софисты - учителя философии и красноречия в Древней Элладе." С офистами в древней Греции называли философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников «мыслить, говорить и делать». Будучи в большинстве случаев глубоко образованными людьми, они не столько передавали ученикам знания из различных областей науки, сколько стремились научить их владеть искусством словесных состязаний. Чтобы выйти победителем в словесном поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен и наблюдателен , и поэтому не в состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного поединка противник должен был согласиться с доводами софиста и признать себя побежденным, хотя истина, казалось, была на его стороне. 3. Классификация софизмов 3.1 Алгебраические софизмы Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Зада чи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. Примеры софизмов 1. «Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его». Возьмем два произвольных положительных равных числа a и b и напишем для них следующие очевидные неравенства: a > - b и b > - b . (1) Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство a · b > b · b , а после его деления на b , что вполне законно, ведь b >0 , придем к выводу, что a > b . (2) Записав же два других столь же бесспорных неравенства b > - a и a > - a , (3) Аналогично предыдущему получим, что b · a > a · a , а разделив на a >0 , придем к неравенству b > a . (4) Итак, число a , равное числу b , одновременно и больше, и меньше его. Где ошибка? Ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2), и от равенства (3) к (4). Т.к. число b положительное по условию, то – b отрицательное, следовательно , при перемножении почленно знак нужно изменить на противоположный, аналогично для a . 2. « Если “ a ” больше “ b ” , то “ a ” всегда больше, чем “ 2 b ” » Возьмем два произвольных положительных числа a и b , такие, что a > b . Умножив это неравенство на b , получим новое неравенство ab > b · b , а отняв от обеих его частей a · a , получим неравенство ab - a · a > b · b - a · a , которое равносильно следующему: a ( b - a ) > ( b + a )( b - a ) . (1) После деления о беих частей неравенства (1) на b - a получим, что a > b + a (2), А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство a > b , имеем 2 a >2 b + a , откуда a > 2 b . Итак , если a > b , то a > 2 b . Где ошибка? Ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2). Т.к. a > b , то b - a <0, следовательно, при делении неравенства (1) на b – a , мы должны поменять знак неравенства на противоположный. 3. «Отрицательное число больше положительного». Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения: и Они равны, так как каждое из них равно – (а/с). Можно составить пропорцию: = Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующ его. В нашем случае а>-с, следо вательно, должно быть – а>с, т.е. отрицательное число больше положительного. Где ошибка? Данное свойство пропорции мо жет оказаться неверным, если не которые члены пропорции отрицательны. 4. «Восемь равно шести» Р ешим систему двух уравнений: Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6 , откуда 8=6 Где же ошибка? Уравнение (2) можно записать как х+2у =8, так что исходная система за пишется в виде: В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3- и у=4- параллельны и не совпадают. Перед тем, Как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще. 5. «Единица равна двум» Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства 1-3=4-6 Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство 1-3 + =4-6 + в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т.е . 2 = 2 (1) Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство 1- = 2- (2) Откуда следует, что 1=2 Где ошибка? Неправильное извлечение корня из квадрата числа в переходе от равенства (1) к (2). 6. «Все числа равны» Возьмём два разных числа, такие что: a < b Тогда существует такое c > 0 , что: a + c = b Умножим обе части на ( a