Проект управленческого решения по обеспечению лояльности клиентов банка(на примере Сбербанка)

Содержание
Введение
1 Аналитическая часть
2 Научно-методическая часть
3 Проектная часть
4 Расчетная часть
Заключение
Список литературы

Проект управленческого решения по обеспечению лояльности клиентов банка(на примере Сбербанка)

Чтобы обосновать приоритетные направления деятельности фирмы, предприятия и т.д. необходимо не только экономический образ мышления, но и достаточно высокий математический образ мышления.
Таблица 5 - Сравнительный анализ методов решения выбранной задачи
№ п.п.
Заданные критерии оценки
Соответствие анализируемого метода заданным критериям
Линейное программирование
Динамическое программирование
Деревья решений
Метод Монте-Карло
1
Возможность получения оптимального решения
да
да
да
нет
2
Наличие необходимых для решения задачи данных
да
да
нет
да
3
Простота вычисления
да
нет
нет
нет
4
Возможность решения без применения ЭВМ
да
нет
да
нет
5
Количественная оценка входных параметров
да
да
да
нет
Итого число совпадений
5
3
3
1
В нашем примере наибольшее число совпадений у метода 1 (Линейное программирование), следовательно, этот метод в наибольшей степени соответствует заданным критериям, которые должны быть учтены при решении выбранной задачи.
3 Проектная часть
Целью задачи является выбор наиболее оптимального варианта программы скоринг-оценки заемщиков, которые предлагают программные разработчики. При этом выбирается оптимальное значение производительности при необходимой цене и необходимых параметрах оценки. Таким образом, данная задача является оптимизационной.
Требуется минимизировать функцию
F (x)  min
F (x)  (a1*x1 + a2*x2 + …+ai*xi +… + an*xn)  max,
где a1, a2, …, an – удельные призначные характеристики (показатели)
i – х элементов, формирующих величину функции (Пi).
Представим исходную функцию в следующем общем виде:
(1)
где Пi – призначная характеристика i –ой номенклатурной позиции (элемента);
хi – искомая переменная величина (количество) i –ой позиции.
Такая запись представляет собой критериальную функцию решения задачи. Ограничительными условиями могут выступать имеющиеся ресурсы (трудовые, материальные, финансовые и другие), а также ограничения на величину самой функции
В общем виде ограничения могут быть записаны следующим образом:
При решении задачи переменные хi не должны быть отрицательными: хi ≥ 0.
Совокупность критериальной функции и ограничительных условий позволяет использовать классическую модель линейного программирования:
(3)
хi ≥ 0
хi – искомая переменная величина (количество) i –ой позиции;
Рассмотрим основные этапы построения модели.
1 этап. Формулирование решаемой задачи. Требуется выбрать оптимальный программный продукт при его максимальной производительности. Ограничениями являются финансовые ресурсы банка. Матрица задана технологическими параметрами производительности.
2 этап. Определение объекта моделирования. Объектом моделирования является программный продукт скоринг-оценки заемщиков.
3 этап. Выявление элементов моделируемого объекта и их характеристика.
4 этап. Отбор из числа этих элементов наиболее существенных для решения данной конкретной задачи.
5 этап. Формирование набора показателей, характеризующих каждый из выбранных в пункте 4 элементов объекта.
6 этап. Описание в общем виде объекта моделирования с позиции решаемой задачи.
Сформулируем решаемую задачу: требуется выбрать оптимальный программный продукт при его максимальной производительности. Ограничениями являются финансовые ресурсы банка. Матрица задана технологическими параметрами производительности. Показатель пригодности может характеризовать соответствие продукта требованиям Банка, касающимся производительности, наличием необходимых параметров, точностью оценки, то есть его соответствие системе признаков которыми, по мнению Банка, должен обладать программный продукт на j – ю позицию (). Каждый признак λ имеет широкий спектр характеризующих его величин (показателей). Продукт может обладать каким-либо одним из этих значений, не обладая другими. Следовательно, Банк, исходя из своей заинтересованности в наличии у продукта на позицию j тех или иных значений показателей – признаков (показателей – характеристик), устанавливает определённые границы (интервалы) значений этих признаков: . Каждому из этих интервалов присваиваются конкретные величины показателей – характеристик в привязке к конкретной вакансии - Наиболее предпочтительной величине таких показателей – характеристик по му признаку ой вакансии дается статус нормативной – .
Значение признака, которое может быть у программы, определяется следующим образом2:
(4)
Величина всегда будет неотрицательной: .
Сумма всех значений показателей признаков (λ) р-й программы на j-ю позицию
(5)
Условием отбора р–й программы, выбранного на ую позицию, может быть одно из заданных условий:
- наиболее высокая среди всех программ суммарная (итоговая) оценка по всем признакам λ:
(6)
где - суммарная оценка р-й программы, выбранного на позицию;
- минимальное отклонение суммарной оценки у выбранной р-й программы() от заданного Банком по j-ой позиции (). Банк хотел бы, чтобы р-ая программа на j-ю позицию обладала определённым i-ым уровнем значения -го признака. Это значение можно характеризовать как критическое – . Тогда в формализованном виде это условие отбора программы на позицию можно представить следующим образом:
(7)
где - отклонение значения -го признака по р-ой программы
от критического значения.
Отклонение суммарной оценки, характеризующей р-ую программу (Прj) можно рассчитать и следующим образом:
(8)
Программы, имеющие значения этих признаков соответственно выше или ниже критических, не устраивают Банк. Тогда -й показатель – характеристика р-й программы на j-ю позицию должен отвечать определенным ограничениям:
(9)
Таким образом, выполнены 1-5 этапы подготовки к построению модели. Далее можем сформировать модель по второму условию выбора претендента:
Критериальная функция:
(10)
Ограничения:
(11)
Для решения рассмотренной задачи будем использовать симплекс-метод.
Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Метод был разработан американским математиком Джорджем Данцигом (George Dantzig) в 1947 году.
Задача линейного программирования состоит в том, что необходимо максимизировать или минимизировать некоторый линейный функционал на многомерном пространстве при заданных линейных ограничениях.
Заметим, что каждое из линейных неравенств на переменные ограничивает полупространство в соответствующем линейном пространстве. В результате все неравенства ограничивают некоторый многогранник (возможно, бесконечный), называемый также полиэдральным комплексом. Уравнение W(x) = c, где W(x) — максимизируемый (или минимизируемый) линейный функционал, порождает гиперплоскость L(c). Зависимость от c порождает семейство параллельных гиперплоскостей. Тогда экстремальная задача приобретает следующую формулировку — требуется найти такое наибольшее c, что гиперплоскость L(c) пересекает многогранник хотя бы в одной точке. Заметим, что пересечение оптимальной гиперплоскости и многогранника будет содержать хотя бы одну вершину, причём, их будет более одной, если пересечение содержит ребро или k-мерную грань. Поэтому максимум функционала можно искать в вершинах многогранника. Принцип симплекс-метода состоит в том, что выбирается одна из вершин многогранника, после чего начинается движение по его рёбрам от вершины к вершине в сторону увеличения значения функционала. Когда переход по ребру из текущей вершины в другую вершину с более высоким значением функционала невозможен, считается, что оптимальное значение c найдено.
Последовательность вычислений симплекс-методом можно разделить на две основные фазы:
- нахождение исходной вершины множества допустимых решений
- последовательный переход от одной вершины к другой, ведущий к оптимизации значения целевой функции.
При этом в некоторых случаях исходное решение очевидно или его определение не требует сложных вычислений, например, когда все ограничения представлены неравенствами вида «меньше или равно» (тогда нулевой вектор совершенно точно является допустимым решением, хотя и, скорее всего, далеко не самым оптимальным). В таких задачах первую фазу симплекс-метода можно вообще не проводить. Симплекс-метод, соответственно, делится на однофазный и двухфазный
Усиленная постановка задачи
Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:
Теперь поставим эту задачу в эквивалентной усиленной форме. Необходимо максимизировать Z, где:
(12)
Здесь x — переменные из исходного линейного функционала, xs — новые переменные, дополняющие старые таким образом, что неравенство переходит в равенство, c — коэффициенты исходного линейного функционала, Z — переменная, которую необходимо максимизировать. Полупространства и в пересечении образуют многогранник, представляющий множество допустимых решений. Разница между числом переменных и уравнений даёт нам число степеней свободы. Проще говоря, если мы рассматриваем вершину многогранника, то это число рёбер, по которым мы можем продолжать движение. Тогда мы можем присвоить этому числу переменных значение 0 и назвать их «непростыми». Остальные переменные при этом будут вычисляться однозначно и называться «простыми». Полученная точка будет вершиной в пересечении соответствующих непростым переменным гиперплоскостей. Для того, чтобы найти т. н. начальное допустимое решение (вершину, из которой мы начнём движение), присвоим всем изначальным переменным x значение 0 и будем их считать непростыми, а все новые будем считать простыми. При этом начальное допустимое решение вычисляется однозначно : .
Алгоритм
Теперь приведём шаги алгоритма. На каждом шаге мы будем менять множества простых и непростых векторов (двигаться по рёбрам), и матрица будет иметь следующий вид:
(13)
где cB — коэффициенты вектора c соответствующие простым переменным (переменным xs соответствуют 0), B — столбцы , соответствующие простым переменным. Матрицу, образованную оставшимися столбцами обозначим D. Почему матрица будет иметь такой вид поясним в описании шагов алгоритма.
Первый шаг.
Выбираем начальное допустимое значение, как указано выше. На первом шаге B — единичная матрица, так как простыми переменными являются xs. CB — нулевой вектор по тем же причинам.
Второй шаг
Покажем, что в выражении только непростые переменные имеют ненулевой коэффициент. Заметим, что из выражения Ax+xs=b простые переменные однозначно выражаются через непростые, так как число простых переменных равно числу уравнений. Пусть x ' — простые, а x ' ' — непростые переменные на данной итерации. Уравнение Ax+xs=b можно переписать, как Bx '+Dx ' '=b. Умножим его на B – 1 слева: x' + B – 1Dx'' = B – 1b. Таким образом мы выразили простые переменные через непростые, и в выражении B – 1Ax + B – 1xs, эквивалентному левой части равенства, все простые переменные имеют единичные коэффициенты. Поэтому, если прибавить к равенству Z – cTx = 0 равенство , то в полученном равенстве все простые переменные будут иметь нулевой коэффициент — все простые переменные вида x сократятся, а простые переменные вида xs не войдут в выражение .
Выберем ребро, по которому мы будем перемещаться. Поскольку мы хотим максимизировать Z, то необходимо выбрать переменную, которая будет более всех уменьшать выражение .
Для этого выберем переменную, которая имеет наибольший по модулю отрицательный коэффициент. Если таких переменных нет, то есть все коэффициенты этого выражения неотрицательны, то мы пришли в искомую вершину и нашли оптимальное решение. В противном случае начнём увеличивать эту непростую переменную, то есть перемещаться по соответствующему ей ребру. Эту переменную назовём входящей.
Третий шаг
Теперь необходимо понять, какая простая переменная первой обратится в ноль по мере увеличения входящей переменной. Для этого достаточно рассмотреть систему:
(14)
При фиксированных значениях непростых переменных система однозначно разрешима относительно простых, поэтому мы можем определить, какая из простых переменных первой достигнет нуля при увеличении входящей. Эту переменную назовем выходящей. Это будет означать, что мы натолкнулись на новую вершину. Теперь входящую и выходящую переменную поменяем местами — входящая «войдёт» в простую, а выходящая из них «выйдет» в непростые. Теперь перепишем матрицу B и вектор cB в соответствии с новыми наборами простых и непростых переменных, после чего вернёмся ко второму шагу. x''
Поскольку число вершин конечно, то алгоритм однажды закончится. Найденная вершина будет являться оптимальным решением.
4 Расчетная часть
Произведем расчет оптимального выбора программного продукта симплекс методом.
В рассматриваемой задаче xi – затраты времени на проведение операции оценки кредитоспособности заемщика (х1 – временные затраты на проведение предварительной финансовой оценки заемщика, х2 – временные затраты на проведение оценки банкротства заемщика, х3 – временные затраты на проведение оценки репутации заемщика, х4 – временные затраты ан проведение рейтинговой оценки); сi – показатель целевой функции, определяющий эффективность оценки экономию (14 руб., 12 руб., 5 руб. и 6 руб. соответственно). Уравнения системы определяют оценку кредитоспособности для разных категорий заемщиков: юридических лиц без репутации, физических лиц, юридических – известных компаний с хорошей репутацией, всех заемщиков. Коэффициенты - стоимость одной единицы трудозатрат на поведение кредитоспособности. Ограничениями выступают ограничения по стоимости оценки.
Построим симплекс-таблицу и введем в нее искусственные переменные.
Шаг 1. Заполняем таблицу.
Шаг 2. Вводим искусственные переменные х5, х6, х7, х8.
Шаг 3. Производим выбор разрешающего элемента.
 
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
х8
b
х5
0,5
0,5
1
380
760
х6
0,5
0,5
1
200
-
х7
0,125
0,125
1
90
720
х8
2
1
1
1
1
1880
940
f
14
12
5
6
Выбор столбца определяется наибольшим элементом в строке f. Выбор строки проводится выбором наименьшего значения, полученного при делении столбца b на элементы выбранного столбца.
Шаг 4. Производим пересчет по формулам 15-17.
Переменная, стоящая в разрешающей строке, выводится из базиса, а переменная, стоящая в разрешающем столбце, вводится в базис, то есть данные переменные меняются местами. Остальные переменные остаются на своих местах.
Вместо разрешающего элемента записывается его обратная величина
(15)
Заполняется начальная строка новой таблицы, стоящая на месте разрешающей. Для этого элементы разрешающей строки (кроме разрешающего элемента) делятся на разрешающий элемент
(16)
Заполняется столбец новой таблицы, стоящий на месте разрешающего. Для этого элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) делятся на разрешающий элемент, взятый с обратным знаком
(17)
Столбец можно не заполнять, если в нем стоит искусственная переменная.
 
х7
х2
х3
х4
х5
х6
х7
х8
b
х5
-4
0,5
-0,5
1
-4
20
40
х6
0,5