Философские вопросы математики

Философские вопросы математики Введение Вопрос об отн ошении математики к реальному миру является одним из основны х для объяснения природы математики как н ауки . Только ответив на вопрос о происхожд ении и содержании математических понятий и теорий , можно ставить и разрабатывать остал ьные философские вопросы м а тематики . Толкование этих вопросов существенно зависи т от того , истолковываются ли математические понятия и утверждения как отражение свой ств объектов и процессов реального мира и ли же они трактуются как продукт совершен но "свободного " творчества субъекта ( субъективный идеализм ), либо относятся к миру "идей ", имеющих якобы самостоятельное существо вание (объективный идеализм ). Еще древнегреческие философы дали два противоположных истолкования вопроса об отноше нии математики к реальному миру . Аристотель утвер ждал , что математические понятия я вляются абстракциями (отвлечения ) от реальных вещей . Платон , напротив , считал , что математичес кие понятия занимают промежуточное положение между миром чувственно воспринимаемых вещей и миром "идей " и являются лишь слабыми "тенями " последних . В дальнейшем взгляды Аристотеля и Платона неоднократно под вергались обсуждению . Но как ни подходили философы и математики к решению вопроса о б отношении математики к реальности , конечным результатом их рассуждений обычно бывали следующ и е заключения . Материалисты доказывали , что понятия и законы математики являются копиями , отражениями , полученными в процессе абстрагирования от реальных вещей , их свойств и отношений между ними . Субъ ективные идеалисты утверждали , что основные п онятия и за к оны математики являют ся продуктами "свободного " мышления людей . Объе ктивные идеалисты пытались доказать , что объе кты математики – самостоятельные сущности , с уществующие независимо от мира реальных вещей , в каком-то особом мире "идей ", "идеальных объектов ". [15; 8] В течение столетий сторонники материалист ического и идеалистического толкований вели б орьбу . Но где и как бы ни развертывала сь эта борьба , она всегда концентрировалась около вопроса об отношении математики к материальной действительности . В этой б орьбе большинство ведущих математиков , как пр авило , отстаивало материалистическое толкование м атематики . Например , Леонард Эйлер , писал : "…мат ематика является наукой , которая не только показывает в каждом случае соотношения , но и определяет причины , от ко т о рых они зависят по природе самих вещей " [21; 9]. На материалистических позициях стояли и замечательные русские математики XIX века Николай Иванович Лобачевский и Пафнутий Львович Че бышев. Методы математики способствуют механике , астрономии , физике и други м наукам про никать в сущность законов природы и предв идеть то , что еще осталось за границами знания . Например , законы механики и методы математики помогли У.Леверрье и Д.Адамсу (XIX в .), а потом и П.Ловеллу (ХХ в .) теоретич ески установить существование дв у х новых , расположенных за Сатурном , планет – Нептуна и Плутона , после чего их суще ствование было подтверждено астрономическими наб людениями . Методы математической физики привели К.Максвелла к заключению о наличии давления света , после чего П.Н.Лебедев под т вердил прогноз К.Мак свел ла рядом точных экспериментов . Учение о ра зличных видах геометри ческих п ространств (аффинном , конечномерным метрических пр остранствах , гильбертове пространстве ) находит при менение в электродинамике и теоретической эле ктротехнике . В то же время математика не только помогает решению отдельных вопро сов естествознания , но и способствует формиро ванию и развитию новых теорий . Математика помогла физикам установить основные уравнения квантовой механики ; после этого был раскрыт их физический смысл. 1. Математика и действительность как осно вной философский вопрос математики. Центральной в философских вопросах матема тики является проблема соотношения весьма абс трактных математических конструкций и реальной действительн ости . Н.Бурбаки пишет , что "о сновная проблема состоит во взаимоотношении м ира экспериментального и мира математического " [2; 258]. Хотя А.Нысанбаев и Г.Шляхин в своей к ниге "Развитие познания и математика " отмечают , что "сам автор отказывается всерьез обс у ждать эту проблему , но не пот ому , что он стремится соблюсти "нейтральность " при рассмотрении основного философского воп роса математики , а потому , что он выступае т как математик , понимающий всю сложность философских проблем и не решающийся обсуждать их "из- за отсутствия компетентности " [16; 53]. Из этих слов можно сделать вывод , что основной философский вопрос математики далек о не легок в своем разрешении . И этот вывод очень хорошо подчеркивает Т.И.Ойзерман : "Многие философские проблемы , в отличие о т пробле м , возникающих перед естеств ознанием , являются вечными в том смысле , ч то они всегда сохраняют свое значение для человечества " [17; 217]. Получая свое определенное решение в к аждую историческую эпоху , это вопрос вновь и вновь возникает перед философами в н ов ой форме , обусловленной уровнем достигн утых знаний и характером социальных преобразо ваний . Этот вопрос никогда не станет оконч ательно завершенным , не подлежащим дальнейшему изменению , развитию. В настоящее время основной вопрос фил ософии по отношению к мат ематике смес тился в план соотношения действительности и языка . "Считать ли математику наукой , изуч ающей определенные отношения действительности , ил и же утверждать , что она имеет дело ли шь с формальными преобразованиями символов , н е отрицающих никаких реал ь ных свя зей и отношений ? – так ставится вопрос " [17; 227]. Проблему соотношения математики и действи тельности пытались решить многие философские течения . Эмпиризм , который стремился свести вс е теоретические знания к высказыванию о ч увственном , хотел провест и такую точку зрения и по отношению к математике . В наиболее яркой форме эти идеи были выр ажены в работах английского философа Дж.Ст.Мил ля. Представление , согласно которому математики рассуждают не о реальных предметах , а о символах , есть , согласно Дж.Ст.М иллю "…и ллюзия , возникшая вследствие того , что когда математик пользуется своими знаками , не дей ствительно не думает о тех вещах , которые эти знаки обозначают . Но это происходит потому , что истины арифметики справедливы относительно всех вещей и не возбуж д ают в нашем сознании никаких идей о тех или иных вещах в частнос ти . Поэтому утверждения математики – это утверждения не о символах , а о всех ве щах , которые этот символ обозначает " [14; 561]. Основой того , почему мы верим , что , например , 2+1=3 является наш опыт , под которы м Дж.Ст.Милль понимал чувственный опыт отдельн ого изолированного индивида . Это соотношение , согласно Дж.Ст.Миллю , резюмирует эмпирический факт , который мы до сих пор постоянно встр ечали в своем непосредственном опыте . Нам всегда удавалось, встретив три вещи в определенном порядке , разложить их на группы из двух вещей и одной отдельно отстоящей вещи . Это интуитивная истина , с тавшая нам известной благодаря обыденному опы ту и с тех пор постоянно подтверждающаяся . Алгебра ведет это обобщение да л ьше : всякий алгебраический символ изображ ает любые числа . Аналогично в геометрии : "В сякая теорема геометрии есть закон внешней природы и может быть установлена путем обобщения наблюдений и опытов " [14; 583]. Миллевская концепция математического знания пока зывает , как недостаточно понимал и оценивал он все своеобразие и огромное самостоятельное значение математики . Применение его идей к математике возможно лишь с грубыми натяжками , искажающими ее сущность. Пытаясь рассмотреть математическое знание как продук т чувственного опыта отдельн ого субъекта , эмпиризм встречается с непреодо лимыми трудностями . Чувственный опыт всегда и меет дело с единичным и случайным , а м атематические положения всеобщи и необходимы . Математика оперирует такими понятиями , содержание кот о рых далеко выходит за ра мки того , что доступно чувственному опыту отдельного человека . Непосредственным опытом отде льного субъекта всеобщие математические положени я могут лишь подтверждаться , но не порожда ться , так как выводы из непосредственного опыта вс е гда индуктивные , а матема тические положения носят необходимый характер . Поэтому невозможно построить грандиозное здани е математики на таком шатком основании , ка к единичный чувственный образ в сознании индивида. Неопозитивизм считает , что математика (лог ика ), в отличие от остальных наук , пре дставляют собой вспомогательный аппарат для о существления языковых преобразований в науках о фактах . Б.Рассел , например , так говорит о характере математического знания : “...математичес кое знание не выводится из опыта пут е м индукции ; основание , по котором у мы верим , что 2+2=4 не в том , что мы так часто посредством наблюдения находим на опыте , что одна пара вместе с др угой парой дает четверку . В этом смысле математическое знание все еще не эмпиричес кое . Но это и не априорно е з нание о мире . Это на самом деле просто словесное знание о мире . “ 3” обознача ет “ 2+1” , а “ 4” означает “ 3+1” . От сюда следует , что “ 4” означает то же , что “ 2+2” . Таким образом , математическое знание перестало быть таинственным . Оно имеет такую же природу , к ак и “ве ликая истина” , что в ярде 3 фута” [19; 839]. Однако выделение языка в особую сферу – такая же ошибка , как и выделение в самостоятельную область мышления . Об этом предупреждал К.Маркс почти за сто лет до новейших позитивистских исследований в област и логики и математики : “Так же , как философы обособили мышление в самост оятельную силу , так должны были они обособ ить и язык в некое самостоятельное , особое царство . В этом тайна философского языка , в котором мысли , в форме слов , облада ют своим собственны м содержанием” [11; 448]. Для диалектического материализма не сущес твует дилеммы : либо признать , что математика сводится к чувственно воспринимаемому , либо считать ее не имеющей никакого отношения к действительности . Диалектический материализм не связывает объективность предмета научног о исследования с формой , в которой субъект постигает его . Объективно не только то , что чувственно воспринимаемо , но и то , ч то находит свое выражение в теоретической форме , несводимой к чувственно воспринимаемому . В.И.Ленин , д е лая замечания на книге А.Рея “Современная философия” , отмечает как безусловно правильную мысль о том , что “…полезность разума тем и объясняется , чт о выводя предложения из предложений , он вм есте с тем выводит друг из друга отно шения между фактами природы” [ 9; 479]. Установление математических фактов , например , не путем эмпирических процедур , как это было в математике древних вавилонян и египтян , а с помощью дедуктивных рассуждени й в аксиоматической системе Евклида , совсем не означает , что математика перестае т иметь дело с реальностью и погружается в изучение умозрительных сущностей . Различие , которое здесь есть , коренится в отличие эм пирического уровня познания от теоретического , а не в различии объективного от субъек тивного . Однако решение проблемы объектив н ой ценности математики не сводится к признанию того , что существует некоторое объективное содержание , соответствующее содержанию математических понятий . Главная задача состоит в том , чтобы раскрыть , как это объекти вное содержание входит в науку. 2. Проблема существования в современной м атематике. В современной математике и математической логике весьма живо обсуждается проблема существования в применении к абстрактным объе ктам . Номинализм и реализм ведут нескончаемые споры о принят ии или непринятии абстрактных объектов , причем отказ от их р ассмотрения мотивируется тем , что в противном случае мы придем к постулированию мира идей Платона . Те же , кто признают абстра ктные объекты , тем не менее , отмежевываются от Платона , заявляя , что и х ра ссмотрение не ведет к онтологии платоновского толка . Неопозитивизм в лице своих виднейш их представителей Б.Рассела и Р.Карнапа также неоднократно обращался к рассмотрению пробле мы существования. Эта проблема возникает из осознания н евозможности сведения абстрактных математически х объектов к единичным чувственно воспринимае мым вещам . Если математические объекты сущест вуют не так , как единичные вещи , то о каком их существовании может идти речь ? В каком смысле , например , существуют , n-мерные и бесконечномерные пространства и т . д. В.И.Ленина интересовал этот вопрос . Конспек тируя гегелевские "Лекции по истории философи и ", В.И.Ленин обращает внимание на то , что еще древние пифагорейцы задумывались над проблемой существования абстрактных математичес ких объектов . "Числа , где они ? Отделенные пр остранством , обитают ли они сами по себе в небе идей ? Они не суть непосредстве нно сами вещи , так как вещь , субстанция есть ведь нечто д р угое , чем число , - тело не имеет никакого сходства с последним " [9; 225]. На полях В.И.Ленин отмечает в ажность такой постановки вопроса , наивное нед оумением , вызванное действительной трудностью , ког да абстрактный объект ставится на очную с тавку с чувствен н о воспринимаемой действительностью. Представление о самостоятельном существовани и математических объектов приводит к ряду трудностей как гносеологического , так и лог ико-математического характера . Математик как бы оказывается между двумя реальностями - чувс твенно воспринимаемых вещей и математичес ких объектов . Причем как математик он имее т дело лишь со "второй реальностью ", а с чувственно воспринимаемой действительностью со прикасается лишь постольку , поскольку выступает уже просто как человек , который долже н пить , есть , отдыхать и т . д. Некритический подход к проблеме существов ания таит в себе немалую опасность . Наприм ер , немецкий физик Г.Герц не может скрыть своего преклонения перед миром математически х объектов : "Невозможно избавиться от ощущения , что эти м атематические формулы сущес твуют независимо от нас и обладают собств енным разумом , что они мудрее нас , мудрее даже тех , кто их открыл , и что мы извлекаем из них больше , чем первоначальн о было " [12; 112]. Отсюда остается всего один шаг до признания , что "м а терия исч езает , остаются одни уравнения ". [16; 76] Но привычка обращаться с математическими объектами так , как будто бы это вещи реального мира , существующие независимо от математика , вызывает не только гносеологические , но и логико-математические трудност и. А.Н.Колмогоров в своей статье "Современные споры о природе математики " ("Научное слов о ", 1929, № 6) и Г.Вейль в книге "О философии математики " (М.-Л ., 1934) прямо указывают на то , что именно такая привычка обращаться с м атематическими объектами является источником серьезных затруднений в обосновании и пост роении математических теорий . Совсем не случа йно поэтому появление интуиционистской точки зрения на проблему существования. Интуиционизм возник как реакция на те оретико-множественную (классическую ) конце пцию математики. При наивном понимании проблемы существова ния в математике , при котором это понятие считается не нуждающимся в каком бы то ни было анализе , интуиционизм избрал гл авным объектом критики в классической математ ике понятие актуальной бесконечно сти и закон исключенного третьего . Отвергая понятие актуальной бесконечности , интуиционизм заменяет понятием потенциальной бесконечности . Что же касается закона исключенного третьего , согла сно которому утверждение А и его отрицани е не мог ут быть одновременно истинными и ложными , то интуиционизм считает , что утверждение А может считаться доказанным лишь тогда , когда указан метод , позволяющий выяснить , какое именно из двух суждений А или истинно. Немецкий математик Л.К ронекер , а т акже представители парижской школы теории фун кций Э.Борель и А.Лебег признавали математичес кие объекты существующими независимо от нашег о мышления . Но они считали , что об их существовании мы можем судить лишь с помощью построения , благодаря че м у они только и становятся познаваемыми для нас . А.Гейтинг называет такую концепцию "п олуинтуиционистской " [5; 10]. Собственно же интуиционистская концепция по вопросу о существовании отк азывает математическим объектам в каком бы то ни было независимом от м ыш ления существовании и считает , что об их существовании можно утвердительно говорить л ишь в том случае , когда они могут быть тем или иным способом построены. Классическая математика не принимает во внимание очевидное различие между двумя следующими опреде лениями натуральных чисел - числа К и числа Е. "I. К есть наибольшее простое число , т акое , что К -1 также простое . Если такого числа нет , то К =1. II. Е есть наибольшее простое число , т акое , что Е -2 также простое . Если такого числа нет , то Е =1." [16; 84] Для интуиционизма же это различие весьма существенно . Если число К может быть вычислено (К =3), то число Е не вычис ляется , так как проблема "близнецов " не раз решена . Поэтому интуиционисты считаю неправильным давать определение натурального числа в форме II и с читают , что число опре делено только тогда , когда дан способ его вычисления . Или в более общей форме : " Существовать " должно означать то же самое , что "быть построенным " [6; 11]. На основе критики классической математики и в то же время как реакция на субъек тивистскую концепцию интуиционизма в озникло также конструктивное направление . Об абстрактных объектах в конструктивной математике рассуждают на основе абстракции потенциально й осуществимости . В соответствии с этой аб стракцией в конструктивной математике и з учаются не только объекты , уже имеющие ся в наличии , но и возможные (потенциально осуществляемые ) объекты . Абстракция актуальной бесконечности как объект математической теории отклоняется в конструктивном направлении. В конструктивной математике отрицают та к называемые “чистые” теоремы существован ия . Например , в конструктивной теории множеств нет теоремы существования неизмеримого по Лебегу множества . В ней существование беско нечного множества с данными свойствами являет ся однозначным в том случае , если дан способ потенциально осуществимого по строения объекта с этими свойствами. В становлении и развитии конструктивного направления в математике важную роль сыг рали работы А . А . Маркова , Н . А . Шанина , П . С . Новикова . Известный советский ученый Н . А . Шанин в рабо те “О критике классической математики” [20; 284-298] дает конструктивист скую критику классической математики и акцент ирует внимание исследователей на том , что многие теоремы классической математики не обл адают удовлетворительной связью между ними и эмпири ч еским материалом в област и естествознания. Предшественником интуиционистской концепции существования в некотором смысле можно считат ь А.Пуанкаре . Рассматривая вопрос о существова нии натурального ряда чисел , А.Пуанкаре высказ ывал взгляды , близкие к интуицио нистским . Например , он считал , что о существовании чисел можно судить лишь с помощью их построения . Но для математических объектов , отличных от натуральных чисел , А.Пуанкаре с читал доказательство непротиворечивости доказательст вом их существования . "В мат е матик е существовать может иметь только один см ысл , - оно означает устранение от противоречия " [18; 124]. Представление о самостоятельном существовани и математических объектов подвергалось критике не только интуиционизмом . Субъективный идеалист Дж.Беркли , ч ья философия сжато сформу лирована в знаменитом афоризме "существовать - значит быть воспринимаемы ", рьяно выступал про тив представления о самостоятельном существовани и математических объектов . В своем памфлете "Аналитик , или Рассуждение , адресованное неве р ующему математику… " Дж.Беркли отрицал существование бесконечно малых величин на том основании , что они чувственно не во спринимаемы . [1; 395] Б.Рассел начал свою философскую деятельно сть с идеализма типа Дж.Беркли , но затем изменил свою концепцию под влияни ем Д.Мура , который подверг критике философию Дж .Беркли и сформулировал принцип нетождественности объекта восприятию . В своем труде “Принци пы математики” Б.Рассел переходит на позиции реализма и высказывает мысль , что нельзя обосновать математику , не призн а в ая математические объекты , существующими независи мо от сознания . [16; 87] Абстрактные объекты не существуют в к ачестве самостоятельного объекта , стоящего между субъектом и реальным объектом , ибо они являются лишь формами выражения действительнос ти . Сама ж е действительность выступает не как совокупность единичных фактов , созер цая которые , субъект выделяет то общее , чт о есть в них , а как сложная , расчлененн ая внутри себя целостность . Неверно превращат ь математические средства выражения предмета математики в сам предмет . Абстрактные объекты являются не объектами познания , а тем , что должно быть в голове человек а , чтобы можно было в реальной действитель ности увидеть те или иные аспекты количес твенных отношений. Представления , что математика имеет дело с реально й действительностью только через посредство абстрактных объектов , которые понимаются как существующие лишь во внутре ннем мире субъекта , замыкает математика в рамки уже идеализированных фрагментов действител ьности и не может объяснить факта увеличе ния мате м атического знания . Математич еское познание имеет дело не с абстрактны ми объектами , а с пространственными формами и количественными отношениями действительности . Манипулирование абстрактными объектами в отрыв е от объективной реальности не может прив ести к н овым результатам . Абстрактны е объекты сами по себе – застывший п родукт познания и только обращение к новы м аспектам действительности приводит к обогащ ению математического знания . Все это прекрасн о понимал и выразил еще Р.Декарт . В “Пр авилах для руководств а ума” он писал , что “мысля о числе , не нужно дел ать вывод , будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего представления , как эт о делают те , кто приписывает числам чудесн ые свойства…” . [7; 149] В этом случае мы сможем по мере надобности обращаться и к другим свой ствам предмета , которые еще не выражены в числах . Тот , кто превращает математические средства выражения предмета математики в с ам предмет , превращается , по словам Р.Декарта , из математика в счетчика , бессмысленно о перирующего со знаками и си м волам и , загораживающими непроницаемой реальный предмет математики. А.Гейтинг замечает , что “мы не могли бы сравнивать натуральные числа друг с другом , если бы не фиксировали их какими-л ибо средствами материального представления , почем у они и продолжают сущ ествовать после акта их построения” [6; 24]. Абстрактные объекты и есть формы , отли тые предшествующей деятельностью человека в о бществе . С точки же зрения каждого отдельн ого индивида они выступают как независимо от него существующая реальность , а это значи т , что человек должен считаться с их природой как и с природой реально существующих вещей . Только в этом смысле и можно говорить об особом существовании абстрактных объектов. 3. Функция как отражение окружающей дейст вительности Ф ункция представляет собой одно и з основных математических понятий XX в ., когда функциональному анализу стала принадлежать в математике выдающаяся роль . Но так было не всегда : после введения в математику понятия функции понадобилось более двух столе тий , чт о бы было осознано его д ействительное значение для развития математическ ого познания. Термин “функция” впервые был применен в конце XVII века Лейбницем (1646-1716) и его учени ками . Вначале этот термин употребляли еще в очень узком смысле слова , связывая лишь с геометрическими образами . Речь шла об отрезках касательных к кривым , их пр оекция на оси координат и о “другого рода линиях , выполняющих для данной фигуры некоторую функцию” (от латинского “функтус” - выполнять ). Таким образом , понятие функции е ще не бы л о освобождено от гео метрической формы. Лишь И . Бернулли дал определение функц ии , свободное от геометрического языка : “Функц ией переменной величины называется количество , образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных” [4; 17]. Он о привело в восхищение престарелого Лейбница , увидевшего , что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его школы , но и на исследования великого математика и фи зика Исаака Ньютона (1643-1727), который изучи л колоссальный запас самых различных функцион альных зависимостей и их свойств . Вместо с лова "функция " Ньютон применял термин "ордината ". Он сводил изучение геометрических и физ ических зависимостей к изучению э т их "ординат ", а сами "ординаты " описывали различными аналитическими выражениями. Чтобы определение функции , данное И.Бернул ли , стало полноценным , надо было условиться , какие способы задания функций следует счит ать допустимыми . Обычно считали , что допускают ся функции , заданные выражениями , в ко торые входят числа , буквы , знаки арифметически х действий , возведение в степень и извлече ние корней , а также обозначения тригонометрич еских , обратных тригонометрических , показательных и логарифмических функций . Такие ф у нкции называли элементарными . Вскоре выяс нилось , что интегралы от них не всегда выражаются через элементарные функции . В св язи с этим пришлось добавить новые функци и , получающиеся при вычислении интегралов от элементарных функций , при решении дифференци ал ь ных уравнений и т . д . Многие из этих функций нельзя было явно выр азить с помощью ранее известных операций . Поэтому один из самых замечательных математик ов XVIII века Леонард Эйлер (1707-1783) в одной из своих работ пишет : "Когда некоторые количества завис я т от других таким обра зом , что при изменении последних и сами они подвергаются изменению , то первые назыв ают функциями вторых " [2; 18]. В 1834 году Н.И.Лобачевский писал : "Общее по нятие функции требует , чтобы функцией от х называть число , которое дается дл я каждого х и вместе с х постепенно и зменяется . Значение функции может быть дано или аналитическим выражением , или условием , которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них ; или , наконец , зависимость может существовать и оставаться неиз в естной ." [11; 284] Более общий подход к понятию функции , при котором отождествляются понятия "функция ", "отображение ", "оператор ", возник после того , как во второй половине XIX века бы ло введено общее понятие множества . И имен но творцы теории множеств Г . Кантор (1845-1918) и Р . Дедекинд (1831-1916) дали общее определение отображения . Его можно сформулировать : Пусть X и Y - два множества ; говорят , что задано отображение f множества X в (на ) множество Y, если для каждого элемента x из X указан соответствующи й ему единственный элемент y из Y. Этот элемент y называют образ ом элемента х при отображении f и обознача ют f(x). Введение в математику общего понятия об отображении множеств позволило прояснить и ряд вопросов , относящихся к функциям , на пример , уточнить, что такое обратная функция , сложная функция и т . д. В результате систематического построения математического анализа на основе строгой ари фметической теории иррациональных чисел и тео рии множества возникла новая отрасль математи ки - теория функций действит ельного переме нного . Она оказала большое влияние на разв итие многих других отделов математики В начале XX века на базе этой теори и функций возникла новая ветвь математики - функциональный анализ . В нем изучают множе ства , состоящие из функций , последователь н остей , линий , в которых определены операции сложения и умножения на числа . Эти опер ации обладают свойствами , похожими на свойств а операций над векторами . Однако в отличие от нашего пространства , имеющего лишь три измерения , изучаемые в функциональном ана л изе , пространства могут быть беск онечномерными . Это не мешает специалистам по функциональному анализу применять в своих исследованиях геометрический язык. Хотя функциональный анализ кажется очень абстрактной наукой , он находит многочисленны е приложения в в ычислительной математике , физике , экономике , позволяя с единой точк и зрения трактовать самые различные вопросы и вскрывать геометрическую сущность проблем , которые на первый взгляд очень далеки от геометрии . Говоря о связи абстрактной науки с практикой , в и дный матем атик Р . Курант (1888-1972) писал : “Мы стартуем с Земли и , сбросив ба лласт излишней информации , устремляемся на кр ыльях абстракции в заоблачные высоты , разреже нная атмосфера которых облегчает управление и наблюдение . Затем наступает решающее испыт ание - приземление ; теперь нужно установить , достигнуты ли поставленные цели...” [4; 25] В XX веке понятие функции подверглось д альнейшим обобщением . Возникло понятие функции , отражавшее свойства физических величин , сосред оточенных в отдельных точках , на л иния х или поверхностях . Потребности физики привел и к изучению функций , принимавших случайные значения . Но методы математического анализа позволили справиться и с проблемами теории случайных функций , нашедшей многочисленные п риложения в физике и технике. Со временная трактовка понятия функции выглядит следующим образом : "функцией называе тся отношение двух (группы ) объектов , в кот ором изменению одного из них сопутствует изменение другого " [13; 615-616] Но как бы далеко ни отходило то или иное обобщение поняти я функции от определений И.Бернулли и Л.Эйлера , к как им бы сложным объектам оно ни прилагалось , в основе всех построений лежала одна и та же мысль о существовании взаимоза висимых величин , знание значения одной из которых позволяет найти значение другой ве л ичины. В результате изучения различных функций в математике появились новые теории . Так немецкий математик Ф.Клейн и французский математик А.Пуанкаре создают теорию автоморфных функций , в которой находит замечательные пр именения геометрия Лобачевского . Фра нцузские математики Э.Пикар , А.Пуанкаре , Ж.Адамар , Э.Борел ь глубоко разрабатывают теорию целых функций . Геометрическую теорию функций и теорию р имановых поверхностей развивают А.Пуанкаре , Д.Гильб ерт , Г.Вейль , немецкий математик К.Каратеодори , теорию конфо р мных отображений - советс кие математики И.И.Привалов , М.А.Лаврентьев , Г.М.Голуз ин и др . На основе комплексных чисел в озникает теория функций комплексного переменного . Общие основы этой теории были заложены О.Коши. Выше приведенные примеры теорий функции по казывают нам важность данного поня тия в современной науке . Однако можно сдел ать ошибочный вывод (в силу множества абст рактных понятий , связанных с функцией ) о т ом , что все эти теории не имеют никаки х связей с окружающим миром . В действитель ности же эти св я зи имеют боле е сложные формы . Многие эти теории возникл и не из-за запросов естествознания и техни ки , а из внутренних потребностей самой мат ематики . Т . е . непосредственного отношения к окружающему миру эти теории не имеют . О ни играют вспомогательную роль д л я прикладных наук. Как мы уже выяснили , понятие “функция” в математике играет значительную роль . По смотрим теперь на то , какую же роль иг рает это понятие в философии . Прежде всего следует заметить , что в философских слова рях трактовки этого понятия трудно найт и . Следовательно , можно сделать вывод , что это понятие в философии играет второстепенную роль . Однако , зависимость между элементами некоторых множеств , - как одна из смысловых сторон “функции” , имеет непосредственное отн ошение к окружающему миру. В . И. Ленин писал : “Первое , что бросается нам в глаза при рассмотрении мира в целом – это взаимная связь вс его существующего” (см . Ленин В.И . Пол . собр . соч . – Т . 20, с . 20). Но далеко не все связи могут быть отражены в виде функциональных зависимостей (формул ) . Наиболее наглядно демонстрируют подобные связи в окружающем мире законы физики , которые могут быть записаны в виде формул . Это , например , второй закон Ньютона , закон Гука , законы Кеплера и многие другие законы , отражающие взаимозависимость окружающего мира. Таким образом , функция , как и любое другое математическое понятие , непосредс тве нно или опосредованно отражает окружающую нас действительность . Заключение Таким образом , проблемы реальности и с уществования в математике имеют неоднозначное истолкование в философии . Вопрос о соотноше нии понятий и утвержден ий математики и окружающей действительности был освещен с разных философских позиций . А именно , с точки зрения материализма и субъективного и объективного идеализма , эмпиризма и неопози тивизма . Каждое из вышеперечисленных философских течений имели разные в згляды н а разрешение поставленного вопроса. Проблема существования в математике также была представлена несколькими философскими н аправлениями : интуиционизмом , конструктивным материали змом и субъективным идеализмом . Каждое из этих направлений имело свою то чку зре ния на данную проблему . Разносторонность подх одов к решению поставленных проблем говорит об их сложности и неоднозначности в толковании и разрешении. В качестве примера одного из математи ческих абстракций было рассмотрено понятие “ф ункция” . Описана история возникновения данно го понятия , неоднозначность в его толковании , роль и значение в современной науке.