Движение в центральном симметричном поле

Немного теории. Цент ральн ым называют такое силовое по ле , в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до опре деленной точки - центра поля : U = U ( r ). Сила , действ ующая на частицу в таком поле , тоже за висит лишь от расстояния r и направлена в кажд ой точке пространства вдоль радиуса , проведен ного в эту точку из центра поля. Хотя частица , движущаяся в таком поле , и не представ ляет собой замкнутую систе му , тем не менее для нее выпол няется закон сохранения момента и мпульса , если опреде лять момент по отношению к центру поля . Действительно , поскольку направление дейс твующей на частицу силы про ходит через ц ентр поля , то равно нулю плечо силы от носи тельно этой точки , а потому равен нул ю и момент силы . Согласно уравне н ию отсюда следует , что L = const . (где L – вектор момента импульса , а K момент силы K = [ rF ]. Уравнение получается из уравнения L = [ rp ]. Определим произв одную по времени от момента импуль са час тицы . Согласно правилу дифференцирования произ вед ения имеем Так как - есть скорость v частицы , а p = m v , то первый член есть m [ vv ] и равен нулю , поскольк у равно нулю век торное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная - есть , как мы знаем , действую щая на частицу сила F . Таким образом , .) Поскольку момен т L = m [ rv ] перпендикулярен направ лению радиуса-вектора r , то из постоянства направления L следует , что при движении частицы ее радиус- вектор дол жен оставаться все время в одной пл оскости - пл оскости , перпендикулярной направлению L . Таким об разом , в цент ральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам , лежащим в плоскостях , проходящих через цент р поля. Данное уравнение можно записать в вид е : г де d s - вектор перемещения материальной точки за время dt . Величина векторного про и з в еде шь двух векторов гео мет рически представляет собой лощадь построенного н а них параллелограмма . Площадь же парал лелограмма , построенного на векторах d s и r , е сть удвоен ная площадь бесконечно узкого сект ора OAA ’ , описанного рад иусо м-вектором дв и жуще йся точки за вре мя dt . Обозначив эту площадь через dS , мож но записать велич и ну момента в виде Величина назы вает ся секториальной ско ростью. Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому , что к ней свод и тся задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом матери альных точек - так назыв аемая задача двух тел. Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обе их частиц . В этой системе отсчета су ммарный импульс час тиц равен нулю : m 1 v 1 + m 2 v 2 =0, где v 1 , v 2 - скорости част и ц . Введем также относ и тельную скорость частиц v = v 1 - v 2 . Из этих двух равенств получаются следующие формулы формул ы в ы ражающие скорости каждой из части ц через их относи т е ль ную скор о сть. Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим где U ( r ) - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r . После п рост ого приведения членов получим , где m обозначает ве ли чину называемую приве денной массой частиц. Мы видим , чт о энергия относительного движения двух частиц такая же , как если бы одна частица с массой m дви галась со скоростью в центральном внешнем поле с поте нциальной энергией U ( r ) . Други ми словами , задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении од ной “пр иведенной” частицы во внешнем поле. Постановка задачи . Рассмотрим энергию материальной точки в центральном поле сил. , представим (скорость ) в полярных координата х Рассмотрим треугольник ABD : ds ~ A B , с ледовательно , откуда получаем Выразим (*) Осталось выразить характер траектории (**) Подставим выражение (*) в (**) Проинтегрируем Эта формула представляет собой траекторию движения частицы в центральном симметричном поле. Рассмотрим уравнение движения для случая кулоновского поля. , где Попробуем найти этот интеграл предварител ьно сделав замену Сделаем замену , тогда Далее применим формулу В итоге получаем , где ; Это уравнение конического сечения с фокусом в центре поля. При e >1 – гипербола ; e =1 – парабола ; 0< e <1 – эллипс ; e =0 – окружность ; Литература : 1. Л . Д . Ландау , А . И . Ахиезер , Е . М . Лифшиц “Курс общей физики . Механика и молекулярная физика” Москва 1965 г. 2. Конспект по механике за первый три местр . Лектор Гурачевский В . Л.