* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Введение 3
Глава I Основные положения математической физики и теории дифференц и альных уравнений 4
1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия 4
1.2 Метод разделе ния переменных или метод Фурье 6
1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 8
Глава II Нахождение функций, описывающих собственные колебания мембран 11
2.1 Основные определения 1 1
2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны 1 2
2.3 Собственн ые колебания круглой мембраны 1 9
Заключение 28
Библиографический список 29
Приложение 30
Введение
М атематическа я физика ставит своей задачей возможно более точное изучение явлений природы. С этой целью она использует аппарат математ и ки. Объектом изучения математической физики могут служить только те я в ления природы, которые поддаются измерению. Например, механическое движение, звук, теплота, свет и т. д.
Цели работы:
1. Изучить математическую литературу по данной теме.
2. Освоить основные методы решения задач математической ф и зики и применить их к решению задач .
Задачи работы:
1. Решить двумерное уравнение колебаний мембраны при допо л нительных условиях для прямоугольной и круглой мембраны.
2. Сравнить полученные результаты для обоих случаев с анал о гичными задачами, решенными для других дополнительных условий.
Методы работы:
· Изучение специальной литературы;
· Решение задач.
Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений
Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением ра з личных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидр о динамике, теории упругости, электродинамике и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики .
Дифференциальным уравнением с частными производными называется равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких переменных, независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным. Решением уравнения с частными производными называется функция, обращающая это уравнение в тождество [ 4 ] .
1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия
При математическом описании физического процесса нужно, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформировать условия, достаточные для одн о значного определения процесса. Дифференциальные уравнения с частными производными имеют, вообще говоря, бес конечное множество решений. П о этому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с час т ными производными, для однозначной характеристики процесса необхо димо задать некоторые дополнительные условия.
В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка частное решение определ яется начальными условиями, например, заданием значений функции и е е первой производной при «начальном» значении а р гумента. Для уравнения с частными производными возмо жны различные формы дополнительных условий.
Рассмотрим их для задачи о поперечных колебаниях струны (под стр у ной понимаем тонкую упругую нить). Каждую то ч ку струны длины l можно охарактеризовать значением ее абсциссы x . Для определения положения струны в момент времени t достаточно задать ко м поненты вектора смещения точки x в момент t . Тогда будет задавать отклонение стру ны от оси абсцисс.
Если концы струны закреплены , то должны выполняться гр а ничные условия
, .
Так как процесс колебания струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:
,
.
Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальных условий , где и – заданные функции точки.
Если концы струны движутся по заданному закону, то граничные усл о вия (1 .1.1 ) принимают другой вид:
, ,
где и - заданные функции времени t .
Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией.
В точке подвеса x =0 отклонение
;
на свободном конце x = l натяжение пружины
равно нулю (нет внешних сил), так что математическая формулировка усл о вия свободного конца имеет вид
.
Если конец x =0 движется по определенному закону , а при x = l зад а на сила , то
.
Типичным является также условие упругого закрепления, скажем для x = l
или ,
при котором конец x = l может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся к о нец в прежнее положение.
Если точка (система), относительно которой имеет место упругое з а крепление, перемещается , и ее отклонение от начального положения задается функцией , то граничное условие принимает вид
.
Условие упругого закрепления при x =0 имеет вид
.
Таким образом, имеют место три о сновных типа граничных условий, н апример , при x =0 :
§ граничные условия 1-го рода - заданный режим,
§ граничное условие 2-го рода - заданная сила,
§ граничное условие 3-го рода - упругое з а крепление.
Аналогично задаются граничные условия и на втором конце x = l . Если функция, задаваемая в правой части ( или ), равны нулю, то гр а ничные условия называются однородными [8 ] .
1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье
Одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными является метод разделения переменных или метод Фурье .
Пусть требуется найти функцию , удовлетворяющую для t >0 ура в нению
в области D и дополнительным начальным и граничным условиям , где дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка .
Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно независимых час т ных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих граничному условию) удовлетворить и начальным условиям. Для этого будем искать нетривиал ь ные частные решения уравнения (1.2.1) , удовлетворяющие граничным усл о виям , в классе функций вида ( где непрерывны в , н е прерывны в ). Подставляя функцию в уравнение (1.2.1) и деля обе части уравнения на , получаем
.
Чтобы это равенство было тождественно (т.е. чтобы функция уд о влетворяла уравнению (1.2.1) при всех ) необходимо и достаточно, чтобы обе дроби были равны одной и той же константе
.
Таким образом, должны выполняться тождественно
,
,
причем функция должна удовлетворять граничным условиям . Соотве т ствующая краевая задача для уравнения (1.2.3) имеет нетривиальные реш е ния не при всех значениях . Те значения , при которых она будет иметь нетривиальные решения, называются собственными значениями краевой з а дачи, а соответствующие им решения уравнения (1.2.3) – собственн ы ми функциями краевой задачи.
Суть метода Фурье :
1) ищем решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее только гр а ничным условиям , среди функций вида . Для функции получаем краевую задачу;
2) решаем краевую задачу для функции . Пусть суть собственные функции этой задачи, а - отвечающие им собственные значения;
3) для каждого собственного значения находим решение уравн е ния (1.2.3);
4) таким образом, частным решением уравнения (1.2.1), удовлетв о ряющим только граничному условию, являются функции вида ;
5) возьмем сумму таких частных решений по всем собственным функциям . Данная функция будет являться общим решением рассматриваемой задачи. Причем коэффициенты выбираются таким образом, чтобы эти суммы были решениями начальной задачи [2] .
1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Уравнение
является однородным линейным уравнением второго порядка с коэффицие н том при старшей производной равным единице , а . Рассмотрим р еш е ние уравнения (1.3.1) , оно может быть сведено к алгебраическим операциям и получено в элементарных функциях .
В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения , образующих фундаментальную систему решений.
Покажем, что выражение
,
где – действительное число , будет удовлетворя ть нашему уравнению.
Продифференцируем по x выражение (1.3.2):
.
Подставляем полученные выражения в (1.3.1):
.
Обозначим через - это есть характеристический мн о гочлен , соответствующий оператору L . Тогда (1.3.3) запишется в виде .
Характеристический многочлен получается из оператора L [ y ] , если пр о изводные различных порядков в этом уравнении заменить равными степен я ми величины : на .
Если (1.3.2) есть решение (1.3.1), то выражение (1.3.3) равно тожд е ственно нулю, но , следовательно
.
Уравнение (1.3.4) – есть алгебраическое уравнение с неизвестным , оно называется характеристическим уравнением . Если мы в качестве постоянной в выражение возьмем корень характеристического уравнения (1.3.4), то , т.е. будет решением дифференциального ура в нения (1.3.1).
Уравнение (1.3.4) – уравнение 2 -ой степени, следовательно, имеет 2 ко р н я . Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному р е шению дифференциального уравнения (1.3.1).
Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет
,
где - произвольные постоянные, а - решения характеристического уравнения (1.3.4) [6] .
Если корни характеристического уравнения комплексные, , то они будут сопряженными, т.к. коэффициенты уравн е ния действительные числа. В таком случае, общим решением уравнения (1.3.5) будет
.
Если корни характеристического уравнения чисто мнимые, т.е. . Общим решением уравнения (1.3. 1 ) будет
.
Если предположить, что характеристическое уравнение имеет равные корни , то одн о частн ое решение будет иметь вид
.
Второе частное решение будет
.
Тогда общее решение уравнения (1.3.1) можно представить в виде
.
Глава II Нахождение функции, описывающе й собственные колебания мембраны
2.1 Основные определения
В этой главе использованы следующие обозначения
· - част н ая производная функции по ;
· - производная функция одной переменной.
М ембраной называется плоская пл астинка , не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мы будем рассматривать поперечные колебания мембраны , в кот о рых смещение перпендикулярно к плоскости мембраны. Отклонение точек мембраны от плоскости xOy будем обозначать через функцию , к о торая зависит от координат точки ( x , y ) и от времени t . Вывод дифференц и альных уравнений задач математической физики сопровождается целым р я дом допущений как механических, так и геометрических. Так при выводе уравнения колебания прямоугольной мембраны мы пренебрегли квадратом частных производных
.
В результате получается следующее уравнение колебаний прямоугол ь ной мембраны
.
В случае рассмотрения мембраны круглой формы полезно перейти к поля р ным координатам. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса с центром в начале координат. Введем полярные координаты , . Уравнение границы круга будет при этом . Отклонение точек мембраны является теперь функцией полярных координат и и времени t :
.
Выражение для оператора в полярных координатах имеет вид
,
Тогда уравнение колебаний мембраны (2.1.1) перепишется в виде
.
В данной главе нам еще понадобится определение ортогональных фун к ций в следующем виде:
Система функций называе тся ортогональн ой на и н тервале , если интеграл от произведения любых двух ра зличных функций системы равен но лю : ( ). Это условие ортогональности отличается от обычного тем, что под интегралом с о держится множитель , в таких случаях говорят об ортогональности с весом [ 1 ] .
2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны
Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается уравнением
Пусть в плоскости ( x , y ) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b 1 и b 2 , закрепленная по краям. Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости.
Для нахождения функции , характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях
и граничных условиях
.
Краткое решение задачи (2.2.1) – (2.2.3) приведено в книге [ 8 ] , где был и получены следующие результаты.
Функция имеет вид
,
где - собственны е функции, соотв етствующие собственным значениям (полученным в результате применения метода Фурье) и определя ющиеся формулой
.
А коэффициенты и равны:
,
.
Найдем решение задачи при других граничных условиях.
Итак, для нахождения функции , характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны (2.2.1) при заданных начальных условиях
и граничных условиях
.
Будем искат ь решение методом Фурье. Пусть функция
и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение (2.2.1) и, поделив обе части уравнения на (при этом мы не теряем решений, т. к. ), получаем
.
Чтобы функция (2.2.6) была решением уравнения (2.2.1), равенство (2.2.7) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных , , . Правая часть равенства (2.2.7) является функцией только переменных ( x , y ) , а левая – только t . Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .
,
где - постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.
Из соотношения (2.2.8) получаем однородное дифференциальное уравнения второго порядка для функции :
,
а для функции следующую краевую задачу:
Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях. Снова применим метод разделения переменных. Пусть
и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение и, поделив обе части уравнения на , приведем его к виду
.
Правая часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y , а левая – только x . Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .
Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка:
1. 1.
2.
где и - постоянные разделения переменных, причем . При этом граничные условия для и вытекают из соответствующих условий для функции .
,
,
,
.
Получаем следующие одномерные задачи на собственные значения:
1. (2.2.11)
(2.2.12)
- линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Таким образом , общее решение данного уравнения зависит от параметра . Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра отрицателен, равен нулю, положителен.
1) При задача не имеет нетривиальных решений. Общее решение уравнения имеет вид
,
т. к. характеристическое уравнение имеет корни .
Учитывая граничные условия, получаем:
т.к. - действительно и положительно, то .
2) При нетривиальных решений тоже не существует.
3) При общее решение уравнения имеет вид
.
Учитывая граничные условия, получаем:
, т.к. мы ищем нетривиальные решения, , следовательно
Итак, только при значениях равных , существуют нетривиальные решения задачи (2.2.11) и имеют вид
.
Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице.
Аналогично получаем решение задачи (2.2.12):
Собственным значениям , таким образом, соответствуют собственные функции
,
где - некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций с в есом единица была равна единице
.
Вычислим отдельно интегралы в равенстве:
Тогда,
.
Число собственных функций, принадлежащих зависит от количества целочисленных решений n и m уравнения
.
Собственным значениям соответствуют решения уравнения :
,
где и - произвольные константы.
Возвращаясь к начальной задаче для уравнения с дополнительными условиями (2.2.4) – (2.2.5), получаем, что частные решения будут иметь вид
.
Тогда общее решение запишется в виде
,
где определяется формулой (2.2.13), а коэффициенты и равны:
,
.
В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных услов и ях. В результате были получены две разные функции. Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий.
2.3 Собственные колебания круглой мембраны
Сравним теперь результаты решения двух задач о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны, также при заданных различных грани ч ных условиях, одинаковых начальных условиях, но уже для круглой мембр а ны.
Уравнение колебаний круглой мембраны в полярных координатах имеет вид
.
Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях
и граничных условиях
.
Применим метод разделения переменных. Пусть
.
Подставляем полученное выражение для функции в уравнение (2.3.1) , получаем:
.
Так как нужно найти нетривиальное решение задачи, то , полученное равенство можно поделить на . Тогда
.
Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции
,
решением, которого будет функция (см. 2.2)
,
и следующую задачу на собственные значения для функции :
К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции . Пусть , подставляем в уравнение для функции .
Поделим данное равенство на :
Так как левая часть соотношения ( ) функция только переменной r , а правая ( ) - только переменной , то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно . П ри данном предположении получаем :
1) однор одное дифференциальн ое уравнение второго порядка для нахождения функции :
Нетривиальные периодические решения для существуют лишь при и имеют вид (см. 2.2):
.
2) уравнение для определения функции
Из граничных условий для функции получаем граничные условия для функции :
Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях.
Введем новую переменную
Подставляем выражение в уравнение для определения функции и получаем, что данное уравнение есть уравнение цилиндрической функции n -го порядка.
Решение предыдущей задачи сводится к решению цилиндрического уравнения (2.3.9) с дополнительными граничными условиями
,
общее решение, которого имеет вид
,
где - функция Бесселя первого рода, - функция Бесселя второго рода или фун кция Неймана ( смотри п риложение) .
Из условия следует , что , т. к. при .
Из условия имеем
, где .
Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней , т.е. уравнение (2.3.7) имеет бесчисленное множество собственных значений
,
которым соответствуют собственные функции
краевой задачи для нахождения функции . Всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (2.3.10).
Найдем норму собственных функций и получим условие ортогональности системы собственных функций с весом r :
Для этого рассмотрим функции
Они удовлетворяют уравнениям
причем , а не удовлетворяет этому граничному условию. Вычтем из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на и .
Переходя к пределу при , получаем неопределенность . Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя
,
получаем выражение для квадрата нормы:
т.к . , то
.
Итак, получаем:
1. Согласно (2.3.11) при , собственные функции , принадлежащие различным собственным значениям , ортогональны с весом r .
2. Норма этих функций определяется формулой (2.3.12) .
3. В силу общих свойств собственных краевых задач имеет место теорема разложимости:
Всякая непрерывная в интервале функция , имеющая кусочно-непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
,
причем коэффициенты разложения определяются формулой
.
Возвращаясь к задаче о собственных значениях для круглой мембраны, получим для собственного значения две собственные функции . Составим их линейную комбинацию
.
Докажем ортогональность и вычислим норму собственных функций . Посчитаем сначала для собственных функций .
Аналогичные условия имеют место для функции .
Тогда выражение для нормы функции можно записать в виде
Воспользуемся теоремой о разложимости:
всякая непрерывная функция с непрерывными первыми и вторыми производными, удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
по собственным функциям задачи о собственных значениях для круга.
Коэффициенты разложения вычисляются по следующим формулам
Вернемся к исходной задаче колебания мембраны при заданном начальном отклонении и начальной скорости, ее решение запишется в виде
Коэффициенты определяются из начальных условий
Аналогичные формулы имеют место для и, соответственно, для .
Решение подобной задачи о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны при тех же начальных условиях
и других граничных условиях
приведено в источнике [ 8 ] , где были получены следующие результаты.
Коэффициенты определяются из начальных условий
Аналогично для и, соответственно, для .
Следовательно, для круглой мембраны при различных граничных условиях получены также разные функции, описывающие ее прогиб.
Заключение
В данной квалификационной работе были рассмотрены основные пон я тия теории дифференциальных уравнений с частными производными, изучен один из наиболее распространенных методов решения подобных уравнений – метод Фурье, решены две краевые задачи для уравнения колебаний прям о угольной и круглой мембраны.
По результатам решения задач можно сделать следующий вывод:
· функция, описывающая прогиб мембраны напрямую зависит от своих граничных условий и от геометрической формы мембраны ;
· при изменении формы мембраны задача на нахождение функции, х а рактеризующей ее прогиб, значительно усложнилась. Возникла необход и мость в изучении цилиндрических функций и их свойств.
В данной работе некоторые утверждения были взяты без доказательства либо без вывода . Н апример, уравнение колебаний прямоугольной мембраны использовалось без вывода , т. к. его рассмотрение требует более глубоко го знани я законов физи ки. Р ешение цилиндрического уравнения было взято в готовой форме , т. к. не явля лось целью изучения этой работы.
Таким образом, можно сказать, что поставленные цели были достигн у ты.
Библиографический список
1. Араманович, И. Г. Уравнения математической физики [Текст] / И. Г. Араманович, В. И. Левин. – М.: Наука, 1969. – С. 114 – 144.
2. Арсенин , В . Я . Методы математической физики и специальные функции [Текст] / В . Я . Арсенин . – М.: Наука, 19 74 . – С. 165 – 170.
3. Архипов, Г. И. Лекции по математическому анализу: Учеб. для университетов и пед. вузов [Текст] / Г. И. Архипов, В. А. Садовничий; Под. ред. В. А. Садовничего. – М.: Высшая школа, 1999. – С. 695.
4. Вебстер, А. Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики, Ч. I [Текст] / А. Вебстер, Г. Сеге. – М.: Гос. технико-теоретическое издательство, 1933. – С. 189 – 200.
5. Двайт, Г . Б . Таблицы интегралов и другие математические формулы [Текст] / Г . Б . Двайт; Под ред. К. А. Семендяева . – М.: Наука, 19 66 . – С. 161 – 178.
6. Матвеев, Н. М. Дифференциальные уравнения: Учеб. пос. для студ. пед. ин-тов по физ.-мат. спец. [Текст] / Н. М. Матвеев. – М.: Просвещение, 1988. – С. 131 – 187.
7. Розет, Т. А. Элементы теории цилиндрических функций с приложениями к радиотехнике [Текст] / Т. А. Розет. – М.: «Советское радио», 1956. – С. 141 – 160.
8. Тихонов , А. Н . Уравнения математической физики [Текст] / А. Н . Тихонов , А . А . Самарский . – М.: Наука, 19 72 . – С. 23- 44, 82-88, 426 – 427.
9. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа, Ч. I [Текст] / Г. М. Фихтенгольц, - СПб.: «Лань», 2002. – С. 448.
10. Янке, Е . Специальные функции. Формулы, графики таблицы [Текст] / Е . Янке , Ф . Эмде, Ф. Леш . – М.: Наука, 19 77 . – С. 176 – 241.
Приложение
Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя
При решении многих задач математической физики приходят к обыкн о венному дифференциальному уравнению
называемому уравнением цилиндрических функций n -го порядка . Это уравн е ние часто называют также уравнением Бесселя n -го порядка .
Уравнение Бесселя -го порядка
или
где - произвольное действительное или комплексное число, действ и тельную часть которого можно считать неотрицательной.
Общее решение уравнения (2) может быть представлено в виде
,
где - функция Бесселя первого рода, - функция Бесселя второго рода - го порядка или фун кция Неймана, - произвольные постоя н ные.
Функция любого положительного и целого отрицательного поря д ков отличается от всех остальных бесселевых функций тем, что они остаются конечными при .
Для действительного порядка функции Бесселя и Неймана от действ и тельного аргумента будут действительными функциями , ; , при ( рис. 1 и рис. 2 ) .Функции и наиб о лее часто встречаются в приложениях и для них имеются подробные таблицы [ 5, 7, 10 ] .