Метод контурных токов, метод узловых потенциалов

Метод контурных токов Ранее рассматривались простейшие одноконтурные (двухконтурные) электрические цепи и схемы с двумя узлами. Были описаны способы преобразования схем, с помощью которых в ряде случаев удаётся упростить расчёт разветвлённой электрической цепи. В случае, когда электрическая схема достаточно сложна и не приводится к схеме одноконтурной цепи, пользуются более общими методами расчёта. Описанные ниже методы применимы для цепей постоянного и переменного тока. Метод контурных токов позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа - число уравнений (сост. по II закону Кирхгофа). Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не меняющими проводимость (они могут содержать источники тока), то число уравнений К , составляемых по методу контурных токов уменьшается на N T . Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви цепи может быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих в этой ветви. При пользовании методом сначала выбирают и обозначают независимые контурные токи (по любой ветви должен протекать хотя бы один выбранный ток). - число независимых контурных токов, их необходимо выбирать проходящими по ветви, не содержащими источников тока. Пусть электрическая цепь содержит n контуров (независимых). Согласно II закону Кирхгофа получаем следующую систему из n линейных уравнений: При этом следует считать , если условные положительные направления контурных токов в одной ветви контуров K и m совпадают, и , если они противоположны. где 1 2 n - дополнение - определитель системы. Расчёт установившегося режима в цепи переменного тока комплексным методом выполняется в следующей последовательности: 1. Составляется электрическая схема, на которой все источники и пассивные элементы представляются комплексными величинами соответственно напряжений, токов, сопротивлений (проводимостей). 2. Выбирается условно положительное направление для комплексных значений напряжений, ЭДС и токов. 3. Согласно уравнениям электрических цепей (Ома, Кирхгофа) в комплексной форме составляются алгебраические уравнения для рассчитываемой цепи. 4. Уравнения цепи разрешаются относительно искомых переменных (токов, напряжений) в их комплексной форме. Метод узловых потенциалов Метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа , где N y – число узлов электрической схемы. Сущность метода заключается в том, что сначала определяются потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, определяются с помощью законов Ома. При составлении уравнений по МУП сначала полагают равным нулю потенциал какого-либо узла, для оставшихся составляют уравнения по I -му закону Кирхгофа. Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не имеющими сопротивлений (они могут содержать источники напряжений), то число K I уравнений, составленных по МУП, уменьшается на N н (число ветвей с нулевыми сопротивлениями). - число уравнений по МУП. Прежде, чем перейти к изложению самого метода, напомним, что в случае, когда между двумя узлами имеются несколько параллельных ветвей с источниками ЭДС (или без них), их можно привести к одной эквивалентной схеме. Это представление эквивалентной схемой параллельных ветвей с источниками ЭДС даёт нам право без ограничения общности считать, что между любой парой узлов включена только одна ветвь. Дальше будем предполагать, что , т.е. между узлами цепи не включены идеальные источники ЭДС. В качестве примера составим уравнение по методу узловых напряжений для цепи, изображённой на рис. 3. Задано: и параметры всех элементов. Расчёт цепи производим комплексным методом: Для узлов 1, 2, 3 имеем уравнения: (1) Y 11 = Y 12 + Y 10 + Y 13 ; Y 22 = Y 20 + Y 12 + Y 23 ; Y 33 = Y 30 + Y 13 + Y 23 Решив систему из 3-х уравнений относительно узловых напряжений, находим напряжения на ветвях и токи в них. Метод узловых напряжений применим к независимым контурам. Положительное направление всех узловых напряжений принято считать к опорному узлу. Первое уравнение Кирхгофа для некоторого узла К можно записать: (1) Для 1-ого узла: Значения Z 1 ; Z 2 ; Z 3 ; E 1 и E 2 у нас были определены ранее (см. 1-ый способ решения). Ответ: Между узлами К и m имеется ветвь с источниками ЭДС ( E Km ) , сопротивлением Z Km , то ток в этой цепи (ветви), направленный от К к m связан соотношениями: Первый закон Кирхгофа для рис. 1 имеет вид (1). Напряжение можно выразить через узловые напряжения в виде: . Получаем: или Обозначив , где Y KK – сумма проводимостей всех ветвей, присоединённых к К -ому узлу, имеем: - что и является основным уравнением для К -ого узла по МУП. В развёрнутой форме совокупность уравнений по МУП имеет вид: Решая эту систему, найдём узловые напряжения, причём для К -ого узла величина будет: , где - главный определитель системы, mK – его алгебраическое дополнение. После того, как узловые напряжения найдены, определения токов в ветвях цепи имеют вид: Если в ветви содержатся ЭДС, то ток равен Метод узловых напряжений применяется к независимым узлам. Если к К -ому узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в ток I KK со знаком «+», если утекает, то со знаком «-». Если между какими-либо двумя узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна 0. Y ii – собственная проводимость всех ветвей, подходящих к узлу i (всегда со знаком «+»). Y i к – взаимная проводимость между узлами i и к (входит в уравнение всегда со знаком «-» при выбранном направлении всех узловых напряжений к базисному узлу). Ток I 1 называется узловым током 1-ого узла. Это расчётная величина, равная алгебраической сумме токов, полученных от деления ЭДС ветвей, подходящих к 1-ому узлу, на сопротивления данных ветвей. В эту сумму со знаком «+» входят токи тех ветвей, ЭДС которых направлена к 1-ому узлу. Y 11 – проводимость всех ветвей, сходящихся в 1-ом узле. Y 12 – проводимость взаимная – равняется сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих узел 1 с узлом 2 (берётся со знаком «-»). Пример: Е 2 =Е 3 = 1 В I K 3 = 1 A I K2 = 1 A R 1 = 13 Ом R 2 = 5 Ом R 3 = 9 Ом R 4 = 7 Ом R 5 = 1 Ом R 6 = 4 Ом Определить токи в ветвях. Для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы необходимо ввести в левую часть уравнений искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого.