Статистические методы управления качеством Гистограммы

Введение Задача обеспечения качества приобретает в настоящее время все большее значение : в условиях конкурентной борьбы именно качество обеспечивает жизнеспособность предприятия . В понятие качества включают качество всех процессов , выполняемых на предприятии – начиная от целей , которые ставит перед собой руководство ( к ачество цели ), и заканчивая организацией конкретных производственных процессов (качество исполнения ). Учитывая всеобъемлющий характер вопросов управления качеством , можно предположить , что происходит формирование принципиально новой философии управления п р оизводством , в основе которой лежит критерий качества . Методической основой обеспечения качества являются стандарты международной организации по стандартизации ISO ( International Standard Organization ). Новейшая редакция этих стандартов в России – ГОСТ Р ИСО 9000-2001, ГОСТ Р ИСО 9001-2001 и ГОСТ Р ИСО 9004-2001. В соответствии с требованиями данных стандартов на предприятии должна быть создана система качества , регламентирующая выполнение всех действий согласно последним достижениям в области управления п роцессами . Система качества представляет собой совокупность задач , которые решаются на разных этапах производства , и методов (инструментов ) их реализации . Основными являются методы математической статистики , что связано со статистической природой информац и и , порождаемой в производственных процессах . Действительно , даже при строгом соблюдении технологии на производственный процесс влияет множество случайных факторов , которые не позволяют получить желаемый детерминированный показатель качества . Это приводит к необходимости анализировать ситуацию в среднем , с вероятностной оценкой ожидаемого значения показателя . Состав статистических методов регламентируется российскими стандартами группы ГОСТ Р ИСО 50779 и перечислен в отчете технического комитета Госстандарт а ИСО /ТК 10017. В зависимости от уровня решения задач статистического управления качеством устанавливается степень доверия к поставщику . При высшей степени доверия продукция может поставляться без приемочного контроля , что обеспечивает поставщику ощутимые э кономические преимущества . Исходной информацией для работы статистических процедур являются результаты измерения параметров производства , определяющих качество конечной продукции . Измерения производятся на различных этапах технологического цикла и консоли д ируются в соответствующих базах данных системы управления предприятием . До недавнего времени применение статистических методов сдерживалось низким уровнем автоматизации сбора и хранения информации о производственных процессах , но за последние годы в инфор м ационных технологиях произошел существенный сдвиг - в проектировании и управлении производством появился широкий спектр программных продуктов . Одним из таких продуктов является автоматизированная система технической подготовки и учета производства Technolo giCS , где данные об оборудовании и технологических процессах представлены в БД в форме , удобной для последующей обработки . Цель предлагаемой работы состоит в теоретической поддержке пользователей системы TechnologiCS , занимающихся внедрением на предприяти ях модуля качества , являющегося составной частью системы. 2 Генеральные совокупности и выборки . Гистограмма Пусть выполняется n измерений непрерывной СВ x . Например , из партии изготовленных на заводе резисторов по случайному закону отобраны n =100 резисторов и произведено измерение величин их электрического сопротивления . В рез ультате этой процедуры получаем выборку СВ , первые 10 отсчетов которой пре дставлены в таблице 2.1 . Таблица 2.1 Результаты первых 10 измерен ий сопротивлений резисторов Порядковый номер измерения Величина сопротивления (Ом ) 1 99,1 2 96,2 3 100,7 4 103,8 5 103,6 6 105,2 7 93,4 8 99,3 9 103,3 10 98,1 Если выборка содержит все возможные ре зультаты измерений , то эти результаты представляют собой генеральную совокупность . Отметим , что генеральная совокупность измерений может содержать как бесконечное число элементов (как в данном примере ), так и конечное число элементов . Обычно выборка содерж ит малую часть генеральной совокупности и поэтому лишь приближенно характеризует свойства генеральной совокупности . Поскольку полной статистической характеристикой СВ является ее распределение , для описания выборки используется аналог распределения для случая выборочных данных , который называется гистограммой. Для построения гистограммы выполним следующие действия. яя Расположим числа в выборке в порядке возрастания их величин . В результате получим ранжированный статистический ряд , фрагмент которого представлен в таблице 2.2 . Таблица 2.2 Фрагмент ранжированного ряда результатов измерений сопротивлений резисторов Порядковый номер измерения Величина сопротивления (Ом ) 7 93,4 2 96,2 10 96,7 1 99,1 8 99,3 3 100,7 9 103,3 5 103,6 4 103,8 6 105,2 · Определим максимальное и минимальное значения в ранжированном ряду и вычислим разницу этих значений . Затем поделим величину этой разницы (р азмаха ) на число , округлив его до ближайшего целого значения . В результате получим длину одного интервала (кармана ) . · Подсчитаем число значений x , попавших в каждый интервал, обозначим это число и поделим его на общее количество измерений n и на длину интервала . В результате получим величины высот столбцов . · Отложив по оси x интервалы , а по оси y высоты столбцов , получим гистограмму выборочных данных . Эта гистограмма , построенная в системе Excel для гауссовских исходных данных , представлена на рис .2.3 . Кроме гистограммы на рис .2.3 показан также график кумулятивной кривой, представляющей собой сумму величин , отложенных по оси y и выраженную в процентах. Очевидно , что гистограмма и кумулятивная кривая являются экспериментальными дифференциаль ным и интегральным распределениями , построенными по выборочным данным. Рисунок 2.2 Гистограмма и кумулятивная кривая , построенные по выборочным данным , содержащим 100 отсчетов 3. Контрольные карты . Общие сведения Одним из наиболее важных инструментов статистического управления качес твом являются контрольные карты ( КК ), предназначенные для оценки нахождения технологического процесса в статистически управляемом (устойчивом ) состоянии . Впервые этот инструмент был предложен в 1924 году Уол тером Шухартом (Shewhart), а к настоящему времени разработано большое количество контрольных карт , которые делятся на три вида : КК Шухарта , приемочные и адаптивные . КК представляют простой графический метод оценки управляемости процесса по результатам сравнения измерений с заданными контрольными границами . Отклонения показателя качества могут быть классифицированы по двум видам : случайные отклонения , как правило , обусловленные большим количеством различных случайных факторов (вибрации , колебания питающих напряжений , температуры , влажности и т. п .) и неслучайные отклонения , вызванные особыми причинами (сдвиг шкалы измерител ь ного прибора , станка , несоответствие сырья или комплектующих техническим условиям по номинальному значению ). С помощью КК выявляются неслучайные отклонения и, следовательно , воздействие на технологический процесс особых причин. Инструмент КК применяется как для анализа количественных данных , когда результаты измерений показателя качества выражаются в числовой форме (наприме р , измеряется диаметр вала ), так и для анализа «альтернативных» данных , когда информация об объектах ограничена выводом типа «да» /«нет» (например , диаметр вала измеряется с помощью двух калибров ). В первом случае применяются КК по количественному признаку , во втором -- по альтернативному. Простейшей контрольной к артой является КК Шухарта для среднего ( я X ), предназначенная для управления по количественному признаку ( ГОСТ Р 50.1.018-98, ГОСТ Р 50779.42-99 (ИСО 8258-91) ). Эта карта строится следующим образом . На график наносится центральная линия , соответствующая номинальному по техническим у словиям значению . Далее из результатов измерений контролируемого показателя качества формируются однородные выборки (группы ), каждая из которых содержит некоторое количество измерений . По каждой выборке вычисляется выборочное среднее значение , которое нан о сится на КК . Относительно центральной линии на расстоянии , р авном трем среднеквадратическим отклонениям выборочных средних значений , на карту нанесены контрольные границы . Если очередная точка выходит за контрольную границу , регистрируется факт разладки и технологический процесс останавливается для выявления и уст р анения особых причин. По ГОСТ Р 50779.42-99 на одном листе одновременно с построением карты среднего строится карта размахов ( R ) или карта выборочных стандартных отклонений ( s ). Если карта среднего позволяет обнаружить разладку технологического проце сса относительно центра настройки на параметр качества , то карты размахов или стандартных отклонений предназначены для обнаружения разладки точности . Такая разладка возникает , например , по причине износа применяемых в технологическом процессе оборудования, оснастки , инструмента или ухудшения качества комплектующих и материалов. При построении карты размахов или карты выборочных стандартных отклонений по каждой выборке (группе ) находятся соответственно размах или стандартное отклонение, которые наносятся на карту с установленными на ней контрольными границами . Выход точки за пределы контрольных границ сигнализирует о разладке процесса . На КК Шухарта по альтернативному признаку (карта долей несоответствующих единиц продукции ( p ) )наносятся относительные доли бракованных изделий в выборках . Здесь так же , как и в пе рвом случае , имеются центральная линия и контрольные границы , но при выходе очередной точки за нижнюю границу следует определить особую причину улучшения технологического процесса с целью зафиксировать его в этом новом благоприятном состоянии. Кроме перечи сленных выше КК в соответствии с ГОСТ Р 50779.42-99 применя ются также КК Шухарта для медиан (Ме ) и размахов ( R ), карта числа несоответствующих единиц ( np ), карта числа несоответствий (с ) и карта числа несоответствий , приходящихся на единицу продукции ( u ). Принципы построения этих карт аналогичны рассмотренным. КК арифметического среднего строится в соответствии с ГОСТ Р 50779.41-96 . Эта карта сложнее , чем КК Шухарта по количественному признаку . Кроме контрольных на ней присутствуют и пре дупредительные границы . Выход отдельной точки за предупредительную границу не влечет никаких последствий , однако если за эту границу выходят определенное количество последовательных точек , следует сигнал остановки технологического процесса . В остальном эт а КК аналогична КК Шухарта. Приемочная КК по ГОСТ Р 50779.43-99 соединяет рассмотрение вопросов управления процессом с элементами приемочного выборочного контроля . Она является средством , позволяющим принять решение относительно приемлемости процесса с точки зрения нормативной доли несоответствующих единиц продукции . Приемочная КК может применяться как для случая контрол я по количественному признаку , так и для случая контроля по альтернативному признаку. При построении приемочной контрольной карты по количественному признаку по оси абсцисс откладывают номера выборок (групп ), связанные с датами измерений , а по оси ординат – средние значения параметра качества в выборках . Если очередное среднее значение выходит за приемочные контрольные границы , процесс признается неприемлемым . 3.1 Контрольная карта Шухарта средних значений для количественных данных по ГОСТ Р 50779.42-99 Рас смотрим расчет нескольких наиболее важных для практического применения контрольных карт Шухарта. На рис .4.1 показана КК Шухарта с использованием количественных данных для среднего значения ( -карта ). Рисунок 3.1 Контрольная карта Шухарта для среднего значения Алгоритм действия контрольной карты Шухарта средних значений сводится к формированию выборок объемом n измерений в каждой , взятых через определенный интервал времени (в простейшем случае конец предыдущей выборки является начал ом следующей ), вычислении выборочных средних по формуле точечной оценки среднего (3. 10) и сравнении полученных результатов с нижней и верхней границами карты. Как видно из рис .4.1 , расчет параметров КК сводится к определению центральной линии (С L ), нижней ( LCL ) и верхней ( UCL ) контрольных границ . Этот расчет производится для различных вариантов наблюдения . Главным условием возможности использования КК является условие нормальности распределения наносимых на карту точек . Если есть уверенн ость , что одиночные значения результатов измерений распределены по нормальному закону , то на карту могут быть нанесены эти одиночные значения . Если же такой уверенности нет , то на карту следует наносить результаты усреднения не менее четырех сгруппирован н ых в одну «мгновенную» выборку точек . В этом случае в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей при любом виде распределения исходных одиночных измерений в результате процедуры усреднения группированных данных средние «мгнове н ных» выборок будут распределены по закону , близкому к нормальному (мгновенность выборки предполагает , что за время ее образования процесс не успевает измениться ). Предположим , что стандартное отклонение исходных одиночных измерений известно . Такая ситуация может сложиться, когда полностью известна точность используемого в ТП оборудования, а также точность п араметров материалов и комплектующих . Пусть также задан известный из технических условий центр настройки ТП . В этом случае центральная линия КК берется равной , а верхняя и нижняя границы формируются в соответствии с формулами (4.1) (4.2) Здесь - центр настройки карты CL , а величина коэффициента выбирается в соответствии с выражением для доверительного интервала (3.25) , где квантиль принимается равным 3. С учетом (3.25) соотношения (4.1) и (4.2) принимают вид (4.3) (4.4) Вычисление доверит ельной вероятности нахождения анализируемого процесса между границами UCL и LCL по формуле (3.17) дает 0.9973 и соответственно 0.0027. Отметим , что в картах Шухарта не акцентируется внимание на величинах вероятностей , они получаются такими , какие следуют из задания шестисигмового интервала дл я процесса , находящегося в стабильном состоянии . Рассмотрим расчет параметров КК , когда неизвестны центр настройки и дисперсия процесса . Такая ситуация складывается , если технические условия процесса не определены : неизвестна точность оборудования , а также параметров мат ериалов и комплектующих , с которыми работает ТП. В этом случае расчет КК производится по формулам (константы в формулах обозначены в соответствии с ГОСТ ) (4.5) (4.6) . (4.7) Здесь - среднее значение выборочных средних , полученных в результате усреднения мгновенных выборок , - оценка стандартного отклонения , рассчитываемая по формуле . (4.8) Величина коэффициента в (4.6) и (4.7) определяется исходя из следующих соображений. Оценка стандартного отклонения является случайной величиной , зависящей от и . Зная, что распределения и гауссовские, зная также функциональную связь между этими величинами и , определяемую формулой (4.8) , можно найти распределение случайной вели чины . Зная распределение s , можно на определенном уровне значимости заменить в формулах (4.3) и (4.4) на s , введя коэф фициент , связывающий эти две величины [4] : . (4.9) Очевидно , что величина коэффициента меньше единицы , зависит от n и приближается к единице по мере роста n . Значение коэффициента для разных n приведено в таблице 2 ГОСТ Р 50779.42-99. Подставив (4.9) в (4.3) и (4.4) , и заменив здесь на , получим представление соотношений (4.6) и (4.7) в виде (4.10) . (4.11) Отсюда следует . (4.12) 3.2 Контрольная карта Шухарта стандарт ных отклонений для количественных данных по ГОСТ Р 50779.42-99 Алгоритм действия КК стандартных отклонений состоит в формировании последовательности выборок (групп ) по n элементов в каждой , вычислении по каждой выборке точечной оценке дисперсии по формуле (3.14) и сравнении полученных величин с контрольными границами карты UCL и LCL . В качестве среднего значения при расчете по формуле (3.14) может использоваться либо величина центра настройки по техническим условиям , либо , если она не задана , – величина среднего значения выборочных (групповых ) средних , полученная при анализе ТП на заведомо стабильном участке работы. Как и в случае КК средних значений, рассмотрим сначала ситуацию , когда стандартное отклонение процесса известно , т.е . известны точность оборудования , применяемого в ТП , а также точность параметров комплектующих и материало в . В этих условиях центральная линия контрольной карты формируется в соответствии с формулой (4.9) по правилу (4.13) или по правилу , (4.14) если на заведомо стабильном участке работы ТП в течение достаточно продолжительного временного интервала была выполнена оценка стандартного отклонения s . Полагая , что стандартное отклонение СВ s , рассчитываемой по формуле (4.8) для гауссовских исходных данных, приближенно выражается в виде [4] , (4.15) запишем приближенные соотношения для расчета границ контрольной карты , (4.16) . (4.17) Обозначив в этих соотношениях , (4.18) , (4.19) получим , (4.20) . (4.21) Обратим внимание на физический с мысл нижней границы КК , рассчитываемой по формуле (4.21) . Понятно , что уменьшение стандартного отклонения означает улучшение качества процесса, поэтому регистрация факта выхода процесса за нижнюю границу КК имеет целью обратить внимание пользователя на факт улучшения процесса , чтобы зафиксировать его в этом новом состоянии . Отметим также , что в случае , если при расчете нижней границы получается отрицательное число , нижнюю границу следует брать равной нул ю. Рассчитаем теперь границы КК для случая , когда стандартно е отклонение процесса неизвестно . Для этого перепишем соотношения (4.16) , (4.17) в виде (4.22) . (4.23) Заменим здесь неизвестную величину ее оценкой (4.8) и в резул ьтате получим (4.24) . (4.25) Введем обозначения , (4.26) (4.27) Отсюда , (4.28) . (4.29) Как и в случае известного стандартного отклонения , если при расч ете нижней границы КК получается отрицательное число, урове нь нижней границы принимается равным нулю. Отметим , что расчет КК размахов производится аналогичным образом . Результаты этого расчета представлены коэффициентами , i = 1,4 в ГОСТ Р 50779.42-99. На рис .4.2 показана КК стандартного отклонения , построенная для случая известной величины = 4 для количества элементов в подгруппе n =10. Рисунок 3.2 Контрольная карта Шухарта стандартного отклонения 3.3 Контрольная карта Шухарта по альтернативному признаку . P – карта. Как уже было сказано выше , альтернативные данные не связаны с результатами измерений , представленными в виде числовых значений . Альтернативные данные представляют собой бин арный код , в котором , например , единице сопоставлено состояние годности контролируемого изделия , а нулю – состояние брака. Такое кодирование позволяет описывать ситуации , когда контроль производится по качественным признакам без применения измерительных приборов и вывод о состоянии изделия ограничивается выводом типа годное-брак. К альтернативному контролю приходим и при контроле изделий , имеющих несколько измеряемых разнотипных параметров качества , когда в конечном счете нас интересует годны ли все из м еренные параметры или хотя бы один из них не укладывается в допуск по техническим условиям и поэтому все изделие следует считать бракованным . И наконец еще один вариант контроля , когда он производится с использованием калибров , что характерно в особеннос т и для механообрабатывающего производства. Наиболее распространенной картой контроля по альтернативному признаку является P - карта Шухарта . Алгоритм действия этой карты (ГОСТ Р 50.1.018-98) состоит в следующем . Определяется минимальное число контролируемых объектов в выборках n (в качестве объекта может выступать отдельное изделие или совокупность изделий , которым в результате контроля сопоставляется вывод годное-брак ). По каждой выборке (подгруппе ) находится относительная доля брака p = m / n , где m – чи сло бракованных объектов , зарегистрированных в выборке . Эти относительные доли наносятся на КК и сравниваются с имеющимися на карте контрольными границами. Выход очередной точки за верхнюю контрольную границу означает разладку про цесса, выход за нижнюю границу КК сигнализирует об улучшен ии ТП и возможности зафиксировать процесс в этом новом состоянии. Минимально необходимое число объектов в выборке n находится из условия , что ожидаемое среднее количество бракованных объектов в выборках (подгруппах ) должно быть не меньше пяти (ГОСТ Р 50.1. 018-98). Отсюда следует . (4.30) Отметим , что выполнение этого условия может привести к необходимости использования весьма значительных объемов выборок , для пос троения контрольной карты . Так , при ожидаемой вероятности брака процесса p =0,01 требуемый объем выборки n =500. Рассмотрим расчет границ P -карты Шухарта . Предположим , что вероятность брака анализируемых объектов известна (известна точность оборудования , параметров комплектующих и материалов , имеется обширная статистика о случаях брака ТП ). Пред положим также , что объемы выборок одинаковы . В этом случае центральная линия КК . (4.31) Для нахождения верхней и нижней границ КК положим , что число наблюдаемых случаев брака m укладывается в схему независимых испытаний и подчиняется биномиальному закону распределения (2.27) . (4.32) Здесь обозначает вероятность брака объекта контроля . В соответствии с биномиальным законом распределения среднее значение числа бракованных единиц продукции вычисляется по формуле , (4.33) дисперсия – по формуле . (4.34) С учетом трех последних соотношений найдем среднее значение и дисперсию статистики m / n , используемой в КК . Очевидно , что . (4.35) Из (4.33) и (4.34) , (4.36) . (4.37) Отсюда следуют соотношения для расчета границ КК , (4.38) . (4.39) При неизвестной вероятности брака объектов контроля в выражениях для контрольных границ (4.31) , (4.38) , (4.39) . следует заменить точные значения вероятностей брака на их оценки , полученные в р езультате анализа процесса на заведомо стабильном интервале работы . В остальном вид указанных соотношений остается без изменений . В результате формулы для расчета контрольных границ принимают вид , (4.40) , (4.41) . (4.42) При выводе соотношений для расчета границ КК предполагалось , что объемы анализируемых выборок (подгрупп ) одинаковы . В реальных условиях это не всегда достижимо . В связи с этим в ГОСТ 50779.42-99 приведен алгоритм P – карты , учитывающий , что объе мы выборок в подгруппах могут быть разными . В этом случае правила формирования границ КК (4.38) , (4.39) , (4.41) , (4.42) остаются пр ежними , но эти границы не остаются постоянными для всей КК , а вычисляются отдельно для каждой выборки (подгруппы ). Если объем подгрупп меняется несущественно , то ограничиваются одним набором границ , основанном на среднем объеме подгруппы . Для практических целей достаточно , если объемы подгрупп находятся в пределах от целевого объема подгруппы . Альтернативный вариант для ситуаций , в которых объем группы меняется существ енно , - использование нормированных переменных . Например , вместо значений P на карту наносят нормированные значения (4.43) или . (4.44) Очевидно , что для этих новых координат центральная линия и контрольные границы остаются постоянными и равными соответственно , (4.45) , (4.46) . (4.47) На рис .3.3 приведен пример выполнения P карты для некоторого процесса , находящегося в статистически устой чивом состоянии. Рисунок 3.3 P - карта Шухарта для альтернативных данных 3.4 Контрольная карта арифметического среднего КК арифметического среднего для количественных данных по ГОСТ Р 50779.41-96 является более тонким (быстрее реагирует на разладку процесса ) и соответственно более сложным инструментом управления процессом , чем КК Шухарта по среднему значению . Перед построением КК необходимо убедиться , что исходные данные действительно распределены по гауссовскому закону . Для этого можно воспользоваться критерием , технология работы с которым представлена в п. 3.1 . Индивидуальные измерения должны быть проведены инструментом с делением шкалы , где - стандартное отклонение процесса , которое должно быть постоянным , приемлемым и подтвержденным по контрольной карте выборочных стандартных отклонений или размахов. При выполнении указанных условий центральная линия КК имеет вид , (4.48) где - центр настройки процесса по техническим условиям (ТУ ). Для фор мирования верхней и нижней контрольных границ карты необходимо знать верхнюю ( ) и нижнюю ( ) границы поля допуска по ТУ , а также допустимую для процесса долю (вероятность ) несоответствующих единиц продукции . При условии , что эти величины известны , запишем соотношение для расчета доли несоответствующих единиц продукц ии при предельно допустимой настройке процесса , сдвинутой вследствие действия неслучайных причин в сторо ну верхней границы допусковой зоны без изменения стандартного отклонения :. . (4.49) Здесь Ф ( ) интеграл вероятности , определенный в п. 3.3 соотношением (3.20) . Из (4.49) следует . (4.50) Аналогично рассчитывается величина предельно допустимой настройки процесса , сдвинутой в сторону нижней границы допусковой зоны. , (4.51) . (4.52) Отметим , что приведенн ые выше соотношения справедливы как для процессов с односторонним допуском по ТУ , так и для процессов с двухсторонним симметричным допуском. Поскольку значения и являются граничными допустимыми настройками проц есса , их также можно считать и настройками процесса , вышедшего из статистически управляемого состояния под влиянием неслучайных факторов . Введем индекс , который характеризует приведенное значение настройки для процесса , вышедшего из статистически управляемого состояния и рассчитывается по формуле . (4.53) Перейдем к формированию границ КК для случая двухстороннего симметричного допуска по ТУ . Эти границы имеют показанный на рис .4.4 ви д. Рисунок 3.4 Границы КК арифметического среднего На рис .4.4 представлены пять зон карты . Зона Т - целевая , зоны W + и W - -предупреждающие , зоны A + и A - - критические . Отметим , что для одностороннего допуска по ТУ рис .4.4 модифицируется так , что от него остается либо верхняя (нежелательный сдвиг уровня процесса свя зан с его возрастанием ) либо нижняя половина . Алгоритм действия КК состоит в регистрации факта попадания точек измеряемых выборочных арифметических средних в ту или иную зоны карты . Так , если точки попадают в целевую зону , считается , что процесс находится в статистически устойчивом состоянии . Если заданное плано м контроля число последовательных точек k попадает в предупредительную зону , считается , что процесс вышел из статистически устойчивого состояния . Если же число последовательных точек , попавших в предупредительную зону , не превышает k , считается , что проце сс остается в статистически устойчивом состоянии . Если хотя бы одна точка попадает в критическую зону , процесс следует остановить для установления причины его разладки. Значения пороговых уровней , показанных на рис .4.4 , определяются в соответствии с ГОСТ 50779.41-96 следую щим образом . Верхняя и нижняя предупреждающие границы . (4.54) Верхняя и нижняя границы регулирования . (4.55) Расчет коэффициентов и в этих формулах основан на следующих соображениях . Вводится понятие средней длины ARL серии выборок , которые будут извлечены до момента выхода арифметического среднего очередной выборки за пределы предупредительной границы . Очевидно , что максима льное значение ARL = достигается , когда среднее значение процесса совпадает с центром настройки . При достижении средним значением величин предельно допустимых настроек или значение ARL = удовлетворяет неравенству . Это свойство резкого уменьшения величины ARL в случае расстройки процесса и положено в основу процедуры КК арифметического среднего . Исходными величинами для расчета КК являются . Следует отметить , что если определение первых четырех величин в этом списке не представляет трудности , то определение требует основательного предварительного анализа. При заданном наборе исходных данных по таблицам ГОСТ Р 50779.41-96 легко определяются коэффициенты и в соотношениях (4.54) и (4.55) , которые и завершают расчет КК . Чтобы избежать трудностей при назначении в исходных данных и можно задавать не эти величины , а объем выборки n , при этом план контроля определять по таблицам ГОСТ , отыскивая вариант , для которого величина отношения максимальна . В случае , если стандартное отклонение процесса в формулах (4.54) и (4.55) заранее неизвестно , следует оценить его на участке заведомо стабильной работы процесса. Формула , по которой в ГОСТ рассчитывается значение ARL для одностороннего критерия качества , имеет вид . (4.56) Здесь p – вероятность того , что точка на КК попадает в зону Т , q – вероятность того , что точка на КК попадает в зону W , k – число последовательных выборок , попавших в зону W . Формула (4.56) получена с использованием теории марковских цепей с тремя состояниями. На рис .4.5 приведена КК арифметического среднего , построенная для исходных данных примера в ГОСТ 50779.41-96. Выход трех последовательных точек на КК за верхнюю предупредительную границу свидетельствует о том , чт о контролируемый процесс вышел из статистически управляемого состояния . Вопросы практического применения инструмента контрольных карт обсуждаются в [10] . Рисунок 3.5 Контрольная карта арифметического среднего 3.5 Приемочная контрольная карта по ГОСТ Р 50779.43-99 Приемочная КК по ГОСТ Р 50779.43-99 соединяет рассмотрение вопросов управления процессом с элементам и приемочного выборочного контроля . Отличием механизма работы приемочной КК от механизма выборочного контроля является то , что в случае приемочной КК делается заключение о приемлемости процесса , а не продукции , хотя критерием этого заключения как и в сл у чае выборочного контроля является допустимый уровень несоответствующих единиц выпускаемой продукции. Приемочная КК основана на КК Шухарта , но ведется так , что процесс может сдвигаться в направлении контрольных границ , если поле допуска достаточно широко , или ограничиваться более узкими границами , если присущая изменчивость про цесса относительно велика или составляет большую часть ширины поля допуска. Рассмотрим принцип действия приемочной КК для случая контроля по количественному признаку и односторонней годности параметра , когда допуск по ТУ расположен выше целевого уровня. Д ля построения КК в этом случае необходимы следующие исходные данные : приемлемый уровень процесса ( APL В ), связанный с односторонним риском поставщика б ; неприемлемый уровень процесса ( RPL В ), связанный с односторонним риском потребителя в ; критерий принятия решения или приемочные контрольные границы ( ACL В ); объем выборки n . Обсудим как рассчитываются приведенные выше данные . Начнем с приемлемого уровня процесса APL В . (индекс «В» здесь указывает , что речь идет о верхнем приемлем ом уровне ). Чтобы рассчитать этот уровень необходимо знать верхнюю границу поля допуска Т В , стандартное отклонение внутри выборок (групп ) у w и величину допустимой доли несоответствующих единиц продукции p 0. Величина Т В определяется техническими усл овиями . Что же касается величины у w , то она должна быть определена для стабильного состояния процесса и может быть либо задана заранее , либо измерена по результатам предварительного анализа процесса с помощью КК Шухарта (в большинстве практических случаев применяется второй вариант ). Расчет уровня APL В и физический смысл этой величины поясняются рисунками 3.6 и 3.7 . Рисунок 3.6. Допустимая расстройка процесса Рисунок 3.7. Риск поставщика На рисунке 4.6 показаны п роизводственные распределения измеряемого параметра для случая идеальной настройки процесса (1) и случая предельно допустимой расстройки процесса (2), при которой производственное распределение сдвигается в сторону верхней границы поля допуска так , что д о ля несоответствующих единиц продукции становится равной p 0 . Длина отрезка задает такое расстояние от APL до T В , которое обеспечивает долю несоответствующих единиц продукции , равную p 0 . Здесь , где – квантиль стандартного нормального распределения уровня р . На рис . 4.7 показаны распределения выборочных средних измеряемого параметра . Верхняя приемочная граница ACL В устанавливается таким образом , чтобы вероятность попадания выборочного среднего процесса , центрированного на APL В , выше уровня ACL В была равна . Показанные на рисунках 4.6 и 4.7 величины APL В и ACL В рассчитываются по формулам , (4.57) . (4.58) Аналогично рассматривается случай недопустимой расстройки процесса при которой производственное распределение сдвигается в сторону верхней границы поля д опуска так , что доля несоответствующих единиц продукции становится равной p 1 . Этот случай иллюстрируется рисунками 4.8 и 4.9 . Рисунок 3.8. Недопустимая расстройка процесса Рисунок 3.9. Риск потребителя Показанные на рисунках 4.8 и 4.9 величины RPL В и ACL В рассчитываются по формулам , (4.59) . (4.60) После сложения (4.58) и (4.60) , получим (4.61) Подставив (4.61) в (4.58) , имеем (4.62) КК может быть построена , если известны ACL В и n . Можно показать , что на основании формул (4.58) , (4.60) , (4.61) , (4.62) величины ACL В и n могут быть найдены по любой паре из определяющих элементов : приемлемый уровень процесса ( APL В ), связанный с односторонним риск ом поставщика б ; неприемлемый уровень процесса ( RPL В ), связанный с односторонним риском потребителя в ; приемочная контрольная граница ( ACL В ); объем выборки n . Аналогично анализируется случай , когда допуск по ТУ расположен ниже целевого уровня . Результирующ ие формулы для этого случая приведены в ГОСТ Р 50779.43-99. Результаты расчетов по формулам для случаев верхнего и нижнего допусков представлены в ГОСТ в виде номограмм. Случай симметричного двустороннего допуска представлен на рисунке 4.10 (по ТУ имеется ограничение сверху и снизу , и величины рисков для верхней и нижней границ одинако вы ). Рисунок 3.10. Симметричный допуск . Допустимая расстройка процесса Сог ласно рис . 3.10 имеют место следующие соотношения : (4.63) В (4.63) первое равенство приведено для процесса , центрированного на уровне APL Н , а второе – на уровне APL В . Величины б н 1 и б н 2 вычисляются следующим обра зом : , (4.6 4) , (4.65) . (4.66) В результате первое соотношение в (4.63) преобразуется к виду (4.67) Выражение (4.67) является нелинейным уравнением относительно переменной Д. Это уравнение решается численными методами , в частности , методом секущих . Результаты решения уравнения для некоторых частных случаев содержатся в таблице 1 ГОСТ Р 50779.43-99. Приемочные контрольные границы ACL Н и ACL В находятся из (4.64) , величина n считается известной . В результате КК полностью определена. Задача расчета приемочных контрольных границ может быть решена также и на основе известных значений RPL Н , RPL В . Этот случай проиллюстрирован на рис . 3.11 . Рисунок 3.11. Симметричный допуск . Недопустимая расстройка процесса Соотношения , соответствующие этому рисунку , имеют следующий вид , (4.68) , (4.69) . (4.70) Отметим , что можно вычислить контрольные границы и отдельно друг от друга , при допущении одностороннего допуска (см . (4.60) ): . (4.71) При этом контрольные границы будут выставлены та ким образом , что риск потребителя будет меньше риска , заданного в исходных данных , что не нарушает интересы потребителя . Недостатком этого способа формирования границ является снижение вероятности приемки годных процессов. Случай несимметричного допуска от ражен на рис . 3.12 . Рисунок 3.12. Несимметричный допу ск . Допустимая расстройка процесса Для несимметричного допуска имеют место соотношения , (4.7 2) причем . Приемочные контрольные границы находим , решая численным методом систему нелинейных уравнений (4.73) отно сительно Д Н , Д В , где . (4.74) Решение аналогичной (4.73) системы нелинейных ур авнений для случая известных RPL представляет существенные трудности , поэтому контрольные границы можно вычислить отдельно друг от друга при допущении одностороннего допуска (аналогично (4.71) ): . (4.75) На рис . 3.13 приведен вид приемочной КК. Рисунок 3.13. Приемочная контрольная карта. Использованная литература : Данный реферат написан на основе материалов взятых из Интернета на сайте : www.csdn.n-sk.ru.