Эконометрика СИП 1-2

1 Нормативные расчеты
2 Прогнозные расчеты ...

1 Нормативные расчеты……………………………………………… 3
Задача 1.1……………………………………………………….. 3
Задача 1.2……………………………………………………….. 14
Задача 1.3……………………………………………………….. 25
Задача 1.4……………………………………………………….. 36
2 Прогнозные расчеты………………………………………………... 49
Задача 2.1……………………………………………………….. 49
Задача 2.2……………………………………………………….. 56
Задача 2.3……………………………………………………….. 64
Список использованных источников………………………………... 72

д.Зависимость y от z:bz=dydz=10,744,88=2,2 ymin=2,73; yz=ymin(1+bzdz)yz: 1) 2,73∙1+2,2∙0,00=2,73; 2)2,73∙1+2,2∙0,44=5,38; и т.д.б) Коэффициент и индекс корреляции.Коэффициент корреляции определим по формулам:.Исходные данные для расчета коэффициента корреляции представлены в таблице 21.Таблица 21 – Данные для расчета коэффициента корреляции№d xd zd yd x d yd z d yd x2d z2d y2А1234567810,000,000,000,000,000,000,000,0021,310,440,981,290,431,710,190,9630,670,230,480,320,110,460,050,2340,860,290,610,520,180,730,080,3751,400,471,031,440,481,960,221,0561,620,551,252,020,682,630,301,5570,050,020,040,000,000,000,000,0081,380,461,021,400,471,900,221,0490,710,240,510,370,120,510,060,26100,900,300,650,580,200,800,090,42111,450,491,091,590,532,110,241,19121,700,571,302,210,752,900,331,69130,270,090,190,050,020,070,010,04141,390,471,051,470,491,930,221,11150,750,250,550,410,140,570,060,30Итого:14,474,8810,7413,674,6118,292,0810,22rxy=13,6718,29∙10,22=0,999 rzy=4,612,08∙10,22=0,999 Если r > 0,7 – сильная связь; 0,3 ≤ r ≤ 0,7 – средняя; r < 0,3 – слабая.Таким образом, можно сказать, что между факторным и результативным признаком существует тесная (сильная) связь.Индекс корреляции определим по формулам:,.Исходные данные для расчета индекса корреляции представлены в таблице 22.Таблица 22 – Данные для расчета индекса корреляции№yyxyzd ydyxyxiyx min-1d y2(dy-dy x)2(dy-dy z)2А12345678912,732,732,730,000,000,000,000,000,0000025,414,415,380,980,620,970,960,130,0000934,033,604,100,480,320,500,230,030,0004844,403,834,460,610,400,630,370,040,0005655,534,535,561,030,661,041,060,140,0000466,134,816,011,250,761,201,560,240,0023672,832,802,830,040,030,040,000,000,0000185,516,205,521,021,271,021,040,060,0000094,133,654,180,510,340,530,260,030,00045104,503,884,540,650,420,660,420,050,00017115,714,595,671,090,681,081,190,170,00017126,284,916,171,300,801,261,690,250,00159133,253,473,280,190,270,200,040,010,00013145,614,515,541,050,651,031,100,160,00043154,233,704,260,550,360,560,300,040,00011Итого:70,2861,6170,2310,747,5710,7310,231,340,00659Rxy=1-1,3410,23=0,932; Rzy=1-0,0065910,23=0,9999 Расчет индекса корреляции показывает, что уровни коэффициента и индекса корреляции практически совпадают (разница не превышает 0,1). Таким образом, это подтверждает вывод о правильности выбора типа уравнения для характеристики взаимосвязи.в) сумму минимальных отклонений между теоретическими и эмпирическими значениями результативного признакаИскомые теоретические значения результативного признака yx,z должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов отклонений от эмпирических значений, то есть S=(y-yx)2→min; S=(y-yz)2→minДля нахождения параметров имеется следующая система уравнений:na0+a1x=ya0x+a1x2=yx и na0+a1z=ya0z+a1z2=yz Исходные данные для расчета линии регрессии представлены в таблице 23.Таблица 23 – Данные для расчета линии регрессии№ районаФакторыyx2z2xyzyxzА1234567125,2074,82,73635,045595,0468,80204,20258,2041,85,413387,241747,24314,86226,14342,2057,84,031780,843340,84170,07232,93446,8053,24,402190,242830,24205,92234,08560,5039,55,533660,251560,25334,57218,44666,1033,96,134369,211149,21405,19207,81726,5073,52,83702,255402,2575,00208,01859,9040,15,513588,011608,01330,05220,95943,2056,84,131866,243226,24178,42234,581047,8052,24,502284,842724,84215,10234,901161,8038,25,713819,241459,24352,88218,121268,1031,96,284637,611017,61427,67200,331332,0068,03,251024,004624,00104,00221,001460,2039,85,613624,041584,04337,72223,281544,2055,84,231953,643113,64186,97236,03Итого:742,7757,370,2839522,6940982,693707,203320,8015a0+a1742,7=70,28a0742,7+a139522,69=3707,2 a0= 0,5898; a1= 0,0827Отсюда, уравнения регрессии yx=0,0827x+0,589815a0+a1757,3=70,28a0757,3+a140982,69=3320,8 a0=8,8614; a1= -0,0827Отсюда, уравнения регрессии yz=-0,0827z+8,8614Исходные данные для расчета суммы минимальных отклонений представлены в таблице 24.Таблица 24 – Данные для расчета суммы минимальных отклонений№ районаФакторыyyxyz(yi-y)2(yx-y)2 (yz-y)2xz1234567125,2074,82,732,672,683,824,044,04258,2041,85,415,405,400,530,520,52342,2057,84,034,084,080,430,370,36446,8053,24,404,464,460,080,050,05560,5039,55,535,595,590,710,820,83666,1033,96,136,066,062,091,881,88726,5073,52,832,782,783,443,623,62859,9040,15,515,545,550,680,740,74943,2056,84,134,164,160,310,270,271047,8052,24,504,544,540,030,020,021161,8038,25,715,705,701,051,031,031268,1031,96,286,226,222,542,362,371332,0068,03,253,243,242,062,102,091460,2039,85,615,575,570,860,780,781544,2055,84,234,254,250,210,190,19Итого:742,7757,370,2870,2770,2918,8418,8018,80y=yn=70,2815=4,685 Sx=(y-yx)2→min; Sz=(y-yz)2→minSx=18,80→min; Sz=18,80→min г) Коэффициент устойчивости связи для каждого из факторовопределим по формуле:, .Исходные данные для расчета коэффициента устойчивости связи представлены в таблице 25.Таблица 25 – Данные для расчета коэффициента устойчивости связи№d xd zd yb x d xb z d z/d y-b x d x / /d y-b z d z /А123456710,000,000,000,000,000,0000,00021,310,440,980,970,970,0110,01230,670,230,480,500,510,0160,02640,860,290,610,640,640,0260,02851,400,471,031,041,030,0060,00461,620,551,251,201,210,0510,04070,050,020,040,040,040,0030,00481,380,461,021,021,010,0010,00890,710,240,510,530,530,0150,018100,900,300,650,670,660,0160,010111,450,491,091,071,080,0170,012121,700,571,301,261,250,0420,046130,270,090,190,200,200,0100,008141,390,471,051,031,030,0210,016150,750,250,550,560,550,0050,000Итого:14,474,8810,7410,7010,710,2400,232Kx=1-0,24010,74=0,978; Kz=1-0,23210,74=0,978 Вычисленное значение коэффициента устойчивости связи свидетельствует об очень высоком его уровне. Это свидетельствует об адекватности полученных уравнений зависимостей и целесообразности рассмотрения данной зависимости.д) Параметры уравнения множественной зависимости и удельный вес влияния каждого из факторов на результативный признак.Уравнение множественной зависимости примет вид: Yxz = Ymin[1 + B (d x + d z)], где В – совокупный параметр многофакторной зависимости, .B=10,7414,47+4,88=0,555 Yxz=2,731+0,555∙(dx+dz) Yxz:1)2,731+0,555∙(0,00+0,00)=2,73 2)2,731+0,555∙1,31+0,44=5,38 и т.д.Расчет параметров многофакторного уравнения зависимости позволяет получить оценку взаимодействия факторов в их формировании результативного показателя, т.е. определить коэффициент зависимости или долю влияния каждого из факторов. Этот расчет выполним по формулам:∆x,z=dx,zdx,z+dz,x∙100% Получим, ∆x=14,4714,47+4,88∙100%=74,8% и ∆z=4,884,88+14,47∙100%==25,2% В таблице 26 представлены исходные данные для расчета параметров уравнения множественной зависимости.Таблица 26 – Исходные данные для расчета параметров уравнения множественной зависимости№ районаФакторыyd xd zd yd x+d zy xz/ y-y xz /xzА123456789125,2074,82,730,000,000,0002,730,00258,2041,85,411,310,440,981,755,380,03342,2057,84,030,670,230,480,94,090,06446,8053,24,400,860,290,611,154,470,07560,5039,55,531,400,471,031,875,560,03666,1033,96,131,620,551,252,176,020,11726,5073,52,830,050,020,040,072,840,01859,9040,15,511,380,461,021,845,520,01943,2056,84,130,710,240,510,954,170,041047,8052,24,500,900,300,651,24,550,051161,8038,25,711,450,491,091,945,670,041268,1031,96,281,700,571,302,276,170,111332,0068,03,250,270,090,190,363,280,031460,2039,85,611,390,471,051,865,550,061544,2055,84,230,750,250,5514,250,02Итого:742,7757,370,2814,474,8810,7419,3370,240,672) Нормативные уровни факторов и результативного признака: а) Нормативный уровень результативного показателя при изменении каждого из факторов на единицу (уменьшение при обратной зависимости; увеличение при прямой связи.yн = ymin [1 + B (d xн + d zн)].yн = 2,73 · [1 + 0,555 · (0,04 + 0,013)] =2,81dxн=xнxmin-1 dzн=1-zнzmax Подставим, dxн=25,2+125,2-1=0,04 dzн=1-74,8-174,8=0,013Таким образом, при изменении уровней факторных признаков на единицу результативный признак будет равен 2,81. При этом х должен быть равен 26,2, а z – 73,8.б) Нормативные уровни факторов для обеспечения изменения результативного показателя на единицу..Подставим dyн=2,73+12,73=1,37Нормативные уровни факторов вычисляем по следующим формулам:- при прямой зависимости:xнdyнbx+1xmin, получим xн1,370,74+1∙25,2=71,85- при обратной зависимости:zн1-dyнbzzmax, получим zн1-1,372,2∙74,8=28,2Таблица 27 – Сравнительная таблица фактических и нормативных уровней факторов для обеспечения возрастания уровня результативного показателя на единицуФакторыУровни факторовУменьшение (-), увеличение (+) фактических уровней факторовМаксимальные (при обратной зависимости), минимальные (при прямой зависимости)нормативныеX74,871,85-2,95Z25,228,2+3,00Из таблицы 27 видно, что для обеспечения увеличения уровня рентабельности на единицу необходимо уменьшить Х на 2,95 и увеличить Z на 3,00.ЗАДАЧА 1.4. Известны следующие данные об относительном уровне издержек обращения, производительности труда и уровне рентабельности по магазинам промышленных товаров за год:Таблица 28 – Исходные данные№ магазинаОтносительный уровень издержек обращения, %Производительность трудаУровень рентабельности, %17,89176468,9214,41101774,336,011934310,249,17147894,956,78181728,368,91174777,876,172211013,1810,11143314,995,982411113,3106,101939310,7115,902544513,7128,13170105,6139,01131374,7146,002110011,1156,131937810,8Определите:Параметры и критерии метода статистических уравнений зависимостей;а) параметры уравнений зависимости для каждого фактора; отразите их на графиках;б) коэффициент и индекс корреляции;в) сумму минимальных отклонений между теоретическими и эмпирическими значениями результативного признака;г) коэффициент устойчивости связи для каждого фактора;д) параметры уравнения множественной зависимости и удельный вес влияния каждого из факторов на результативный признак.Нормативные уровни факторов и результативного показателя:а) нормативный уровень результативного показателя при изменении уровня каждого из факторов на единицу.б) нормативные уровни факторов для обеспечения изменения результативного показателя на единицу.РЕШЕНИЕРассчитаем параметры зависимости результата от каждого фактора в отдельности.Первый фактор.Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: Y=a0+a1∙X, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X. Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X∙Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.Таблица 29 – Расчетная таблица№ магазинаxyфакт.x2x∙yyрасч.dyd2yε',%А1234567817,898,962,252170,2218,6930,2070,0432,349214,414,3207,648161,9631,1523,1489,90935,69136,0110,236,120161,30210,867-0,6670,4457,56349,174,984,088944,9337,212-2,3125,34726,21856,788,345,968456,2749,977-1,6772,81119,00868,917,879,388169,4987,5130,2870,0823,25376,1713,138,068980,82710,6822,4185,84727,414810,114,9102,212149,5396,125-1,2251,50113,89295,9813,335,760479,53410,9022,3985,75127,191106,1010,737,2165,27010,763-0,0630,0040,714115,9013,734,8180,83010,9942,7067,32130,677128,135,666,096945,5288,415-2,8157,92531,918139,014,781,180142,3477,397-2,6977,27630,583146,0011,136,0066,60010,8790,2210,0492,510156,1310,837,576966,20410,7280,0720,0050,813ИТОГО116,7132,3984,381940,870132,30,00054,317259,794Средняя7,788,82-----17,320Сигма2,2583,231------Дисперсия, D5,09710,439------Δ=1146,825-------Δа0=20434,0773а0=17,818-----Δа1=-1326,36а1=-1,157----- Расчёт определителя системы выполним по формуле: 15*984,381 – 116,7*116,7 = 1146,825; Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:132,3*984,381 – 940,870*116,7 =20434,0773. Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле: 15*940,870– 132,3*116,7= -1326,36.Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:; .В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:В уравнении коэффициент регрессии а1 = -1,157 означает, что при увеличении уровня издержек обращения на 1 % (от своей средней) уровень рентабельности уменьшится на 1,157 % (от своей средней).Свободный член уравнения а0 = 17,818 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на уровень рентабельности.Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции: Коэффициент корреляции, равный -0,808, показывает, что выявлена тесная зависимость между уровнем издержек обращения и уровнем рентабельности. Коэффициент детерминации, равный 0,653, устанавливает, что вариация уровня рентабельности на 65,3% из 100% предопределена вариацией данного фактора; роль прочих факторов, влияющих на уровень рентабельности, определяется в 34,7%, что является небольшой величиной.Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).В нашем случае, ; где -число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов. Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 25 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия уровня рентабельности и относительного уровня издержек обращения. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=15-1-1=13 и уровне значимости α=0,05. В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости уровня рентабельности от уровня издержек обращения и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:. В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 17,3%. Она указывает на не очень высокое качество построенной линейной модели (рисунок 7)Рисунок 7 – Зависимость уровня рентабельности от издержек обращенияВторой фактор.Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X∙Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.Таблица 30 – Расчетная таблица№ магазинаxyфакт.x2x∙yyрасч.dyd2yε',%А123456781176468,9311381316157049,4008,358 0,5420,2936,1412101774,310357132943761,1002,5661,7343,00819,66331934310,2374151649197298,6009,6740,5260,2765,9594147894,921871452172466,1006,143-1,2431,54414,0885181728,3330221584150827,6008,766-0,4660,2175,2876174777,8305445529136320,6008,227-0,4270,1834,84472211013,1488852100289641,00011,8201,2801,63714,5088143314,920537756170221,9005,787-0,8870,78710,06192411113,3581340321320676,30013,372-0,0720,0050,820101939310,7376088449207505,1009,7130,9870,97411,188112544513,7647448025348596,50014,407-0,7070,5008,01512170105,628934010095256,0007,865-2,2655,13125,68113131374,717258076961743,9004,861-0,1610,0261,829142110011,1445210000234210,00011,0370,0630,0040,713151937810,8375506884209282,4009,7021,0981,20612,453ИТОГО273619132,352252301372594856,5132,30,00015,792141,250Средняя18241,266678,82-----9,417Сигма13,5381,121------Дисперсия, D183,2761,256------Δ=3511094894-------Δа0=-18704093548а0=-5,327-----Δа1=2723053,8а1=0,001-----Расчёт определителя системы выполним по формуле: 15*5225230137 – 273619*273619 = 3511094894; Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:132,3*5225230137– 2594856,5*273619 =-18704093548. Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле: 15*2594856,5– 132,3*273619= 2723053,8.Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:; .В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:В уравнении коэффициент регрессии а1 = 0,001 означает, что при увеличении производительности труда на 1 % (от своей средней) уровень рентабельности увеличится на 0,001 % (от своей средней).Свободный член уравнения а0 = -5,327 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на уровень рентабельности.Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции: Коэффициент корреляции, равный 0,948, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между уровнем издержек обращения и уровнем рентабельности. Коэффициент детерминации, равный 0,899, устанавливает, что вариация уровня рентабельности на 99,8% из 100% предопределена вариацией данного фактора; роль прочих факторов, влияющих на очень сравнительно небольшой величиной.Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).В нашем случае, ; где -число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов. Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 116 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия уровня рентабельности и производительности труда. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=15-1-1=13 и уровне значимости α=0,05. В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости производительности труда и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%..Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:. В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 9,4%. Она указывает на не очень высокое качество построенной линейной модели (рисунок 8)Рисунок 8 – Зависимость уровня рентабельности от производительности трудаТеперь проанализируем множественную зависимость результата от двух факторов.x1 – относительный уровень издержек обращения;x2 – производительность труда;y – уровень рентабельности.Rx1x2=-0,986 Ryx1=-0,814 Ryx2=0,894 Представленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что уровень рентабельности -Y тесно связан и с уровнем издержек обращения и с производительностью труда, кроме того сами факторы сильно взаимодействуют между собой. При построении двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных.