Проблема подготовки к экзаменам

Проблема подго товки к экзаменам I. Введение С да нной проблемой с талкивался каждый студент . Проблема заключается в раци о нальном распределении вре мени на подготовку к экзаменам , с учетом сложности , важности предметов , сдаваемых на экзамене . Существует несколько рекомендуемых ме тодик подг о товки к экзаменам , но лишь некото рые из них математически обоснованы . Данная р абота предоставляет метод определения оптимально го графика подготовки к экзаменам с учето м наиболее важных факторов . Общий подход д анной работы предполагает , что залог успешной сдачи экзамена на требуемую оценк у - изучение литературы по предмету экзаме на в должном объеме . Поэтому результаты и рекомендации , полученные при использовании п риведенного здесь метода , могут противоречить позициям других методик подготовки к экзамен ам. II. Математическая модель задачи. Общие положения. Данная модель использует понят ие "время ", которое по смыслу практически э квив а лентно понятию , используемому в повседневной жизни . Выбор како-то конкретной единицы времени в данной модели ограничен лишь соображениям точности. Данная моде ль , как уже было ск азано , учитывает лишь степень овладевания мат ериалом данного экзамена . При этом полагается , что длительность подготовки является основн ым фактором , влияющим на степень овладевания материалом данного экзамена . Также данная модель предпол а гает , что все пр едметы понимаются человеком с разной успешнос тью . Кроме этого предположения вводится предп оложение о том , что материал каждого предм ета зап о мин ается человеком по разному . Данная модель построена на ценности того или иного с о бытия . С помощью различных методов суммарное знач ение ценностей максимизируется . Следует также отметить , что большинство параметров , учитываемое при подсчете ценностей , субъективно. Пусть N - количество экзаменов , которое пред стоит сдать . В дальнейшем для ссылки на какую- либо характеристику определенного экз амена будет применяться индекс i, i=1..N. Пусть также объективно задано время , к огда можно начинать готовиться к i-ому экз а мену tiн , а также время , до которого можно готовить ся - tiк . В большинстве практических ситуаций оно будет эквивалентно времени начала сдачи самого экзамена . Время начала по д готовки к сессии - t0 - может быть определено как миним альное из времен tiн. t0= min ( tiн ) , i=1..N Естественным ог раничением на времена tiн и tiк является tiк - tiн > 0. За кон е ц сессии примем максимальное значение tiк te=max tiк. За длительность сессии l примем величину l=te -t0. Также для к аждого экзамена должны быть заданы следующие величины : Ei - коэфф и циент успешности сдачи экзамена , М i - коэффициент запоминаемости материал а экза мена , I i - коэффиц иент значимости получения желаемой оценки на данном экзамене , Q0i - объем зн а ний , необходимый для п олучения желаемой оценки без учета случайност ей , Ui - коэффициент понимания человеком данного предмета . Все эти коэффициенты - субъек тивн ые , а поэтому и индивидуальны для каждого человека . Данные величины в общем случаи различны для каждого экзамена . Входным па раметром также является величина ценности сво бодного вр е мени L0. Далее будут подробнее рассмотрены данные коэффициенты и методы их определения. Ei - коэффициент успешности сдачи экзамена. Е i>=0. Данный к оэффициент определят , насколько легко можно с дать экзамен при о т носительно низкой подготовке . Ei=0 соотв етствует типу экзамена , когда он оценивается строго , без натяга оценки , побла жек - то есть при полностью субъективной оценке экзам е нато ра . На значение данного коэффициента влияют возможность списывания у соседа , и с пользования шпаргал ок , подсказки или натяжки оценки со сторон ы преподавателя , а также некоторые другие факторы. М i - ко э ффициент запоминаемости материала экзамена. Коэффициент зап оминаемости материала экзамена тесно связан с Ui - коэффициентом понимания человеком данного предмета . На их значения галагаются следующие ограничения : 0<=Mi<=1. Ui>= 0. Использование э тих моделей связано с введением дополни тельной модели усваивания материала человеком . Модель , специально разработанная для данной работы , базируется на понятии объем знаний. Предполагается , что каждый предмет усваив ается человеком со свойственной ему э ф фективностью . Эффективность понимания материала - величина относительная . С течением времени происходит процесс забывания материала . Рассуждая таким образом , можно пр и ближенно представить процесс получения знаний формулой Q = U (1 - Mt ), (1) где Q - объем знаний, U - коэффициент понимания, M - коэффициент забывания материала - в еди ницу времени. t - время , оставшееся до теста по усво енным знаниям. Данная формула приближенно описывает проц есс приобретения знаний человеком . При U=0 (челов ек вообще не понимает данный мате риал ) - объем знаний равен 0. При больших значени ях M человек спустя некоторое время забудет всю полученную информацию (пора идти к врачу ). При М =0 человек ничего не забывает . При t-> 0 объем знаний будет макс и мальным (человек забыть ничего не успевает ). Е сли челов ек использует время не только для учебы , то коэффициент понимания U следует уменьшить во столько раз , в каком отношении челов ек занимается учебой относительно всего време ни (полагается , что он отвлекается от подг отовки с одинаковой интенсивность ю в течении всего времени освоения материала ). Общий объем знаний , полученный человеком з а время с t1 по t2 будет выражаться интеграло м (2) Коэффициенты Ui и Mi имею т тот же смысл , что и U и M в формуле (1). Далее продолжается рассмотрение других вх одных параметров. Ii - коэффициент значимости получения желаемой оценки на да нном экзамене Данный коэффици ент - субъективная относительная величина , определя ющая , во скольк о раз больше студент заинтересован в получении желаемой оценки на данном экзамене к желанию получить жел аемую оценку на наименее важном экзамене . Данный коэффициент >= 1. Соответственно , данная коэффи циент для наименее важного экзамена =1. Также наряду с I i - коэффициент значи мости получения желаемой оценки на данном экзамене , будет использоваться величина Ii' - приве денный коэффициент значимости пол у чения желаемой оценки на данном экзамене . Он выражется как Ii'= Ii/(1+Ei). Его использован ие будет пояснено в дальнейшем. Q0i - объем знан ий , необходимый для получения желаемой оценки без учета сл у чайностей. Данная величина определят объем знаний , требуемый для сда чи экзамена на желаемую оценку . Определение данной величины связано со своего рода трудностями . Дл я простоты определим объем знаний Q0 как количество времени , требуемое для овладеваемое данным материалом при отс утствии забывания умноженное на объем знаний , полученный за единицу времени при M=0. Числ енно это будет произведением времени на U. Если студе н ту прих о дилось сдавать экзамен по данному предмету и по тому же ма териалу на желаемую оценку , то Q0i можно посч итать как интеграл за все время подготовк и к данному экзамену при условии полной объективности поставленной оценки отсутствии с лучайностей и совп адений. L0 - ценность с вободного времени. Данная величина указывает ценность свободного времени , не занятого подготовкой ни к одному экзамену . Величина может также трактоваться как не желание учиться . Данная вел и чина имеет размерность привед енного коэффицие нта значимости получения желаемой оценки и должна задаваться как о тношение субъективной ценности 1 единицы свободног о от подготовки к экзамену времени к значимости получения желаемой оценки на самом легком экзамене (Ii=1) при легкости данного э кзамена = 1 (Ei=1). Общие зависимо сти. Общий эффект от подготовки к экзамену i (ценность ) может быть выражен с использ о ванием вышеописанных обозначений как Ci = Qi*Ii/(Qi0*(1+Ei))=Qi*Ii'/Qi0 (3) где Qi - суммарный объем знаний , полученный студентом за вре мя под готовки. Qi можно найти по формуле Qi= (4) где Gi - количество интервалов времени , в течении которых сту дент готовится к экз а мену i, ti0j - время начала j-го интерва ла по дготовки студента к экзамену i ti1j - время окончания j-го интервала подгото вки студента к экзамену i Суммарная эффект С от всех экзаменов выражается суммой всех Ci. Суммарная ценность свободного времени в течении сессии будет выражаться как L=L0* где F - количество интервалов свободного времени ts - длина интервала свободного времени s. Наконец , суммарная ценность P, полученная ст удентом во время сессии выраж ается ка к P=C+L (5) Данное значение требуется максимизировать . Дополнительным услови ем по временам будет условие #SUM s=1,F ts + #SUM i=1,N #SUM j=1,Gi ti1j-ti0j = l (6) (6) Также никакие интервалы не должны пересекаться (7) На языке ди намического программирования данная задача заклю чается в максимизации функции (5) при ограничен иях (6) и (7). III. Алгоритм реш ения задачи. Общие зависимости. Ограничение (7) д елает задачу трудно решаемой в непрерывных величинах . Здесь же будет дан алгоритм приближенного решения методом назначений . Для использования этого метода следует перейти от понятия непрерывного времени к понятию дискретного . Введем величину дискретности в реме ни . Разобьем интервал сессии длиной l на h ча стей . Длина каждого интервала будет равна dt=l/h. Далее заменим времена tiн и tik на соответс твующие им tiн ' и tiк ', при этом для вы числения будем использовать формулу : tiн '=(tiн -t0)/dt tiк '=(tiк -t0)/dt Пол ученное рациональное число будем округлять внутрь интервала : tiн ' в большую сторону , tiк ' в меньшую . Далее в задачу о назначениях в ведем h кандидатов и W+h работ - количество работ будем рассчитывать по формуле Каждому i-ому экзамену будет соответствовать (tiк '-tiн ') работ . Работы с индексом от W до W+h соответствуют отдыху (отсутствию учебы ) в данный интерв ал времени. Заполнение мат рицы стоимостей задачи назначений. Для работ , соответствующих отд ыху : с xy, y>W cxy=L0*dt с xy: y-> i.(в соответствии с номером работы y находим номер i соответствующего ей экзамена. x < (tiн -t0): cxy=0 (tiн -t0) <= x <= (tiк -t0): cxy= Qix*Ii'/Qi0, Qix=U*dt*(1 - M(tiк ' - x) x > (tiк -t0): cx y=0 В большинстве случаев количество работ не будет равно количеству кандидатов . Если используемое программное обеспечение в явном виде не позволяет решать несбалансир о ванные задачи о назначениях , то нужно добавить фальшивых кандидатов или работы. Далее на ходим максимум задачи о назначениях . Если используемое программное обе с печение в явном виде не позволяет находить максиму м , то инвертируем знаки элементов матрицы и подвергаем полученную матрицу минимизации. Интерпретация полученного ответа. График подго товки к эк заменам на основе полученного результата стро ится следующим образом : Для каждого x-ого кандидата (x=1..h) Определяем индекс y работы , на которую назначен данный кандидат x. интервал времени (t0;t0+dt*x) должен быть посвящен * Если y>W, то отдыху. * Если нет , то по и ндексу y определяем индекс i экзамена , который с оответствует y-ой работе . Данный интервал долже н быть посвящен подготовке к экзамену i. Замечания Для обеспечения более высокой точности требуется уменьшить дискретность единицы вр емени. Данная модель не пригодна для экзамен ов , подготовка к которым не заключается в изучении литературы и практических занятиях , к примеру , по физкультуре . При наличии э к заменов данного типа в сессии их просто не надо включать в список. Данная мо дель не учитывает время , необходимое человеку для перенастройки с одного теоретического материала на другой . В принципе данная особенность не должна с казываться на результатах , так как дискретнос ть времени при решении методом назначений вносит г о раздо боль шую погрешность. Данная модель предполагает , что все ис точники информации доступны обучающем у ся , т.е . у нег о есть вся необходимая литература . Данная модель не учитывает всевозможные психологические состояния человека , а также влияния эмоций от сда нных экзаменов.