* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
С одержание
Введение
1. Исходные данные
2. Исследование относительного движения материальной точки
3. Применение общих теорем динамики к исследованию движения механиче ской системы
3.1. Составление уравнения движения твер дого тела с помощью теоремы об изменении кинетического момента
3.2. Определение закона изменения внешнего момента , обеспечивающего постоянство угловой скорости
4. Определение реакций в опорах вращающегос я тела
5. Исследование движения механической системы с двумя степенями свободы с помощью уравнений Лагранжа II рода
5.1. Составление уравнений движения системы мет одом Лагранжа
5.2. Получение дифференциального уравнение относительного движения материальной точки
5.3. Определение закона изменения внешнего момента , обеспечивающего постоянство угловой скорости
6. Определение положений равновесия механической системы и исследование их устойчивости
Заключение
Список использованных источников
В ведение
Изучени е теоретической механики как одной из фундаментальных физико-математических дисциплин играет важную роль в подготовке специалистов по механико-математическим и инженерным механическим направлениям . Оно позволяет будущим специалистам не только получить глу б окие знания о природе , но и вырабатывает у них необходимые навыки для решения сложных научных и технических задач , для которых требуется построение математических моделей разнообразных механических систем , развивает способности к научным обобщениям и выво д ам.
Для закрепления навыков самостоятельного решения задач механики во втором семестре изучения теоретической механики студенты СГАУ выполняют курсовую работу , в которой необходимо провести комплексный анализ движения системы с двумя степенями свободы , пол ьзуясь различными методами теоретической механики.
Теоретическая механика , как часть естествознания , использующая математические методы , имеет дело не с самими материальными объектами , а их математическими моделями . Такими моделями являются материальные то чки , системы материальных точек , твердые тела и деформируемая сплошная среда . В курсовой работе рассматриваются простейшие системы , которые состоят из твердых тел , совершающих простейшие движения , и перемещающейся по телу материальной точки.
1. Исходные данные
Сплошной равносторонний треугольник со стороной , им еющий массу вращается вокруг шарнира . В точке – середине канала , на пружине жёсткостью закреплён шарик массой . При вращении треугольника шарик может совершать колебательные дв ижения вдоль канала .
Рисунок 1.1 . Схема механической системы
2. Исследование относительного движения материальной точки
Движение материальной точки в подвижной системе отсчета описывается дифференциальным уравнением относительного движения :
(1.1)
Здесь – относительное ускорение материальной точки ; – сумма всех внешних и внутренних сил ; и – переносная и кориолисова силы инерции соответственно.
Свяжем подвижную си стему отсчета с движущимся вдоль канала шариком . Ось проведём вдоль канала , причём возрастание координаты сонаправлен но с движением шарика относительно трубки ; а ось направим перпендикулярно ей . Вращение треугольника вместе с системой координат вокруг шарнира является переносным движением для шарика . Относительным движ ением является его перемещение вдоль канала .
Дифференциальное уравнение движения (2.1) для данной системы примет вид :
(2.2)
Рисунок 2.1 . Исследование относительн ого движения материальной точки
Абсолютные значения сил :
;
, где ;
– при постоянной угловой скорости вращения , тогда , где – рад иус вращения шарика вокруг шарнира ;
, т . к . угол между относительной и угловой скоростями прямой , отсюда , а направление определяется по прав илу Жуковского.
Возьмём проекцию дифференциального уравнения относительного движения (2.2) на координатную ось подвижной системы координат :
(2.3)
Радиус переносного вращения шарика :
(2.4)
С учётом значений си л и формулы (2.4), уравнение (2.3) принимает вид :
Отсюда получаем значение реакции связи :
(2.5)
В приложении к курсовой работе изображён график зависимости (рис . 2 ).
Теперь спроецируем диффер енциальное уравнение (2.2) на координатную ось :
(2.6)
При подстановке известных значений получим :
(2.7)
Приведём (2.7) к следующему виду :
(2.8)
Здесь – это собственная частота . Для нахождения зависимости решим данное уравнение.
– решение искомого дифференциального уравнения будет складываться из общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения .
Общее решение имеете вид : (2.9).
Найдём частное решение уравнения (2.8), оно будет иметь вид : . Первая и вторая производные : , .
Подставляя частное решение и его производные в (2.8), получим :
Находим значения постоянных коэффициентов : , .
(2.10)
Тогда , исходя из (2.9) и (2.10), решение исходного дифференциального уравнения :
Для определения констант интегрирования , используем начальные услови я :
, или ; откуда .
, или , откуда .
Подставив значения и , и сгруппировав слагаемые , получим дифференциальные уравнения относительного движения шарика и его скорости :
(2.11)
Здесь , , , , .
В приложении к курсовой работе изображён график зависимости (рис. 1 ).
3. Применение общих теорем динамики к исследованию движения механической системы
3.1 Составление уравнения движения твердого тела с помощью теоремы об изменении кинетического момента
Механической системой называется такая совокупность материальных точек , в которой положение и движение каждой точки зависит от положения и движения остал ьных точек . Получаемые для системы материальных точек теоремы и соотношения можно распространить и на системы , состоящие из одного или нескольких взаимосвязанных твердых тел . Ограничения , накладываемые на движение точек и тел механической системы , называют ся связями . Исходя из принципа освобождаемости от связей , движение каждой точки системы можно рассматривать как движение свободной точки , если заменить действие связей реакциями этих связей . Тогда для каждой точки , согласно основному уравнению динамики ма т ериальной точки , имеем :
(3.1.1)
и – масса и ускорение некоторой точки механической системы ; и – внешние и внутренние силы (уже включают в себя реакции связей ).
Уравнение (3.1.1) – это основное уравнение динамики , следствием его являются теоремы о движении центра масс механической системы и об изменении количества движения , теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии . Теорема об изменении кинетического момента применяется для решения задач , в которых рассматривается движение механической сист е мы , состоящей из центрального тела , вращающегося вокруг неподвижной оси , и одного или нескольких тел , движение которых связано с центральным . Связь может осуществляться при помощи нитей , тела могут перемещаться по поверхности центрального тела или в его к а налах за счёт внутренних сил . С помощью данной теоремы можно определить зависимость закона вращения центрального тела от положения или движения остальных тел.
Теорема об изменении кинетического момента формулируется следующим образом : полная производная по времени от вектора кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра по величине и направлению равна главному моменту вн ешних сил , приложенных к механической системе , определенному относительно того же центра :
(3.1.2)
Здесь – кинетический момент механической системы относительно неподвижного центра ; он является мерой движения системы вокруг этого центра и складывается из кинетических моментов всех точек и тел , входящих в эту систему ; – главный момент внешних сил относительно неподвижного центра .
Определим главный момент вне шних сил :
, где и – плечи сил тяжести шарика и треугольника ;
(3.1.3)
Определим кинетический момент системы . Он склады вается из кинетических моментов шарика и треугольника : .
Рисунок 3.1.1. Составление уравнения движения твердого тела с помощью теоремы об изменении кинетического момента
, где мо дуль переносной скорости равен .
(3.1.4)
, – момент инерции треугольника относительно шарнира . Определим его по теореме Штейнера :
(3.1.5)
(3.1.6)
Учитывая (3.1.4) и (3.1.6), кинетический момент системы равен :
(3.1.7)
Продифференцируем выражение (3.1.7):
(3.1.8)
Подставив найденные значения в (3.1.2), теорема об изменении кинетического момента примет вид :
(3.1.9)
3.2 Определение закона изменения внешнего момента , обеспечивающе го постоянство угловой скорости
При действии внешнего момента , обеспечивающего равномерное вращение механической системы вокруг шарнира , последнее слагаемое в левой части равенства (3.1.9) обращается в нуль :
, ; отсюда .
Тогда выражение (3.1.9) примет вид :
(3.2.1)
направлен противоположно главному моменту внешних сил , то есть , против часовой стрелки.
Внешн ий момент , обеспечивающий равномерное вращение конструкции , равен :
(3.2.2)
В приложении к курсовой работе изображён график зависимости (рис . 3 ).
4. Определение реа кций в опорах вращающегося тела
Определим реакции в опоре вращающегося тела методом кинетостатики . Он заключается в решении задачи динами ки средствами (уравнениями ) статики . Для каждой точки механической системы справедливо основное уравнение динамики :
(4.1)
Здесь и – масса и ускорение некоторой точки системы ; – сумма всех активных сил и реакций связей , приложенных к ней.
Основному уравнению динамики (4.1) можно придать вид уравнения статики :
(4.2)
Здесь – сила инерции точки механической системы.
Рисунок 4.1. Определение реакций в опорах вращающегося тела
Для заданной механической с истемы уравнение статики (4.2) имеет вид :
(4.3)
Для определения реакции шарнира нам необходимо и достаточно взять за координатные оси – неподвижные оси и , и определить составляющие реакции шарнира на эти оси :
(4.4)
Отсюда :
Подставив значения сил , получим :
(4.5)
Теперь спроецируем (4.2) на неподвижную ось :
(4.6)
Отсюда :
Подставив известные значения сил , получим :
(4.7)
Полн ую реакцию в шарнире можно найти по формуле : , где и определяются выражениями (4.5) и (4.7); график её зависимости от времени приведён в приложении к курсовой работе (рис . 4 ).
5. Исследование движения механической системы с двумя степенями свободы с помощью уравнений Лагранжа II рода
5.1 Составление у равнений движения системы методом Лагранжа
Уравнения второго рода являются одним из наиболее удобных приёмов составления уравнений движения механических систем . Они имеют следующий вид :
(5.1.1)
Здесь – кинетическая энергия системы ; , , , – обобщённые координаты , скорости и силы соответственно ; – число степеней свободы.
Уравнения (5.1.1) образуют систему уравнений второго порядка относительно функций , а порядок данной системы равен . Форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщённых координат . В связи с этим говорят , что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством инвариантности.
Как видно из (5.1.1), для получения уравнений Лагранжа необходимо найти соотв етствующие производные от кинетической энергии системы и определить обобщённые силы.
Определим кинетическую энергию системы . Она будет складываться из кинетических энергий треугольника и шарика : .
Подставив значение и з (3.1.5), получим :
(5.1.2)
Кинетическая энергия шарика определяется его массой и относительной и переносной скоростями :
С учётом известных значений скоростей , получим :
(5.1.3)
Кинетическая энергия системы равна :
(5.1.4)
Найдём производные от кинетической энергии согла сно (5.1.1):
(5.1.5) (5.1.6)
(5.1.7) (5.1.8)
Рисунок 5.1.1. Определение кинетической и потенциально й энергий системы
Теперь , исходя из (5.1.1), нужно определить обобщённые силы . Данная механическая система является консервативной , мы можем определить обобщённые силы через потенциальную энергию по формуле :
(5.1.9)
Найдём потенциальную энергию . Она будет складываться из работ консервативных сил по перемещению тела из нулевого положения : . За нулевой уровень потенциальной энергии выберем начальный момент времени , при :
– энергия положения шарика ;
– энергия положения прямоугольника ;
– потенциальная энергия силы упругости ;
Потенциальная энергия системы равна :
(5.1.10)
Найдём обобщённ ые силы :
(5.1.11)
(5.1.12)
Теперь можем записать систему уравнений Лагранжа II рода :
(5.1.13)
(5.1.14)
5.2 Получение дифференциального уравнение относительного движения материальной точк и
(5.1.13) и (5.1.14) – это система уравнений Лагранжа II рода ; первое из них представляет собой дифференциальное уравнение относительного движения . При сравнении (5.1.13) с уравнением относительного движения (2.7) видно , что уравнения тождественны :
(2.7)
(5.1.13)
5.3 Определение закона изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости
(5.1.14) – это уравнение уравнения движения твердого тела без ограничения на закон изменения угловой скорости вращения . Определим величину внешнего момента , обеспечивающего равномерное вращение :
(5.1.14)
Пр и действии внешнего момента , обеспечивающего равномерное вращение , уравнение (5.1.14) примет вид :
(5.3.1)
Отсюда :
(5.2.2)
Сравним с полученным ранее значением :
(3.2.2)
Итак , два разных способа определения внешнего момента дали один результат.
6. Определение положений равновесия механической системы и исследование их устойчиво сти
Важным случаем движения механических систем является их колебательное движение . Колебания – это повторяющиеся движения механической системы относительно некоторого ее положения , происходящие более или менее регулярно во времени . В курсовой работе расс матривается колебательное движение механической системы относительно положения равновесия (относительного или абсолютного ).
Механическая система может совершать колебания в течение достаточно длительного промежутка времени только вблизи положения устойчиво го равновесия . Поэтому перед тем , как составить уравнения колебательного движения , надо найти положения равновесия и исследовать их устойчивость.
Согласно основному уравнению статики , для того чтобы механическая система находилась в равновесии , необходимо и достаточно , чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы :
(6.1)
– обобщённые силы ; – число обобщённых координат в механической системе.
В нашем случае механическая система находится в потенциальном силовом поле ; из ура внений (6.1) получаем следующие условия равновесия :
(6.2)
Следовательно , в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение . Не всякое равновесие , определяемое вышеприведенными формулами , может быть реализовано практически . В зав исимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения . Достаточные условия устойчивости положений равновесия для консервативных систем определяются теоремой Лагранжа – Дирихле : « По ложение равновесия консервативной механической системы устойчиво , если в нём потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум » .
Определим положения равновесия для заданной механической системы , используя ранее найденные обобщённые силы (5.1.11) и (5.1.12) из системы уравнений :
(6.4)
Решение системы средствами MathCAD приведено в приложении Б к курсовой работе.
Для нашей механич еской системы имеем :
Первое положение равновесия : , .
Второе положение равновесия : , .
Используя теорему Лагранжа – Дирихле определяем , что первое положение равновесия является не устойчивым , а второе – устойчивым .
Рисунок 6.1 . Положения равновесия механической системы
Найдем вторые производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам :
(6.5)
Для иссле дования устойчивости положения равновесия необходимо исследовать на знакоопределенность матрицу жесткости , составленную из значений выражения (6.5) в этом положении равновесия.
1)
Положение равновесия не устойчивое
2)
Положение равновесия устойчивое
Заключение
В данной курсовой работе была исследована механическая система с двумя степенями свободы . В результате были достигнуты изначально поставленные цели , а именно :
Ш получен з акон относительного движения материальной точки ;
Ш составлено уравнение движения твердого тела с помощью теоремы об изменении кинетического момента , определено значение внешнего момента , обеспечивающего равномерное вращение конструкции ;
Ш найдены реакции в опорах вращающегося тела ;
Ш проведено исследование движения механической системы с помощью уравнений Лагранжа II рода , в результате которого получены уравнение относительного движения материальной точки и закон изменения внешнего момента , обеспечивающего постоянство угловой скорости ;
Ш определены положения равновесия механической системы и исследована их устойчивость ;
В приложениях к курсовой работе приведены результаты численного интегрирования , а так же графики зависимостей определяемых величин.
Списо к использованных источников
1. Бутенин Н.В. , Лунц Я.Л. и др .: Курс теоретической механики , том 1 и том 2, Москва , « Н аука » , 1970.
2. Яблонский А.А. , Норейко С.С. : Курс теории колебаний , Москва , Высшая школа , 1966.
3. Динамика точки и механической системы : Учебное пособие для курсового проектирования / Авраменко А.А. , Архипов В.В. , Асланов В.С. , Тимбай И.А. ; Под ред . проф . В.С. Асланова . – Самарский государственный аэрокосмический университет , Самара , 2001 – 84 с.