Нормальное распределение в гильбертовом пространстве

Объектом исследования является вероятность попадания гауссовского случайного вектора в шар. Рассматривается общий случай гильбертова пространства Н.
Цель работы - нахождение верхней оценки вероятности попадания гауссовского случайного вектора в шар.
В результате исследования были получены верхние (численные) оценки вероятностей попадания гауссовского случайного вектора в шар в общем случае гильбертова пространства Н. В процессе выполнения работы была написана программа, используя которую можно получить готовые результаты, вводя лишь исходные данные (радиус шара и собственное значение - ). ...

Введение……………………………………………………………………….…..6
1 Предварительные сведения …………………………………………………….7
2 Обзор известных результатов ……………………………………….................8
3 Гауссовское распределение в гильбертовом пространстве ……...................12
4 Вероятность попадания в шар гауссовского случайного вектора из
гильбертова пространства ………………………………………………........13
5 Верхние оценки вероятностей попадания гауссовского вектора в шар …..16
Заключение……………………………………………………………………….26
Список использованных источников…………………………………………...27
Приложение А. Текст программы………………………………………………28
Приложение Б. Полученные результаты……………………………………….30

Новые направления в математике возникают либо в результате естественного внутреннего анализа самих математических концепций, либо не менее естественного стремления к расширению области её приложений. Слово «либо» здесь не в коей мере нельзя понимать как исключающее пересечение. Наоборот, внутреннее развитие математики обычно происходит в направлениях, соответствующих тенденциям возникновения потребностей в них. Теория вероятностных распределений в банаховых пространствах не составляет исключения. После появления в начале прошлого века лебеговой теории интегрирования стало совершенно естественным стремление расширить эту теорию, охватив наряду с функциями одного или нескольких числовых переменных и функции, заданные в бесконечномерных (векторных) пространствах.
Систематическое изучение веро ятностных распределений в банаховом пространстве было начато в работах Э.Мурье и Р.Форте в начале пятидесятых годов прошлого века.
В настоящее время изучение вопроса о вероятностях попадания в заданную область случайного вектора в гильбертовых пространствах осуществляется различными авторами. В частности, одной из последних публикаций является [7].

f=(1/pi)*((sqrt(1+2*t*t*l*l)+sqrt(2)*t*t*l*l)*(cos((t*r*r)/2)-sin((t*r*r)/2)*sin((t*r*r)/2)))/((t)*pow(1+4*t*t*l*l,(3/4)));
printf("f=%f",f);
integ_1=(1/pi)*((sqrt(1+2*t*t*l*l))*(sin((t*r*r)/2)))/((t)*pow(1+4*t*t*l*l,(3/4)));
printf("integ_1=%f",integ_1);
integ_11=((sqrt(2))/pi)*(sin(t*r*r))/pow(1+4*t*t*l*l,(3/4));
printf("integ_11=%f",integ_11);
integ_2=(2/pi)*((sqrt(1+2*t*t*l*l)*(pow(sin(t*r*r)/2),2)))/(t*pow(1+4*t*t*l*l,(3/4)));
printf("integ_2=%f",integ_2);
integ_22=((2*(sqrt(2))/pi)*(pow(sin(t*r*r)/2),2))/(pow(1+4*t*t*l*l,(3/4)));
printf("integ_2=%f",integ_2);
integ_111=integ_1+integ_11;
printf("integ_111=%f",integ_111);
integ_222=integ_2+integ_22;
printf("integ_222=%f",integ_222);
Продолжение приложения А
integ=integ_111+integ_222;
printf("integ=%f",integ);
for(k=0;k<10;k++)
{
x[k]=(1+((b-a)/10)*k);
}
for(x[k]=0,1;x[k]<n;x[k]++)
{
f_0=(1/pi)*(sqrt(1+2*x[k]*x[k]*l*l)+sqrt(2)*x[k]*x[k]*l*l)*(sin((x[k])-pow(sin(x[k]*r*r)/2),2))/((t)*pow(1+4*x[k]*x[k]*l*l,(3/4)));
f_1=(1/pi)*((sqrt(1+2*x[k]*x[k]*l*l))*(sin((x[k]*r*r)/2)))/((t)*pow(1+4*x[k]*x[k]*l*l,(3/4)));
f_2=((sqrt(2))/pi)*(sin(x[k]*r*r))/(pow(1+4*x[k]*x[k]*l*l,(3/4)));
f_3=(2/pi)*((sqrt(1+2*x[k]*x[k]*l*l)*(pow(sin(x[k]*r*r)/2),2)))/(x[k]*pow(1+4*x[k]*x[k]*l*l,(3/4)));
f_4=((2*(sqrt(2))/pi)*(pow(sin(x[k]*r*r)/2),2))/(pow(1+4*x[k]*x[k]*l*l,(3/4)));
}
f_5=((b-a)/n)*(2/pi)*(f_0+f_1+f_2);
f_6=((b-a)/n)*(2/pi)*(f_0+f_3+f_4);
otvet=f_5-f_6;
printf("otvet=%f",otvet);
getch();
}
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
(обязательное)
Полученные результаты
Таблица Б.1 – Вероятность попадания гауссовского вектора в шар при первом нуле


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0,092
0,125
0,134
0,147
0,151
0,161
0,172
0,178
0,182
0,191
2
0,113
0,127
0,141
0,149
0,153
0,163
0,174
0,179
0,183
0,193
3
0,137
0,141
0,150
0,155
0,158
0,169
0,175
0,182
0,184
0,194
4
0,157
0,162
0,163
0,168
0,171
0,172
0,178
0,184
0,186
0,196
5
0,169
0,173
0,178
0,180
0,181
0,184
0,185
0,186
0,187
0,198
6
0,174
0,175
0,179
0,184
0,186
0,190
0,195
0,190
0,191
0,202
7
0,179
0,181
0,184
0,186
0,188
0,192
0,197
0,198
0,199
0,206
8
0,183
0,184
0,186
0,188
0,193
0,195
0,198
0,201
0,204
0,210
9
0,187
0,191
0,193
0,195
0,196
0,197
0,199
0,203
0,206
0,215
10
0,193
0,195
0,198
0,199
0,201
0,204
0,205
0,207
0,210
0,218
Продолжение приложения Б
Таблица Б.2 - Вероятность попадания гауссовского вектора в шар при втором нуле


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0,220
0,225
0,230
0,239
0,245
0,248
0,251
0,254
0,259
0,261
2
0,222
0,227
0,231
0,240
0,246
0,249
0,252
0,255
0,261
0,263
3
0,224
0,229
0,233
0,242
0,247
0,250
0,253
0,256
0,262
0,264
4
0,227
0,231
0,235
0,245
0,249
0,252
0,254
0,257
0,263
0,265
5
0,231
0,233
0,245
0,250
0,251
0,254
0,255
0,258
0,264
0,266
6
0,242
0,248
0,250
0,254
0,255
0,256
0,257
0,260
0,265
0,267
7
0,248
0,251
0,252
0,256
0,257
0,258
0,259
0,262
0,266
0,268
8
0,250
0,254
0,256
0,258
0,259
0,260
0,261
0,263
0,268
0,269
9
0,254
0,258
0,261
0,262
0,263
0,264
0,265
0,266