Структура и качество оптического изображения

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра ЭТТ РЕФЕРАТ На тему: «Структура и качество оптического изображения» МИНСК, 2008 Основные характеристики структуры изображения Изображающие приборы могут давать изображение различного качества с точки зрения передачи структуры предмета. Структура и форма светового поля в пространстве изображений подобна структуре и форме предмета, однако оптическая система вносит в эту структуру свои изменения, оценка которых есть оценка качества изображения. Передача структуры предмета или изображения – это отображение оптической системой мелких деталей объекта. Для описания такого отображения необходимо математическое описание предмета и изображения в виде функций и . Эти функции описывают зависимость распределения интенсивности от пространственных координат. Представим предмет в виде совокупности бесконечного количества светящихся точек. Для того, чтобы считать, что изображение предмета – это совокупность изображений соответствующих точек предмета, оптическая система должна удовлетворять свойствам линейности и инвариантности к сдвигу. Свойство линейности Изображение суммы объектов равно сумме изображений каждого объекта: . (1) То есть, если предмет – это сумма точек , то изображение – сумма изображений этих точек . Изображающие оптические системы полностью линейны. Свойство инвариантности к сдвигу (условие изопланатизма) При смещении точки ее изображение только смещается на пропорциональную величину (рис.1): , (2) где V – обобщенное увеличение. Рисунок.1 - Условие изопланатизма. В отличие от условия линейности, условие изопланатизма в оптических системах соблюдается приблизительно, поскольку характер изображения при смещении изменяется. Изопланатизм, как правило, не соблюдается в пределах всего поля, обычно он соблюдается только при небольших смещениях. Изопланатическая зона – это зона, в пределах которой соблюдается условие изопланатизма. Чем больше размер изопланатической зоны, тем лучше изопланатизм. Если зона полностью перекрывает предмет, то система полностью изопланатична. Мы будем рассматривать структуру изображения в пределах одной изопланатической зоны. Функция рассеяния точки В идеальной оптической системе точка изображается в виде точки, а в реальной оптической системе точка изображается в виде пятна рассеяния (рис.2). Рисунок 2 - Изображение точки в пределах изопланатической зоны. Основной характеристикой, описывающей передачу структуры предмета оптической системой является функция рассеяния точки . Функция рассеяния точки (ФРТ, point spread function, PSF) – это функция, описывающая зависимость распределения освещенности от координат в плоскости изображения, если предмет – это светящаяся точка в центре изопланатической зоны. Зная функцию рассеяния точки, можно найти изображение любого предмета, если разложить его на точки и найти ФРТ от каждой точки. Если есть предмет , то каждая его точка изображается в виде функции , то есть ФРТ смещается в точку с координатами (рис.2), а изображение всего предмета будет представлять собой сумму этих изображений: . (3) Если увеличение V принять за единицу, то выражение (3) становится сверткой (конволюцией). Функция изображения есть свертка функции предмета с функцией рассеяния точки: (4) Гармонический периодический объект Предмет кроме разложения на отдельные точки можно разложить на другие элементарные части – периодические решетки. Периодическая решетка – это структура с белыми и черными полосами. Гармоническая периодическая решетка – это структура, интенсивность которой описывается гармонической функцией (рис.3). В электронике существует аналог гармонической решетки – периодический во времени сигнал на входе прибора. Рисунок 3 - Гармоническая периодическая решетка Гармоническая периодическая решетка описывается выражением: , (5) где a – вещественная амплитуда, b – сдвиг, T – период, – угол ориентации. Вместо периода можно использовать пространственную частоту , а вместо вещественной амплитуды и сдвига – комплексную амплитуду: , (6) Тогда интенсивность гармонической решетки в комплексной форме: , (7) Величину можно выразить как , тогда интенсивность гармонической решетки будет зависеть от двух координат ( x , y ): (8) где – частота в направлении x , – частота в направлении y . Любой объект, как было сказано выше, можно разложить на элементарные гармонические объекты, тогда изображение – это совокупность изображений элементарных объектов. Эти изображения для реальных оптических систем всегда имеют искажения, что связано с законом сохранения энергии. Идеальные оптические системы нарушают закон сохранения энергии, так как они для сохранения неизменной структуры предмета должны передавать бесконечно большую энергию. Изображение гармонического объекта можно описать, если в выражение (9.3) подставить в качестве распределения интенсивности на предмете функцию (8): . (9) Если выразить координаты предмета и изображения в едином масштабе, то V =1, следовательно: . После замены переменных получим: или, после переобозначения : . (10) Двойной интеграл в выражении (9.10) – это некоторая функция , зависящая от пространственных частот. Обозначим , и запишем распределение интенсивности на изображении гармонического объекта в следующем виде: . (11) Как показывают соотношения (8) и (11), изображение от предмета отличается только комплексной амплитудой, то есть изображение гармонической решетки любой оптической системы есть гармоническая решетка с той же частотой. Поэтому гармоническую решетку удобно использовать для исследования и оценки передачи структуры изображения. Изменение комплексной амплитуды гармонической решетки – это и есть действие оптической системы. Оптическая передаточная функция (ОПФ) Оптическая передаточная функция (optical transfer function, OTF) характеризует передачу структуры предмета оптической системой как функция пространственных частот: . (12) ОПФ связана с ФРТ интегральным преобразованием – преобразованием Фурье: (13) или или , где F – обозначение Фурье преобразования: . (14) ФРТ показывает, как оптическая система изображает точку, а ОПФ показывает, как оптическая система изображает гармоническую решетку, то есть как меняется комплексная амплитуда решетки в зависимости от частоты. Оптическая передаточная функция – это комплексная функция: . (15) Модуль ОПФ называется модуляционной передаточной функцией (МПФ) или частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ). Аргумент (фаза) ОПФ называется фазовой передаточной функцией (ФПФ) или частотно-фазовой характеристикой (ЧФК). Частотно-контрастная характеристика показывает передачу вещественной амплитуды гармонического объекта: , (16) где a – амплитуда на предмете, a – амплитуда на изображении. Амплитуда изображения гармонического объекта тесно связана с контрастом. Контраст для периодических (гармонических) изображений (рис.9.4) определяется выражением: . (17) Рисунок 4 - Контраст гармонического объекта. . Абсолютный контраст получается, когда (рис.5.а). Контраст в изображении нулевой , когда – изображение практически отсутствует (рис.5.б). Рисунок 5 - Абсолютный и нулевой контраст гармонического объекта Чем больше контраст, тем лучше различаются мелкие детали изображения. Изображение нельзя зарегистрировать или увидеть в случае, если: , (18) где – порог контраста, зависящий от приемника изображения (например, для глаза ). Контраст для изображения гармонического объекта может быть выражен через постоянную a 0 и a переменную составляющие изображения гармонического объекта (рис.6): . (19) Рисунок 6 - Постоянная и переменная составляющие изображения гармонического объекта Если , то ЧКХ, как следует из выражения (16) будет определяться следующим соотношением: , (20) где k – контраст изображения, k – контраст предмета. Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость контраста изображения гармонической решетки от частоты решетки, если считать, что на предмете контраст единичный (рис.7). Для идеальной оптической системы ЧКХ – прямая, параллельная оси. Рисунок 7 - Частотно-контрастная характеристика. Для ближнего типа предмета или изображения пространственная частота измеряется в [лин/мм]. Для дальнего типа пространственная частота измеряется в [лин/рад]. Итак, передача структуры изображения описывается ФРТ или ОПФ, которые связаны через взаимно однозначные преобразования Фурье. Наглядно отобразить двумерную функцию ОПФ можно в виде: - графиков сечений или , - изометрического изображения “поверхности” , - карты уровней . Схема формирования оптического изображения Существует два фактора, которые влияют на структуру и качество изображения в оптической системе: дифракция и аберрации. Эти факторы действуют совместно. Если аберрации малы и преобладает дифракция, то такие системы называются дифракционно-ограниченными . Если аберрации велики, и дифракция теряется на фоне аберраций, то такие системы называются геометрически-ограниченными (формирование изображения вполне корректно описывается с позиций геометрической оптики, без привлечения теории дифракции). Рисунок 8 - Схема формирования оптического изображения. Рассмотрим формирование изображения некоторой точки (рис.8). Гомоцентрический пучок лучей выходит из точки A 0 , и после идеальной оптической системы сходится в точке A 0 . Наряду с пучками лучей можно также рассматривать сферические волновые фронты S w и S w . Действие реальной оптической системы сводится к следующим факторам: - преобразование расходящегося пучка лучей (волнового фронта) в сходящийся, - ограничение размеров проходящего пучка лучей или волнового фронта, - ослабление интенсивности (энергии) проходящего поля, - нарушение гомоцентричности пучка или сферичности волнового фронта, то есть изменение фазы проходящего поля. Рассмотрим поле на выходной сфере (в области выходного зрачка). Волновой фронт близок к выходной сфере, но отличается от нее на величину волновой аберрации. Поле на волновом фронте . Оптический путь из центра предмета до волнового фронта для всех лучей одинаковый, так как волновой фронт – поверхность равного эйконала. Поскольку для формирования изображения важна разность фаз между выходной сферой и волновым фронтом, а не сама фаза, то можно принять, что фаза волнового фронта равна нулю =0. При отсутствии аберраций амплитуда поля единичная, следовательно поле на волновом фронте . Набег фазы от выходной сферы до волнового фронта: , (21) где – расстояние между волновым фронтом и выходной сферы вдоль луча. Поле на выходной сфере математически можно представить в виде: , (22) где – волновая аберрация, – зрачковая функция. В выражении (22) учитывается одновременно ограничение пучков и наличие аберраций. Зрачковая функция (pupil function, PF) показывает влияние оптической системы на прохождение электромагнитного поля от точки предмета до выходного зрачка и в общем случае в канонических координатах описывается выражением: , (23) где – канонические зрачковые координаты, – функция пропускания по зрачку, – область зрачка в канонических координатах. Теперь нужно перейти от поля на выходном зрачке к полю на изображении. Вблизи изображения геометрическая оптика не применима, поэтому для описания поля на изображении следует использовать теорию дифракции. Рисунок 9 - Формирование комплексной амплитуды в плоскости изображения. Для вычисления комплексной амплитуды поля в плоскости изображения применим принцип Гюйгенса в форме интеграла Гюйгенса-Френеля. Рассматриваемая область находится вблизи центра выходной сферы (рис. 9): . (23) Используя зрачковую функцию, выражение (9.23) можно записать в виде: . (24) Поскольку и, то множитель можно представить в виде . Множитель , следовательно его можно вынести за интеграл, и не учитывать, так как нас интересует только относительное распределение комплексной амплитуды. Тогда выражение (24) преобразуется так: (25) можно выразить через и (рис. 10). Рисунок 10 - Связь с радиусом выходной сферы и расстоянием от выходной сферы до точки Отрезок , причем – для крайнего луча, а для остальных лучей: , . Теперь интеграл (25) можно записать так: . (26) Введем канонические (приведенные) координаты на предмете и изображении: . (27) Тогда в канонических координатах получим: . (28) Так как зрачковая функция вне зрачка равна нулю, интегрирование происходит внутри зрачка. Комплексная амплитуда в изображении точки в канонических координатах, как следует из выражения (28), связана со зрачковой функцией через обратное преобразование Фурье: . (29) Комплексная амплитуда поля в изображении точки есть обратное Фурье-преобразование от зрачковой функции в канонических координатах. Функция рассеяния точки – это распределение не амплитуды поля, а интенсивности, то есть квадрата модуля комплексной амплитуды . Тогда для ФРТ можно получить следующее выражение: . (30) Оптическую передаточную функцию также можно выразить в канонических координатах: , (31) где – канонические пространственные частоты : (32) Канонические частоты безразмерные: . В этих координатах получаем простую связь зрачковой функции с оптической передаточной функцией: . (33) Это выражение в соответствии со свойством преобразования Фурье можно представить через автокорреляцию зрачковой функции: , (34) где – площадь зрачка в канонических координатах. ЛИТЕРАТУРА 1. Бегунов Б.Н., Заказнов Н.П. и др. Теория оптических систем. – М.: Машиностроение, 2004 2. Дубовик А.С. Прикладная оптика. – М.: Недра, 2002 3. Нагибина И.М. и др. Прикладная физическая оптика. Учебное пос о бие.- М.: Высшая школа, 2002