Статистика, регрессия

Задача

Для 10 предприятий известны валовая продукция х и прибыль у, приходящаяся на одного работника, в тыс. руб. в год.
Требуется:
1. Методом наименьших квадратов оценить уравнение парной линейной регрессии у по х: . Дать экономическую интерпретацию параметров регрессии.
2. Оценить статистическую значимость параметров регрессии а и b с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала для каждого из параметров (на уровне значимости  = 0,05).
3. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
4. Оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции
5. Оценить качество уравнения при помощи коэффициента детерминации .
6. С помощью F-критерия Фишера оценить статисти ...

Задача

Для 10 предприятий известны валовая продукция х и прибыль у, приходящаяся на одного работника, в тыс. руб. в год.
Требуется:
1. Методом наименьших квадратов оценить уравнение парной линейной регрессии у по х: . Дать экономическую интерпретацию параметров регрессии.
2. Оценить статистическую значимость параметров регрессии а и b с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала для каждого из параметров (на уровне значимости  = 0,05).
3. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
4. Оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции
5. Оценить качество уравнения при помощи коэффициента детерминации .
6. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.
7. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.
8. Рассчитать прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора увеличится на k=4% от его среднего уровня.
Определить доверительные интервалы прогноза для уровня значимости = 0,05.
9. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Задача

Для 10 предприятий известны валовая продукция х и прибыль у, приходящаяся на одного работника, в тыс. руб. в год.
Требуется:
1. Методом наименьших квадратов оценить уравнение парной линейной регрессии у по х: . Дать экономическую интерпретацию параметров регрессии.
2. Оценить статистическую значимость параметров регрессии а и b с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала для каждого из параметров (на уровне значимости  = 0,05).
3. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
4. Оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции
5. Оценить качество уравнения при помощи коэффициента детерминации .
6. С помощью F-критерия Фишера оценить статисти ческую надежность результатов регрессионного моделирования.
7. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.
8. Рассчитать прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора увеличится на k=4% от его среднего уровня.
Определить доверительные интервалы прогноза для уровня значимости = 0,05.
9. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.Табличное значение -критерия для и числа степеней свободы df=n-2=10-2=8 составит tтабл=2,3060.Определим случайные ошибки , , :ma=Sост∙x2n∙σx, mb=Sостn∙σx,где Sост=y-yx2n-m-1.Все вспомогательные вычисления представлены в таблице 1.Sост=164,435210-1-1=164,43528=20,5544=4,53.ma=4,53∙150130010∙43,646=4,53∙1225,275436,46=4,53∙2,807=12,707,mb=4,5310∙43,646=4,53138,021=0,033.Определим фактические (расчетные) значения t-статистик Стьюдента:ta=ama, tb=bmb.ta=10,1212,707=0,797, tb=0,0280,033=0,848.Фактические значения -статистики не превосходят табличное значение:ta=0,797<tтабл=2,3060; tb=0,848<tтабл=2,3060.Следовательно, и случайно отличаются от нуля и статистически незначимы.Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии а и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:∆a=tтабл∙ma, ∆b=tтабл∙mb.∆a=2,3060∙12,707=29,302, ∆b=2,3060∙0,033=0,076.Доверительные интервалы:γa=a±∆a, γb=b±∆b.γa=10,12±29,302.γamin=10,12-29,302=-19,182, γamax=10,12+29,302=39,422.γb=0,028±0,076.γbmin=0,028-0,076=-0,048, γbmax=0,028+0,076=0,104.Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры а и b, принимают нулевые значения, так как нижние границы отрицательны, а верхние – положительны. Следовательно, параметры а и b не являются статистически значимыми.3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности:.Э=0,028∙38520,9=0,028∙18,421=0,51%.При изменении фактора х (валовой продукции) на 1% от своего среднего значения результат у (прибыль на одного работника) изменится на 0,51% от своей средней величины.4. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:rxy=b∙σxσy.