Применение моделей линейной оптимизации к решению задач производственного планирования

Введение
1. Задание и исходные данные
2. Производственный план, минимизирующий затраты
2.1. Построение экономико-математической модели задачи
2.2. Решение экономико-математической модели на компьютере
3. Производственный план, обеспечивающий максимальную экономию времени работы производственных линий
3.1. Построение экономико-математической модели задачи
3.2. Решение экономико-математической модели на компьютере
4. Производственный план, обеспечивающий наибольший объем производства
4.1. Построение экономико-математической модели задачи
4.2. Решение экономико-математической модели на компьютере
5. Производственная стратегия при изменяющемся спросе
5.1. Построение экономико-математической модели задачи
5.2. Решение экономико-математической модели на компьютере
6. Компромиссный производственный план производства шампуня
6.1. Построение экономико-математической модели задачи
6.2. Решение экономико-математической модели на компьютере
7. Производственный план при росте себестоимости продукции
7.1. Построение экономико-математической модели задачи
7.2. Решение экономико-математической модели на компьютере
8. Производственные планы, учитывающие переналадку оборудования
8.1. Построение экономико-математической модели задачи
8.2. Решение экономико-математической модели на компьютере
9. Сравнительный анализ различных типов планов
Список использованной литературы

После запуска на решение были получены следующие результаты (рис. 10).
Рис. 10. Результаты работы программы WinQSB.
Исходные данные и результаты расчетов находятся в файле 1.lpp.
Характеристики плана представлены в таблице 12.
Таблица 12
Линия Объем производства (т/мес) Время работы линии, % Количество рабочих, чел 1 0,00 7,125 8,669 83,1 6 2 7,125 0,000 5,581 99,7 7
Увеличим себестоимость производства шампуня (рис. 11) и еще раз запустим на решение задачу. Результаты сведем в таблицу 13.
Рис. 11. Ввод исходных данных в программу WinQSB.
После запуска на решение были получены следующие результаты (рис. 12).
Рис. 12. Результаты работы программы WinQSB.
Таблица 13
Линия Объем производства (т/мес) Время работы линии, % Количество рабочих, чел 1 0,00 7,125 8,669 83,1 6 2 7,125 0,000 5,581 99,7 7
Как видно из таблиц, результаты расчета не изменились. Это объясняется тем, что наименьшую себестоимость имеет шампунь , поэтому он выпускается в больших объемах чем шампунь и . Дальнейшее увеличение себестоимости шампуня не приводит к изменению производственного плана, так как одно из ограничений определяет минимальный объем производства каждого вида шампуня. В зависимости от стоимости производства шампуня на соответствующей линии, он может выпускаться или на 1 или на 2 линии.

8. Производственные планы, учитывающие переналадку оборудования
8.1. Построение экономико-математической модели задачи
При переходе от одного вида продукции к другому виду, который призводится на той же линии, обычно требуется некоторое время на переналадку оборудования и некоторые другие мероприятия. Если на одной линии производятся все три сорта шампуня , и , то переналадка будет производится дважды и потому время переналадок увеличится вдвое. Во все предыдущих задачах время переналадок не учитывалось. В данном пункте будет произведен расчет производственных планов, оптимизирующих производственно-экономические показатели.
В данной задаче необходимо найти максимальный объем производства шампуня. Количество дней необходимых для производства одной единицы шампуня производимое каждой линией приведено в таблице 6.
Обозначим через количество шампуня го сорта, производимого на й линии, в данной задаче .
Целевая функция будет иметь вид:

В этой модели необходимо использовать булевы переменные :

Каждая переналадка оборудования сокращает время эксплуатации производственной линии на дней.
Зависимость между объемами выпуска шампуней и булевыми переменными выражается неравенствами

где время затрачиваемое на выпуск каждого сорта шампуня на соответствующей линии; некоторое большое число. Если, например, , то неравенство не должно накладывать на объем выпуска шампуня сорта дополнительного ограничения сверх тех ограничений, которые предусмотрены условиями задачи. Очевидно, . Если, например, , то это означает, что на первой линии происходит выпуск всех трех сортов шампуня, а для этого требуется выполнить переналадку оборудования дважды. Следовательно, время на производство шампуня уменьшится на , и мы получим ограничение

Для второй линии это же ограничение будет выглядеть следующим образом:

В общем виде это ограничение запишется:

Остальные ограничения останутся теми же.
Количество производимого на каждой линии шампуня определенного сорта не должно превышать соответствующего объема производства этого шампуня на соответствующей линии. Это ограничение может быть записано в следующем виде:

где объем производства шампуня го сорта, производимого на й линии.
Из анализа таблицы 1 можно сделать вывод, что максимальный объем производства может быть достигнут при производстве шампуня на первой линии и шампуня на второй линии, которое может достигнуть 37 т. Для того, чтобы определить оптимальный план максимально возможного выпуска всей продукции необходимо ввести

Кроме этого необходимо ввести еще ограничения на время работы каждой линии по количеству рабочих дней в планируемом периоде

Здесь коэффициенты из таблицы 6.
Введем еще одно ограничение на неотрицательность переменных

8.2. Решение экономико-математической модели на компьютере
Для решения данной задачи необходимо «включить» здравый смысл и проанализировать предыдущие задачи. В первых двух задачах оптимальные планы производства были получены с экономией времени работы обеих линий. Поэтому на производстве продукции учет времени на переналадку оборудования в этих планах не отразится.
В третьей задаче время на переналадку линий имеет непосредственное влияние. Анализируя оптимальный план можно сделать вывод, что на первой линии производится два вида шампуня, а на второй только один. Следовательно, учет времени на переналадку оборудования необходимо производить только для первой линии и только один раз.
Используя ту же математическую модель получим план выпуска продукции с учетом переналадки оборудования для (табл. 14)
Исходные данные и результаты расчетов находятся в файле 4.lpp.
Характеристики плана представлены в таблице 14.
Таблица 14
Линия Объем производства (т/мес) Время работы линии, % Количество рабочих, чел 1 9,825 9,25 0 95,5 6 2 0 0 16 100,0 8
Используя ту же математическую модель получим план выпуска продукции с учетом переналадки оборудования для (табл. 15)
Характеристики плана представлены в таблице 15 в нем учитывается уже и переналадка оборудования на второй линии.
Исходные данные и результаты расчетов находятся в файле 5.lpp.
Таблица 15
Линия Объем производства (т/мес) Время работы линии, % Количество рабочих, чел 1 8,9159 9,25 0 91,1 6 2 0,3341 0 14,0961 91,1 8

9. Сравнительный анализ различных типов планов
Для удобства анализа сведем все полученные результаты в таблицу 16.
Таблица 16
Линия Объем производства (т/мес) Время работы линии, % Количество рабочих, чел Затраты на производство продукции, €/т Объем производства, т план, минимизирующий затраты на производство 1 0 7,125 0 12,1 5 69178,05 28,50 2 7,125 0 14,25 59,3 5 план, обеспечивающий экономию времени 1 12,9661 7,125 0 99,2 6 71565,84 28,50 2 0 0 8,4089 52,6 8 план, максимизирующий объем производства 1 10,73 9,25 0 99,8 6 89002,70 35,98 2 0 0 16 100,0 8 Компромиссный план 1 0 7,13 8,51 82,3 6 69189,94 28,51 2 7,13 0 5,74 100 7
Из анализа таблицы видно, что наиболее предпочтительным является компромиссный план, так как у него затраты на производство почти равны плану, обеспечивающему минимум затрат.

Список использованной литературы
Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы исследования операций в экономике. – Спб.: Изд-во «Лань», 2005. – 528 с.
Кутузов А.Л. Математические методы в экономике и менеджменте. Практикум по использованию пакетов прикладных программ QSB+, QS и программы Exel: Учеб. пособие. – Спб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2001. – 44 с.
Кутузов А.Л. Математические методы в экономике и менеджменте. Линейная оптимизация с помощью WinQSB и Exel: Учеб. пособие. – Спб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2004. – 88 с.
5