Эконометрика, вариант 8

Задача 1
В таблице представлены измеренные значения Хi объясняющей переменной и соответствующее значение Yi зависимой переменной.
Таблица 1
Условие
Х 10 71 17 64 22 43 61 83 35 57
У 26 40 11 26 6 22 31 44 26 38

1. Найти выборочное уравнение регрессии У по Х: уі = b0 + b1 * xi
2. Построить корреляционной поле и график полученной выборочной функции регрессии.
3. Вычислить выборочный коэффициент корреляции объясняющей и зависимой переменных.
4. Найти доверительный интервал для функции регрессии с заданной доверительной вероятностью γ=0,95.
5. Найти доверительный интервал для коэффициента регрессии и для дисперсий возмущений с заданной доверительной вероятностью γ=0,95.
6. Вычислить вариации ; ; и проверить уравнение регрессии на значимость по F-критерию Фишера-Снедекора при уровне значимости ...

Задача 1
В таблице представлены измеренные значения Хi объясняющей переменной и соответствующее значение Yi зависимой переменной.
Таблица 1
Условие
Х 10 71 17 64 22 43 61 83 35 57
У 26 40 11 26 6 22 31 44 26 38

1. Найти выборочное уравнение регрессии У по Х: уі = b0 + b1 * xi
2. Построить корреляционной поле и график полученной выборочной функции регрессии.
3. Вычислить выборочный коэффициент корреляции объясняющей и зависимой переменных.
4. Найти доверительный интервал для функции регрессии с заданной доверительной вероятностью γ=0,95.
5. Найти доверительный интервал для коэффициента регрессии и для дисперсий возмущений с заданной доверительной вероятностью γ=0,95.
6. Вычислить вариации ; ; и проверить уравнение регрессии на значимость по F-критерию Фишера-Снедекора при уровне значимостиα=0,05.
7. Найти значение коэффициента детерминации.


Задача 2
Задан временной ряд величины У.
Таблица 1
Условие
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
У 3 8 12 9 17 15 19 12 24 30

1. Найти линейное уравнение тренда Y по t.
2. Проверить значимость уравнения тренда при уровне значимости α=0,05. Найти точечный прогноз значения ряда в момент t=11 по уравнению тренда.
3. Провести сглаживание временного ряда методом скользящей средней при m=3.
4. Построить на одном графике эмпирические значения временного ряда, линию тренда и ломаную, полученную в результате применения метода скользящей средней.
5. Проверить ряд на наличие автокорреляции ошибок по критерию Дарбина-Уотсона при α=0,05.
6. Если по критерию Дарбина-Уотсона гипотеза об отсутствии автокорреляции ошибок принимается, то найти доверительный интервал при значении ряда в момент t=11 при уровне значимости α=0,05

Задача 1
В таблице представлены измеренные значения Хi объясняющей переменной и соответствующее значение Yi зависимой переменной.
Таблица 1
Условие
Х 10 71 17 64 22 43 61 83 35 57
У 26 40 11 26 6 22 31 44 26 38

1. Найти выборочное уравнение регрессии У по Х: уі = b0 + b1 * xi
2. Построить корреляционной поле и график полученной выборочной функции регрессии.
3. Вычислить выборочный коэффициент корреляции объясняющей и зависимой переменных.
4. Найти доверительный интервал для функции регрессии с заданной доверительной вероятностью γ=0,95.
5. Найти доверительный интервал для коэффициента регрессии и для дисперсий возмущений с заданной доверительной вероятностью γ=0,95.
6. Вычислить вариации ; ; и проверить уравнение регрессии на значимость по F-критерию Фишера-Снедекора при уровне значимости α=0,05.
7. Найти значение коэффициента детерминации.


Задача 2
Задан временной ряд величины У.
Таблица 1
Условие
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
У 3 8 12 9 17 15 19 12 24 30

1. Найти линейное уравнение тренда Y по t.
2. Проверить значимость уравнения тренда при уровне значимости α=0,05. Найти точечный прогноз значения ряда в момент t=11 по уравнению тренда.
3. Провести сглаживание временного ряда методом скользящей средней при m=3.
4. Построить на одном графике эмпирические значения временного ряда, линию тренда и ломаную, полученную в результате применения метода скользящей средней.
5. Проверить ряд на наличие автокорреляции ошибок по критерию Дарбина-Уотсона при α=0,05.
6. Если по критерию Дарбина-Уотсона гипотеза об отсутствии автокорреляции ошибок принимается, то найти доверительный интервал при значении ряда в момент t=11 при уровне значимости α=0,05

= По таблице значений критерия t - Стьюдента определим его критическое значение при уровне значимости и числе степеней свободы v = n - k : t0,05 =2,23. Сделаем вывод относительно нулевой гипотезы. Фактическое значение критерия выше его критического значения. Следовательно, нулевая гипотеза о не значимости отклоняется.Рассчитаем доверительный интервал для а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя: Доверительные интервалы: Ошибка прогноза составит: Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит: Найти доверительный интервал для коэффициента регрессии и для дисперсий возмущений с заданной доверительной вероятностью γ=0,95Выборочные дисперсии:S2(x) = ∑x2i / n - x2ср = 26943 / 10 - 46.32 = 550.61S2(y) = ∑y2i / n - y2ср = 8610 / 10 - 272 = 132Вычисление среднеквадратической ошибки коэффициентов регрессии.Определим остатки по формуле (табл. 3):et = y – YТаблица 3txyYet = y - Yet – et-1(et – et-1)2et21102612,8413,1613,16173,19173,192714036,633,37-9,7995,8411,363171115,57-4,57-7,9463,0420,884642633,9-7,9-3,3311,0962,41522617,52-11,52-3,6213,10132,716432225,71-3,717,8161,0013,767613132,73-1,731,983,922,998834441,312,694,4219,547,249352622,593,410,720,5211,6310573831,176,833,4211,7046,65Σ463270269,970,036,83452,93482,82D0 = D0 = 10 * 26943 – 4632 = 55061Sa1 = √((482,82 / 8) * (10 / 55061)) = √60,35 * 0,0002 = 0,11Среднеквадратическая ошибка коэффициента регрессии равна 0,11.Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.а1 = 0,3910) = 2,22810,14 ≤ а1 ≤ 0,64Доверительный интервал для истинного коэффициента регрессии а1 – [0,14; 0,64].Вычислить вариации Qy=i=1n(yi-y)2; Qr=i=1n(yi-y)2; Qe=i=1n(yi-y)2 и проверить уравнение регрессии на значимость по F-критерию Фишера-Снедекора при уровне значимости α=0,05.Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера по формуле F= для а = 0,05; kj = m = l, k2 = n – m – l = 8.F > Fтаб = 4,41Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо и надёжно.Таблица 4уiУi – Уср.(Уi – Уср.) 2Yрегрес.(Yрегрес. – Уср.) 2et = y - Yet226-1112,84200,5113,16173,19401316936,6392,743,3711,3611-1625615,57130,64-4,5720,8826-1133,947,61-7,962,416-2144117,5289,87-11,52132,7122-52525,711,66-3,7113,763141632,7332,83-1,732,99441728941,31204,782,697,2426-1122,5919,453,4111,63381112131,1717,396,8346,65Сумма270-1320269,97837,480,03482,82Среднее27-----Qy=i=1n(yi-y)2=1320Qr=i=1n(yi-y)2=837,48Qe=i=1n(yi-y)2=482,82Проверка: Qy = Qr + Qe = 482,82 + 837,48 = 1320,3 (верно)Найти значение коэффициента детерминацииКоэффициент детерминации: R2= 0,80 2 = 0,64Вариация У на 64 % объясняется вариацией Х.Задача 2Задан временной ряд величины У.Таблица 1Условиеt12345678910У38129171519122430Найти линейное уравнение тренда Y по t.Проверить значимость уравнения тренда при уровне значимости α=0,05. Найти точечный прогноз значения ряда в момент t=11 по уравнению тренда.Провести сглаживание временного ряда методом скользящей средней при m=3.Построить на одном графике эмпирические значения временного ряда, линию тренда и ломаную, полученную в результате применения метода скользящей средней.Проверить ряд на наличие автокорреляции ошибок по критерию Дарбина-Уотсона при α=0,05.Если по критерию Дарбина-Уотсона гипотеза об отсутствии автокорреляции ошибок принимается, то найти доверительный интервал при значении ряда в момент t=11 при уровне значимости α=0,05.РЕШЕНИЕНайти линейное уравнение тренда Y по tДля определения параметров тренда а0 и а1 используем МНК, в соответствии с которым решим систему уравнений:Необходимые расчеты числовых значений коэффициентов системы линейных уравнений отражены в табл. 2.