Изложение и анализ апорий Зенона

16 План. 1 . Введение. 2 . Элейская школа. 3 . Зенон Элейский. 4 . Апории Зенона. 5 . Вывод. 6 . Библиография. 1. Введение. 1.1. О проблеме апорий в нау ке . Античная философия всегда отличалась разнообразием ид ей, а также большим количеством их приверженников. Всё это выражалось в м ногообразии учений и, следовательно, школ древних философов. Одной из ни х была элейская школа. Двадцать четыре столетия назад её приверженец Зен он Элейский указывал на невозможность логически непротиворечивого осм ысления движения тел, хотя и не сомневался в чувственно удостоверяемой р еальности последнего. Зеноном сформулирован ряд апорий, связанных с про блемой движения. Но не меньший интерес в гносеологическом (гносеология е сть учение о познании) и логическом плане представляют и апории, с которы ми столкнулся знаменитый элеец при анализе проблемы «многого в бытии», п роблемы получения протяженного отрезка при синтезе так называемых неп ротяженных точек (метрическая апория), и другие. Трудности, нашедшие отра жение в апориях Зенона, и в наши дни нельзя считать преодоленными. Поэтом у апории Зенона не перестают интересовать и математиков, и физиков, и фил ософов, и ученых некоторых других направлений. Интерес к апориям в насто ящее время связан с проблемами научного познания пространства, времени, движения и строения систем в самом широком смысле, а также с проблемами « начал» науки в смысле истории возникновения исходных понятий о природе ( «тело», «точка», «место», «мера», «число», «множество», «конечное», «беско нечное» и др.) и в плане дискуссий, в ходе которых уточнялся смысл этих пон ятий и которые, в итоге, переросли в проблему основания математики, а такж е начал точного естествознания. 1.2. Апории Зенона . Апории Зенона не нашли удовлет ворительного разрешения и поныне. Причем современные издания, в отличие от советских, с этим соглашаются: «А[пории] теперь признаются подлинными парадоксами, связанными, в частности, с описанием движения». А.А . Ивин , А.Л . Никифоров «С ловарь по логике» , М .: «Владос» , 1997, стр. 22. Все так называемые «разрешения» апорий представляют собой лог ическую ошибку ignorantia elenchi, состоящую в том, что доказывается не тот тезис, кото рый требуется доказать. Исследование парадоксов Зенона нач ать со знакомства с историей Элейской школы и интерпретации аргументов Зенона, что сразу ведет нас в многообразие связанных с ними проблем и поз волит найти собственный путь к разрешению его загадок. Для этого требует ся определить направляющие точки зрения, которые основаны на фактах или более убедительных предположениях. 2. Элейская школа. Элейская школа возникла в 5 веке до н.э. в городе Элея в Греции, представляющей собой совокупность полисов-колон ий, которые были созданы древними греками на побережье Южной Италии и в С ицилии. Влияние Элейской школы на формирование абстрактной научной мыс ли огромно. Элеаты сосредоточили своё внимание на анализе понятия едино го бытия. Считается, что основателем школы стал Ксенофан. Однако нет ника ких свидетельств того, что он посещал город Элею в Южной Италии, поэтому е го можно считать лишь идейным вдохновителем школы. Нетрудно понять, поче му философы этой школы приняли его себе в покровители, потому что они раз деляли идею неподвижного Единого. Об этом говорят приписываемые Ксеноф ану высказывания. Он нападает на божества греков, созданные по образу и п одобию человека: «Если бы быки, лошади или львы имели руки и могли бы ими р исовать и создавать, подобно людям, произведения искусства, лошади изобр ажали бы своих богов похожими на лошадей, а быки – в образе быков, и тела б огов были бы похожи на тела лошадей и быков». Ф . Коплстон «История философии : Древняя Греция и Древний Рим» , том 1, М .: «Центр-полиграф » , 2003, стр . 64 Но, какие бы мнения не существовали, настоящим основателем Элейской школы и с филосо фской, и с исторической точки зрения был, вне всякого сомнения, Парменид, ж итель Элеи. Он был первым, кто строго различал чувственное и умопостигаемое, что привело к неизбежной конфронтации ме жду опытом и требованиями разума. Вкратце доктрину Парменида можно изло жить так: Бытие, Единое действительно существует, а Становление, изменен ие - иллюзорно. Именно поэтому элеаты не приняли пифагорейскую доктрину, ставящую в соответствие всякой вещи число. Зенон Элейский (490-430 гг. до н.э.) сф ормулировал четыре парадокса, иллюстрирующие невозможность бесконечн ой делимости и всякого движения, если мыслить пространство и время состо ящими из неделимых частей. Общая цель его аргументов показать те нелепос ти, к которым приходят, когда пытаются получить непрерывные величины из бесконечно малых частиц, взятых в бесконечном множестве. Исчисление бес конечно малых ведет свое начало от интуитивного представления греков о непрерывности, математической бесконечности и пределе, а также от тех тр удностей, с которыми они столкнулись при попытках явно определить эти по нятия. Эти три понятия были корректно определены лишь в XIX в., когда математ ики захотели систематизировать достижения своей науки. 3. Зенон Э лейский. Зенон Элейский (родился около 490 до н.э.), греческий философ и логик, прослави вшийся главным образом им парадоксами, которые носят его имя. О жизни Зен она известно мало. Он был родом из греческого города Элея на юге Италии. Пл атон сообщает, что Зенон бывал в Афинах и встречался с Сократом. Предполо жительно, что около 465 до н.э. он изложил свои идеи в не дошедшей до нас книге. Согласно традиции, Зенон погиб в борьбе с тираном (вероятно, правителем Э леи Неархом). Информацию о нем приходится собирать по крупицам: из Платон а, который родился 60-ю годами позже Зенона, из сообщений ученика Платона А ристотеля, из Диогена Лаэртия, который в 3 в. н.э. составил жизнеописания гр еческих философов. Говорится о Зеноне и у поздних комментаторов аристот елевской школы: Фемистия (4 век), Симплиция и Иоанна Филопона (оба 6 век). По книге : Ф . Коплстон «История философии : Древняя Греция и Древний Рим» , том 1, М .: «Центр-полиграф» , 2003 Историческое окружение. Чтоб ы оценить роль Зенона в истории науки и развитии логики, необходимо расс мотреть состояние греческой философии в середине 5 века до н.э. Ионийские философы из Малой Азии искали первоначало всех вещей, основной элемент, из которого образована Вселенная. Каждый останавливался на своем элеме нте: один отводил эту роль воде, другой - воздуху, третий – бескачественно му, «безграничному» или «неопределенному». Ионийцы полагали, что все изв естные нам виды материи возникают в результате непрерывно протекающих процессов сдавливания, разрежения и сгущения основного элемента. На это м постоянном изменении сделал акцент Гераклит Эфесский (6– 5 век до н.э.): «р ека, в которую мы входим ныне, не та же самая, что была вчера; все меняется; г армония Вселенной – это гармония противоположностей» «Философия: экзаме национные билеты» - М.: «РИОР», 2006 . Наконец, школа, основанная Пифагором (6 веке до н.э.), выдвинула в качестве основного элемента число, пр ичем числа рассматривались как дискретные единицы, наделенные простра нственным измерением. Учитель Зенона Парменид подверг критике все эти т еории. Подвергая рассмотрению любой основной элемент, мы можем сделать о нем одно из трех утверждений: он существует; он не существует; он и сущест вует, и не существует. Третье утверждение внутренне противоречиво, второ е также немыслимо, поскольку об отсутствии чего-либо невозможно говорит ь, прибегая к тем же терминам, что использовались для его описания. Сущест вование небытия невозможно даже представить. Следовательно, этот элеме нт существует. Изменение невозможно, поскольку это означало бы, что перв оэлемент не был распределен с одинаковой плотностью повсюду, а пустоты б ыть не может, поскольку это было бы такое место, в котором первоэлемент не существует. Итак, Вселенная представляет собой неподвижный, неизменный, плотный и единовидный шар. Все есть Единое. Заметим, что Парменид приходи т к этому выводу исключительно с помощью логики, не прибегая к умозрению или интуиции, характерным для систем его предшественников. Если вывод пр отиворечит чувствам, тем хуже для чувств: видимость обманчива. Зенон про должил дело, начатое Парменидом. Его тактика сводилась не к защите точки зрения учителя, а к демонстрации того, что из утверждений его оппонентов возникают еще большие нелепости. В связи с этим Зенон выработал метод оп ровержения противников посредством серии вопросов. Отвечая на них, собе седник был вынужден прийти к самым необычным парадоксам, с необходимост ью следовавшим из его взглядов. Этот метод, получивший название диалекти ческого (от греческого «диалегомай» – «разговаривать»), впоследствии п рименял Сократ. Поскольку главными противниками Зенона были пифагорей цы, большинство его парадоксов связано с атомистической концепцией пиф агореизма. Поэтому они особенно значимы для современных атомистически х теорий числа, пространства, времени и материи. 4. Апории Зенона. Парадоксы Зенона известны нам благода ря Аристотелю, который привел их в своей “Физике”, чтобы подвергнуть кри тике. Он различает бесконечность относительно сложения и бесконечност ь относительно деления. Время тоже бесконечно делимо, и в конечный интер вал времени можно пройти бесконечно делимое расстояние. Факт противоре чия между данными опыта, с одной стороны, и их мыслительным анализом, с дру гой стороны, выражен Зеноном в форме апорий (от греческого aporia – затруднение, недоумение). Все они сводятся к доказательству того, что 1) логически невозможно мыслить множественнос ть вещей; 2) допущение движения ведёт к противоречиям. Согласно Зенону, при попытке помыслить движение мы неизбежно наталкиваемся на противоречи я, из этого следует вывод о немыслимости движения вообще. 1. Парадоксы множества. Со времен Пифагора время и пространство рассматривались, с математической точки зрения, ка к составленные из множества точек и моментов. Однако они обладают также свойством, которое легче ощутить, нежели определить, а именно «непрерывн остью». С помощью ряда парадоксов Зенон стремился доказать невозможнос ть разделения непрерывности на точки или моменты. Его рассуждение своди тся к следующему: предположим, что деление проведено нами до конца. Тогда верно одно из двух: либо мы имеем в остатке наименьшие возможные части ил и величины, которые неделимы, однако бесконечны по своему количеству, ли бо деление привело нас к частям, не имеющим величины, т.е. обратившимся в н ичто, так как непрерывность, будучи однородной, должна быть делимой повс юду, а не так, чтобы в одной своей части быть делимой, а в другой – нет. Одна ко оба результата неправильны: первый потому, что процесс деления нельзя считать законченным, пока в остатке – части, обладающие величиной, втор ой потому, что в таком случае изначальное целое было бы образовано из нич его. Зенон, поддерживая своего учителя, старался доказать, что все сущее д олжно быть единым и неподвижным. Своё доказательство он основывал на бес конечной делимости любой непрерывности. Именно, утверждал он, если сущее не будет единым и неделимым, но может делиться на множество, единого по су ти вообще не будет, а если ничто не будет по сути единым, невозможно и множ ество, поскольку множество составлено из многих единиц. Итак, сущее не мо жет быть разделено на множество, следовательно, есть только единое. Симп лиций приписывает Зенону так же и следующий аргумент: «Если множество су ществует, оно должно быть точно таким, каково оно есть, не больше и не мень ше. Однако, если оно таково, каково есть, оно будет конечным. Но если множес тво существует, вещи бесконечны по числу, потому что между ними всегда бу дут обнаруживаться еще другие, а между теми еще и еще. Таким образом, вещи бесконечны по числу». По кни ге : А.К . Манеев «Философский анализ зеноновских апорий» , Минск , 1972 Рассуждения о множественности были направлены против сопернича вшей с элеатами школы, вероятнее всего, против пифагорейцев, которые пол агали, что величина или протяженность составлена из неделимых частей. Зе нон считал, что эта школа полагает, будто непрерывные величины и до беско нечности делимы и конечным образом разделены. 2. Парадоксы движения. Аргументы о движении известны нам тол ько по краткому разбору их Аристотелем в «Физике» и комментариям Симпли ция, Филопона и Фемистия. Симплиций утверждает, что он имел в своем распор яжении сочинение Зенона, и его комментарии относительно множества подт верждают это. Но комментарии о движении, хотя по некоторым замечаниям оч евидно, что он знал и эту часть сочинения, не содержат ничего нового, отлич ного от Аристотеля, возможно, из-за общепризнанной трудности этих аргуме нтов. Всего апорий, затрагивающих парадоксы движения, мы знаем четыре: «Д ихотомия» и «Ахиллес» затрагивают трудности понимания движения при пр едположении неограниченной делимости пути и времени, а «Стрела» и «Стад ий» выражают затруднения при обратных предположениях, то есть при допущ ении неделимых элементов пути и времени (проблема квантов пространства и времени). Апория «Дихотомия». Формулировка апории : Пусть АВ – отрезок длины 1 и точка М движется из А в В. Прежде чем дойти до В, она должна «отсчитать» бес конечное множество «середин» А 1 , А 2 , … , А n , … ; значит, точка В никогда не будет достигнута. Движущееся тело нико гда не достигнет конца пути, потому что оно должно сначала дойти до серед ины пути, затем до середины остатка пути и так далее. Ф . Коплстон «История философии : Древняя Греция и Древний Рим» , том 1, М .: «Центр-полиграф» , 2003, стр . 77 Анализ апории : В первом парадоксе утверждается, что, прежде чем дви жущийся объект сможет преодолеть определенное расстояние, он должен пр ойти половину этого пути, затем половину оставшегося пути и т.д. до бескон ечности. Поскольку при повторных делениях данного расстояния пополам в сякий отрезок остается конечным, а число таких отрезков бесконечно, данн ый путь невозможно пройти за конечное время. Более того, этот довод дейст вителен для любого, сколь угодно малого расстояния, и для любой, сколь уго дно большой скорости. Следовательно, невозможно какое бы то ни было движ ение. Бегун не в состоянии даже тронуться с места. Симплиций, который подр обно комментирует этот парадокс, указывает, что здесь за конечное время необходимо совершить бесконечное число касаний: «Тот, кто чего-либо каса ется, как бы считает, однако бесконечное множество невозможно сосчитать или перебрать» «Универ сальный энциклопедический словарь», М.: Научное издательство «Большая р оссийская энциклопедия», 2002, стр. 1177 . Или, как формулирует это Ф илопон, «бесконечное абсолютно неопределимо». Аристотель усматривал в «Дихотомии» скорее заблуждение, нежели парадокс, полагая, что его значим ость сводится на нет «ложной посылкой, «будто невозможно пройти или косн уться бесконечного числа точек за конечный период времени». Также и Феми стий полагает, что «Зенон либо в самом деле не знает, либо делает вид, когд а полагает, что ему удалось покончить с движением, сказав, что невозможно движущемуся телу за конечный период времени пройти бесконечное число п оложений». При разборе данной апории можно отметить ту ошибку, что Зенон разделили пространство до бесконечности. На самом же деле, пространство и время бесконечно делимы, но никак не бесконечно разделены. Особое вним ание при рассмотрении следует уделить тому, что пространство и время не актуально разделены бесконечным образом, а лишь потенциально делимы до бесконечности. Утверждение Зенона в этой апории относительно невозмож ности движения спорит со всеми какими бы то ни было законами восприятия мира. Апория «Ахиллес и черепаха». Формулировка апории : Предположим, что Ахилл и черепах а состязаются в беге. Поскольку Ахилл спортсмен, он пускает черепаху впе рёд. К тому времени, когда он достигает того места, с которого стартовала ч ерепаха, та уже продвинулась в другую точку, а когда Ахилл достигает этой точки, она уже продвинулась немного вперёд, пусть даже на небольшое расс тояние. Таким образом, Ахилл никогда не догонит черепаху. А нализ апории : Парадокс заключается в том, что Ахилл никогда не догонит черепаху, поскольку сначала он должен добежать до того места, откуда начинает двигаться черепаха, а за это время она доберется до след ующей точки и т.д., словом, черепаха всегда будет впереди. Разумеется, это р ассуждение напоминает «Дихотомию» с той только разницей, что здесь беск онечное деление идет сообразно прогрессии, а не регрессии. Современный п одход к этой проблеме заключается в вычислениях (либо методом сходящихс я бесконечных рядов, либо простым алгебраическим уравнением), которыми у станавливается, где и когда Ахилл нагонит черепаху. Предположим, Ахилл б ежит в десять раз быстрее черепахи, которая проходит 1 м в секунду и имеет преимущество в 100 м. Пусть х – расстояние в метр ах, пройденное черепахой к тому моменту, когда Ахилл ее нагонит, а t – время в секундах. Тогда t = x /1 = (100 + x )/10 = 11 1 / 9 с. Вычисления показыв ают, что бесконечному количеству движений, которые должен совершить Ахи лл, соответствует конечный отрезок пространства и времени. Современные представления о пределе и сходимости ряда позволяют утверждать, что, на чиная с некоторого момента, расстояние между Ахиллом и черепахой станет меньше любого заданного числа , выбранного сколь угодно малым. Од нако самими по себе вычислениями парадокс не разрешается. Ведь сначала н еобходимо доказать утверждение, что расстояние - это скорость, умноженна я на время, а сделать это невозможно без анализа того, что подразумеваетс я под моментальной скоростью - понятием, лежащим в основе третьего парад окса движения. Таким образом можно заключить, что этот парадокс построе н на трудности суммирования бесконечного числа все более малых величин и невозможности интуитивно представить себе, что эта сумма равняется ко нечной величине. В большинстве источников, где излагаются парадоксы, говорится о том, что Зенон вообще отрицал возможность движен ия, но иногда утверждается, что доводы, которые он отстаивал, были направл ены лишь на доказательство несовместимости движения с постоянно оспар ивавшимся им представлением о непрерывности как о множестве. В «Дихотом ии» и «Ахилле» утверждается, что движение невозможно при предположении о бесконечной делимости пространства на точки, а времени на мгновения. В последних двух парадоксах движения утверждается, что движение равным о бразом невозможно и в том случае, когда делается противоположное предпо ложение, а именно, что деление времени и пространства завершается недели мыми единицами, т.е. время и пространство обладают атомарной структурой. Известный философ-интуитивист А. Бергсон высказывает тако е мнение по поводу этой апории: ««делить можно вещь, но не акт». А. Бергсон, Соч и нения в 4 т ., Том 1., М .: Московский клуб , 1992, с тр. 98 Зенон, по мнению Бергсона, смешивает процесс движени я, каждый акт которого неделим, с бесконечно делимым пространством. Одна ко вряд ли можно согласиться с Бергсоном. Похоже, для Зенона было несомне нным, что движение есть именно процесс. Ведь он говорит не о трудностях вв едения завершенных в своей данности отрезков пространства, а о немыслим ости процесса их прохождения. Либо движение будет описано как процесс, к ак ряд последовательных операций или действий по осуществлению движен ия, либо придется признать, что любая попытка такого описания неминуемо ведет к противоречиям, что будет означать логическую невозможность дви жения. Апория «Стрела». Формулировка апории : Если время и простр анство состоят из неделимых частиц, то летящая стрела неподвижна, так ка к в каждый неделимый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится, а отрезок времени и есть сумма таких неделимых моменто в. Анализ апории : Зенон утверждает: любая в ещь либо движется, либо стоит на месте. Однако ничто не может пребывать в д вижении, занимая пространство, которое равно ему по протяженности. В опр еделенный момент движущееся тело (в данном случае стрела) постоянно нахо дится на одном месте. Следовательно, летящая стрела не движется. В этом ра ссуждении допущена явная логическая ошибка. Она заключается в смешении взаимоисключающих понятий «покоя» и «механического движения». Состоян ие покоя всегда выступает как отрицание кого-либо механического движен ия. Аристотель с наскока отмел парадокс «стрела», утверж дая, что время не состоит из неделимых моментов. «Ошибочен ход рассужден ий Зенона, когда он утверждает, что если все, занимающее равное себе место , находится в покое, и то, что находится в движении, всегда занимает в любой момент такое место, то летящая стрела окажется неподвижной». Ф . Коплстон «История филосо фии : Древняя Греция и Древний Рим» , том 1, М .: «Центр-полиграф» , 2003, стр . 76 Трудность у страняется, если вместе с Зеноном подчеркнуть, что в каждый данный момен т времени летящая стрела находится там, где она находится, все равно как е сли бы она покоилась. Динамика не нуждается в понятии «состояния движени я» в аристотелевском смысле, как реализации потенции, однако это не обяз ательно должно приводить к сделанному Зеноном выводу, что раз такой вещи , как «состояние движения», не существует, не существует и самого движени я, стрела неизбежно находится в покое. Как бы то ни было, мы должны признать, что элеаты относились к описанию движения более критич но, нежели современная механика, которая не может дать вразумительного о твета, каков физический смысл точки «бесконечно малой величины»? Действ ительно, если «бесконечно малая величина» — функция (а так оно и есть), то придется признать, что она является всего лишь математической абстракц ией, совершенно не имеющей никакого физического смысла. Следовательно, н е имеет никакого физического смысла понятие «мгновенная» скорость. А зн ачит, все это не отменяет положения Зенона, что в любой момент времени t стрела находится в строго определенных точках пути, и в этих точках она вполне неподвижна. Надо отметить, что выдающиеся мыслители чувствовали это. Нап ример, такой тонкий аналитик, как Бертран Рассел, фактически прямо призн ал то, что Зенон отрицал в качестве парадокса: «... we live in a n unchanging world and... the arrow, at every moment of its flight, is truly at rest» («... мы живем в неизменном мире и... стрела в каждый момент своего полета фактически покоится»). B. Russell «Our Knowledge of the External World», London– Chicago: Open Court, 1914, стр . 142 Апори я «Стадий». Представим себе 3 группы спортсменов, находящи хся на стадионе, одна из них неподвижна, а две другие движутся навстречу д руг другу с одинаковой скоростью. Пусть А 1 , А 2 , А 3 и А 4 – неподвижные тела равного размера, а В 1 , В 2 , В 3 и В 4 – тела, име ющие такой же размер, что и А, которые единообразно движутся вправо так, чт о каждое В минует каждое А за одно мгновение, считая мгновение наименьши м возможным промежутком времени. Пусть С 1 , С 2 , С 3 и С 4 – тела также равного А и В размера, котор ые единообразно движутся относительно А влево так, что каждое С проходит мимо каждого А тоже за мгновение. Предположим, что в определенный момент времени эти тела находятся в следующем положении друг относительно дру га: рис . 1 Тогда через два мгновения позиция станет следующей: рис .2 Отсюда очевидно, что С 1 миновало все четыре тела В. Время, которое потребовал ось С 1 для прохождения одного из тел В, можно п ринять за единицу времени. В таком случае на все передвижение потребовал ось четыре такие единицы. Однако предполагалось, что два момента, которы е прошли за это передвижение, являются минимальными и потому неделимыми . Итак, мы пришли к абсурдному заключению, что целый отрезок времени равен своей половине. Согласно некоторым толкованиям «стадия», Аристотель полагал, что Зенон совершил здесь элементарную ошибку, предп оложив, что телу требуется одно и то же время на прохождение мимо подвижн ого тела и тела неподвижного. Эвдем и Симплиций также интерпретируют «ст адий» как всего лишь смешение абсолютного и относительного движения. Но если бы это было так, парадокс не заслуживал бы того внимания, которое уде лил ему Аристотель. Поэтому современные комментаторы признают, что Зено н видел здесь более глубокую проблему, затрагивающую структуру непреры вности. 3. Другие парадоксы. «Место». Аристотель приписывает Зенону парадокс «Место», похожие рассуждения приводят Сим плиций и Филопон в 6 веке н.э. В « Физике» Аристотеля эта проблема излагается следующим образом: «Далее, если суще ствует место само по себе, где оно находится? Ведь затруднение, к которому приходит Зенон, нуждается в каком-то объяснении. Поскольку все, что сущес твует, имеет место, очевидно, что место тоже должно иметь место и т.д. до бес конечности». Считается, что парадокс возникает здесь потому, что ничто н е может содержаться само в себе или отличаться от самого себя. Филопон до бавляет, что, показав самопротиворечивость понятия «места», Зенон желал доказать несостоятельность концепции множественности. По книге : В.Я . Комарова «Учение Зе нона Элейского . Попытка реконструкции системы аргументов» . Л ., 1988. «Пр едикация». К числу более сомнительных парадоксов, приписыв аемых Зенону, относится рассуждение о предикации. В нем Зенон утверждает , что вещь не может в одно и то же время быть единой и иметь множество преди катов; таким же точно доводом пользовались афинские софисты. В « Пармениде» Платона это рассуждение выглядит так: « Если вещи множественны, они должны быть и подобными, и неподобными (непод обными, поскольку они не являются одним и тем же, и подобными, поскольку об щее у них то, что они не являются одним и тем же). Однако это невозможно, поск ольку неподобные вещи не могут быть подобными, а подобные неподобными. С ледовательно, вещи не могут быть множественны». Здесь мы вновь видим кри тику множественности и столь характерный косвенный тип доказательства , и потому этот парадокс был также приписан Зенону. По книге : Фрагменты ранних греческих философов , ч . 1., М ., 1989. «М етрическая апория». Смысл этой апории заключается в след ующем: Если что-нибудь, будучи прибавлено к какой-нибудь вещи или отнято о т нее, не делает эту вещь больше или меньше, тогда оно не принадлежит к чис лу существующего, причем существующая, очевидно, понимается как величин а телесная: ведь именно такая величина обладает бытием в полной мере. Эта апория показывает нам трудности, которые связаны с представлением о тел е в виде бесконечной совокупности неделимых частей. Эти части, в свою оче редь, представлялись не имеющими измерений точками. Их сумма считалась р авной нулю, из чего следовал вывод, что тело, которое имеет измерение, лише но его. Если же части представлялись имеющими измерения, то тогда тело пр едставлялось большим. Но в обоих случаях мы можем наблюдать неразрешимы е противоречия, которые неизбежно сталкиваются с эмпирическим восприя тием мира. Это действительно одна из труднейших апорий, нерешенных и пон ыне, потому что она связана с представлением о протяженном теле или отре зке времени, составленном по предположению, из не имеющих соответственн о протяжения или длительности «точек» и «мгновений». Данная апория пока зала, что нельзя определить меру отрезка как сумму мер «неделимых», что п онятие меры множества вовсе не является чем-то очевидно заключенным в са мом понятии множества и что мера множества, вообще говоря, не равна сумме мер его элементов. Теперь мы определяем меру множеств а при помощи применений к нему систем интервалов, причем понимается, что интервалы уже имеют определенную длину (меру). Затронутые нами проблемы прерывности и непрерывности, конечного и бесконечного, пр остранства и времени при анализе зеноновской «метрической апории» (соз дание протяженного тела из непротяженных точек) непосредственным обра зом примыкают к кругу вопросов, связанных с апориями движения, также сфо рмулированными знаменитым элейцем. 5. Вы вод. Мы видим, что апории Зенона затронул и действительно глубокие и сложные вопросы. Как же ответила на них антич ная наука? В частности, как она разрешила вопрос о том, допустимо ли пользо ваться в математике актуально бесконечно большими и актуально бесконе чно малыми величинами? Мы можем судить о тех точках зрения, которые имели место в античной математике, и о тех дискуссиях, которые там велись, по кос венным данным, главным образом по сообщениям Аристотеля и других филосо фов этого времени. Четырьмя парадоксами Зенон очень хорошо достигает то го, чего хотел. Он логически строго показывает, что в пифагорейских предс тавлениях о движении, пространстве и времени что-то неверно. Эти демонст рационные примеры Зенона не убедили более поздних мыслителей принять в ыводы Парменида, однако заставили этих мыслителей проникнуться уважен ием к формальной логике и увидеть новые возможности ее применения. Так ж е они заставили их попытаться сформулировать пифагорейские понятия по- новому, таким образом, чтобы исключить показанные Зеноном противоречия. Эти попытки имели много форм: у Анаксагора – отказ от представления об о тдельных точках и замена их непрерывной последовательностью, у Аристот еля – полное отделение арифметики от геометрии, а в атомистической теор ии – лежащее в ее основе четкое разграничение физической и математичес кой «делимости». Итак, можно заключить, что Зенон Элейский много привнёс не только в античную философию, но и в развитие мировой математики посре дством своих апорий. 6. Библиография. 1) Ф. Коплстон «История философии: Древняя Греция и Древний Рим», том 1, М.: «Це нтр-полиграф», 2003. 2) «Философия: экзаменационные билеты» - М.: «РИОР», 2006. 3) В.Я. К омарова «Учение Зенона Элейского. Попытка реконструкции системы аргум ентов». Л., 1988. 4) Фрагм енты ранних греческих философов, ч. 1., М., 1989. 5) В.Я. К омарова «Учение Зенона Элейского», Вестник Ленинградского университет а, 1981. 6) А. К. Манеев «Философский анализ зеноновских апорий», Мин ск, 1972. 7) А.А. Ив ин, А.Л. Никифоров «Словарь по логике», М.: «Владос», 1997. 8) А. Бергсон, Сочинения в 4 т., Том 1., М.: Московский клуб, 1992. 9) B. Russell «Our Knowledge of the External World», London– Chicago: Open Court, 1914.