О возможностях формирования стохастической содержательно-методической линии курса математики средней школы

В статье рассматривается вопрос возможности внедрения стохастической линии в курс средней школы, затрагивается история вопроса, анализируется основная школьная литература. Статья была опубликована в 2012 году в Вестнике Коми ГПИ. ...

Формирование линии вообще и стохастической в частности лучше всего начинать с оформления теоретических разделов, вырабатывающих представления о ключевых понятиях линии. Учитывая сделанные выше замечания, мы предлагаем организацию стохастической содержательно-методической линии, опирающуюся на три раздела, координирующих основной материал линии:
1. Случайные события
2. Случайные величины
3. Математическая статистика
В возможности реализации такой схемы методического решения мы твёрдо уверены благодаря, в частности, работам В.В. Афанасьева, внёсшего неоценимый вклад в методику выстраивания стохастической линии на этапе высшего профессионального образования. Так, например, во второй главе монографии [1] автор выстраивает последовательность разделов: «Случайные события» – «Случайные величины»– «Элементы математической статистики» – «Энтропия и информация» – «Вероятность и числовые ряды». Основой описанного выстраивания материала является организация взаимодействия материала стохастической линии с материалом дискретной математики – графами. Перенося общие контуры решения на почву школьной математики, мы можем воспользоваться той же системой связей. Это представляется особенно удачным ходом в связи с положением, складывающимся на сегодняшний день вокруг элементов дискретной математики в школьном курсе. С одной стороны, имеется возможность осуществить строительство стохастической линии, опираясь на имеющиеся на сегодняшний день представления школьников о графах и навыки работы с последними. С другой стороны, учебные задания выстраиваемой стохастической линии смогут поддержать материал дискретной математики, создадут возможность его глубокого осмысления. В той же работе [1] раскрываются удивительные возможности такого стиля изложения для формирования творческой активности студентов. По всей видимости, повышения качества образовательного процесса, к которому приводит формирование творческой активности, можно будет добиться и при реализации этой методической идеи в средней школе.

В современную школу широко внедряется изучение теории вероятностей и элементов математической статистики. Для этого учителя и методисты активно разрабатывают методики обучения школьников основам стохастики. Многие ошибочно объединяют вероятно-статистический материал в вероятно-статистическую или, как ее называют, стохастическую линию. Ошибка состоит в том, что содержательно-методическая линия программы по Эрдниеву [18] должна иметь связанный с этой линией метод (или группу методов), который собственно и объединяет соответствующий материал в содержательную линию. В вероятностно-статистическом материале, который предлагается для изучения в школе, мы не можем выделить такие методы, так как, например, теория вероятностей требует одних методов, а математическая статистика – других. Причем ха рактер этих методов существенно различается: теория вероятностей (особенно «школьная») тяготеет к методологии дискретной математики, тогда как математическая статистика скорее может быть соотнесена с началами анализа, традиционно опирающимися на непрерывность. Однако было бы очень полезно организовать вероятно-статистический материал в содержательно-методическую линию. Это целесообразно по следующим причинам. Во-первых, можно добиться существенного повышения качества усвоения материала, организуя крупные дидактические единицы. В случае с математической статистикой это особенно важно в связи с высокой жизненной актуальностью заключенных в этом материале знаний и умений. Во-вторых, целостность, обеспеченная единством содержательно-методической линии, создает дополнительные возможности для выстраивания внутрипредметных связей и позволяет сделать изложение протяженным, а не «запертым» в узких рамках одного-двух тематических разделов. Это крайне важно для устойчивости полученных учащимися знаний. В-третьих, при координации материала в линию создается контекст – комплекс представлений о стохастическом материале как о самостоятельной области математического знания. Это должно позволить избежать «размывания» материала при организации межпредметных связей, возможности которой, в нашем случае, очень широки.
Изучение стохастики в школе важно в современном, насыщенном информацией мире. Сегодня нас окружают сводки выборов, диаграммы социальных опросов, демографические, политические, экологические статистические отчёты. Общество все глубже изучает себя и стремится делать о себе прогнозы. Методы теоретической науки всё больше обращаются к стохастическим моделям и другим теоретико-вероятностным методам, развивается и методология экспериментальной науки, основанная на статистических методах. Поэтому мы должны учиться извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами, статистически обрабатывать полученные данные. Одновременно с этим обучение школьников математике, оставляющей место свойственному человеку сомнению, заменяющей строгие «да» и «нет» на осторожное «может быть», поддающееся при этом количественной оценке, устраняет ее восприятие как «сухой», «безжизненной» науки. Это способствует тому, что учащийся начинает по-новому смотреть на математику, может связать математические формулы и свой жизненный опыт, посредством чего в большинстве случаев формируется интерес к предмету. Можно сказать, что обучение стохастике ведет к приобщению детей к научному методу и языку инфографики.

2. Случайные величины
3. Математическая статистика
В возможности реализации такой схемы методического решения мы твёрдо уверены благодаря, в частности, работам В.В. Афанасьева, внёсшего неоценимый вклад в методику выстраивания стохастической линии на этапе высшего профессионального образования. Так, например, во второй главе монографии [1] автор выстраивает последовательность разделов: «Случайные события» – «Случайные величины» – «Элементы математической статистики» – «Энтропия и информация» – «Вероятность и числовые ряды». Основой описанного выстраивания материала является организация взаимодействия материала стохастической линии с материалом дискретной математики – графами. Перенося общие контуры решения на почву школьной математики, мы можем воспользоваться той же системой связей. Этопредставляется особенно удачным ходом в связи с положением, складывающимся на сегодняшний день вокруг элементов дискретной математики в школьном курсе. С одной стороны, имеется возможность осуществить строительство стохастической линии, опираясь на имеющиеся на сегодняшний день представления школьников о графах и навыки работы с последними. С другой стороны, учебные задания выстраиваемой стохастической линии смогут поддержать материал дискретной математики, создадут возможность его глубокого осмысления. В той же работе [1] раскрываются удивительные возможности такого стиля изложения для формирования творческой активности студентов. По всей видимости, повышения качества образовательного процесса, к которому приводит формирование творческой активности, можно будет добиться и при реализации этой методической идеи в средней школе.
Перед погружением в материал обозначенных разделов стохастической линии необходимо подготовить школьников к работе с данными, обучить их собирать, анализировать, представлять результаты в виде таблиц, графиков и диаграмм.
Первым разделом стохастической линии по нашему мнению следует сделать раздел «Случайные события». Мы можем рекомендовать включение этого раздела в программу математики 6 класса, так как вычисления вероятностей с использованием свойств пространства элементарных событий (теоремы сложения и умножения, условные вероятности и т.д.) сопряжены с арифметическими действиями, которые приходится производить над дробными числами. Это создаёт возможности взаимной поддержки числовой линии (материал шестого класса – рациональные числа) и намечающейся стохастической.
Вторым разделом линии мы предлагаем изучать «Случайные величины». Понятие случайной величины несёт в себе большие возможности организации межпредметных связей, например, с физикой. Эти возможности порождены двумя обстоятельствами. Во-первых, случайными величинами оперируют статистическая физика и квантовая физика. В современной российской школе эти части физической науки представлены крайне скудно (на иллюстративном уровне). Однако опыт зарубежных образовательных систем показывает, что и возможность их изучения, и потребность в нём имеются. По всей видимости, отставание в этой области российских учебных программ связано именно с недостаточностью, изучаемого в нашей школе, стохастического материала.
Во-вторых, случайные величины возникают при измерении различных физических характеристик в ходе экспериментов. Таким образом, развитие представлений о случайных величинах как о математических объектах позволит сформировать более качественную систему представлений о физике как о науке.
С физикой учащиеся знакомятся в 7 классе, поэтому целесообразно предложить раздел «Случайные величины» здесь. Также в 7 классе на уроках информатики школьники знакомятся с понятием информации, ее количества. А для расчета количества информации по Шеннону крайне желательны представления о случайной величине.
Раздел «Математическая статистика» мы предлагаем начать изучать в 8 классе или в начале 9 класса. Изучение материала раздела стоит согласовывать с развитием представлений о квадратичной функции. В этой связи представляется возможным включение в программу теоретического материала и задач, связанных с регрессионным анализом (связь с методом наименьших квадратов). В 9 классе необходимо представить усложненные задачи по теории вероятностей и статистике. Это может сыграть огромную позитивную роль в реализации учащимися индивидуальных научных проектов, которые теперь смогут основываться на прочной методологической основе.
На этапе 10-11 кл. предполагается обобщение изученного ранее материала линии (в основном – дискретного) в направлении непрерывных случайных величин. Это полезно еще и потому, что именно в 10-11 кл. изучается молекулярно-кинетическая теория, во многих аспектах оформленная на языке статистической физики.
В завершении статьи отметим, что сформулировано много вопросов о представлении вероятно-статистического материала в курсе математики средней школы, а в ходе работы над текстом их выявилось ещё больше. В целом можно резюмировать, что ключевой задачей сегодня является построение вероятно-статистической содержательно-методической линии. Однако это невозможно без глубоких изменений содержания и последовательности изложения материала основ теории вероятностей и математической статистики в школьном курсе.
Конечно, сформулированные в тексте предложения по отбору и выстраиванию материала не решают всех вопросов, возникающих в связи со строительством содержательной линии, но, по крайней мере, контуры возможного методического решения становятся более отчётливыми. Мы надеемся, что в ходе дальнейшей работы удастся выработать конкретную методику, пригодную для организации экспериментального исследования вопроса.
Литература
1. Афанасьев В.В. Формирование творческой активности студентов в процессе решения математических задач: Монография. Ярославль: ЯГПУ им.К.Д. Ушинского, 1996. – 168с.
2. Бычкова Л.O. Формирование вероятностно-статистических представлений учащихся при обучении математике в средней школе.: Автореф. дис. канд. пед. наук. М.: 1991. - 18с.
3. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.- 4-е изд.- М.: Просвещение, 2001.-368 с.
4.  Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений: В 2 ч. / Под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина.- 6-е изд., перераб.- М.: Дрофа, 2002.- 432 с.
5.  Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Под ред. Г.В. Дорофеева. М.: Дрофа, 1997.- 283 с.
6.  Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Под ред. Г.В. Дорофеева.- М.: Дрофа, 1999. 304 с.
7.  Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Под ред. Г.В. Дорофеева.- М.: Дрофа, 2000.- 352 с.
8.  Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф., Бунимович Е.А. и др. Математика: Дидакт. материалы для 6 кл. общеобразоват. учреждений.- М.: Дрофа,1995.- 176 с.